Comparaisons de proportions

Une proportion
Deux proportions
Comparaisons de proportions
Pr. Nicolas MEYER
———————
Laboratoire de Biostatistique et Informatique Médicale
Fac. de Médecine de Strasbourg
———————
Janvier 2011
Une proportion
Plan
1
Comparaison d’une proportion à une référence
2
Comparaisons de deux proportions
Deux proportions
Une proportion
Plan
1
Comparaison d’une proportion à une référence
2
Comparaisons de deux proportions
Deux proportions
Une proportion
Deux proportions
Comparaison d’une proportion à une référence
Comparaison d’une proportion observée et d’une proportion
théorique
proportion observée p
proportion théorique π
• Contexte : savoir si dans une population P, une proportion
diffère ou non d’une valeur de référence
• Exemple 1 savoir si la fréquence d’une maladie dans un pays
diffère de celle d’une valeur de référence
• Exemple 2 comparer la fréquence d’un phénotype avec les
fréquences attendues sous la loi de Mendel.
Une proportion
Deux proportions
Exemple de comparaison proportion observée/ théorique
• soit un couple d’allèle A dominant et a recessif.
• ces allèles expliquent-ils les phénotypes A et a ?
• On s’attend à avoir 75 et 25 % de A et a respectivement
• Sur un échantillon de 200 sujets, on observe 65% de A. La
répartition suit-elle une loi de Mendel ?
Une proportion
Deux proportions
Une proportion observée et une proportion théorique
Utilisation d’un test reposant sur une approximation par la loi
normale
p−π
z=q
π×(1−π)
n
où p est la proportion observée et π la proportion théorique ou de
référence
Une proportion
Deux proportions
Une proportion observée et une proportion théorique
Utilisation d’un test reposant sur une approximation par la loi
normale
p−π
→ N (0; 1)
z=q
π×(1−π)
n
où p est la proportion observée et π la proportion théorique ou de
référence
Une proportion
Deux proportions
Une proportion observée et une proportion théorique
Utilisation d’un test reposant sur une approximation par la loi
normale
p−π
→ N (0; 1)
z=q
π×(1−π)
n
où p est la proportion observée et π la proportion théorique ou de
référence
• conditions d’applications du test : pour une valeur π donnée, les
effectifs n doivent être suffisamment grands et tels que nπ > 5 et
n × (1 − π) > 5
• poser H0 : p = π et H1 : p 6= π (bil.), choisir un seuil de rejet de
H0 (par exemple α = 0.05) puis calcul de la statistique de test
Une proportion
Deux proportions
Exemple sur la loi de Mendel
• les conditions de validité sont ici vérifiées : 200 × 0,25 = 50
• donc utilisation de la loi normale et du test z
• le test :
0.65 − 0.75
= −3,27
zobs = q
0.75×0.25
200
• donc |zobs | > 1,96 d’où l’on rejette l’H0 d’égalité de la proportion
dans la population d’intérêt et de la proportion théorique.
• notion d’adéquation à une valeur → test du χ2 , vu plus tard
Rem : si H0 n’avait pas été rejetée, la théorie de Mendel n’en
aurait pas été prouvée pour autant, suivant le concept fréquentiste
de test statistique
Une proportion
Plan
1
Comparaison d’une proportion à une référence
2
Comparaisons de deux proportions
Deux proportions
Une proportion
Deux proportions
Test de comparaison de deux proportions : Contexte
Comparaison de deux groupes :
très souvent basée sur des taux de succès ou d’échec
ex. : succès de deux chimiothérapies, de deux antibiothérapies,
% d’animaux présentant une anomalie, etc.
l’absence de différence de taux de succès ⇒ πA = πB
et donc pA − pB nulle en moyenne
B pB
Soit pc = nAnpA +n
la proportion commune sous H0 et
A +nB
qc = 1 − pc
Une proportion
Deux proportions
Test de comparaison de deux proportions : Contexte
Comparaison de deux groupes :
très souvent basée sur des taux de succès ou d’échec
ex. : succès de deux chimiothérapies, de deux antibiothérapies,
% d’animaux présentant une anomalie, etc.
l’absence de différence de taux de succès ⇒ πA = πB
et donc pA − pB nulle en moyenne
B pB
Soit pc = nAnpA +n
la proportion commune sous H0 et
A +nB
qc = 1 − pc
On peut montrer que :
pA − pB
z=q
pc qc
pc qc
nA + nB
Une proportion
Deux proportions
Test de comparaison de deux proportions : Contexte
Comparaison de deux groupes :
très souvent basée sur des taux de succès ou d’échec
ex. : succès de deux chimiothérapies, de deux antibiothérapies,
% d’animaux présentant une anomalie, etc.
l’absence de différence de taux de succès ⇒ πA = πB
et donc pA − pB nulle en moyenne
B pB
Soit pc = nAnpA +n
la proportion commune sous H0 et
A +nB
qc = 1 − pc
On peut montrer que :
pA − pB
z=q
→ N (0 ; 1)
pc qc
pc qc
+
nA
nB
Une proportion
Deux proportions
Commentaire
• On a vu que : pc =
nA pA +nB pB
nA +nB
pour tester l’écart entre deux proportions, on utilise une
variance de la différence avec la proportion commune pc
en raison de l’H0 : pas de différence entre les proportions
pA et pB sont alors deux estimations d’une même proportion π
la meilleure estimation possible de la variance s’obtient sur
B pB
l’ensemble des deux groupes donc avec pc = nAnpAA +n
+nB
Conditions de validité du test z de comparaison de deux
proportions :
nA · pA > 5, nA · qA > 5, nB · pB > 5, nB · qB > 5
Par ailleurs, lien avec le test du χ2 → voir suite du cours.
Une proportion
Deux proportions
Exemple
Soit deux traitements anti-VHC :
deux groupes A et B , de taille nA = nB = 50
on définit un critère de jugement d’efficacité
on pose H0 : πA = πB et H1 : πA 6= πB , en bilatéral
à la fin de l’essai on observe : pA = 0,52 et pB = 0,38
on calcule la variance de la différence sous H0 :
pc = (50 · 0,52 + 50 · 0,38)/(100) = 0,45
p
le test : (0,52 − 0,38)/ (0.45 · 0.55 · (2 · 1/50)) = 1,41
|z | < 1,96 : on ne rejette donc pas H0
dans l’exemple : 50 · 0,38 = 19, donc test valide