CHAPITRE 6 : CHAPITRE 6 : GEOMETRIE A LA REGLE ET AU

Mathématiques 1 Niv. 2
Troisième partie
GEOMETRIE
CHAPITRE 6 :
GEOMETRIE A LA REGLE ET AU COMPAS
§ 6.1 Introduction
La géométrie à la règle et au compas a pour but d'effectuer des constructions de figures et de résoudre des
problèmes de la géométrie plane en utilisant uniquement une règle non-graduée et un compas.
Pour commencer, il faut clairement définir ce que l'on entend par construire un point, une droite ou un
cercle.
S'il n'est pas donné, un point est obtenu:
soit par l'intersection de deux droites
soit par l'intersection d'une droite et d'un cercle (non tangents)
soit par l'intersection de deux cercles (non tangents)
Si elle n'est pas donnée, une droite est construite par deux points.
S'il n'est pas donné, un cercle est construit à l'aide d'un point (le centre) et d'une distance (le rayon)
définie par deux points.
La règle s'utilise seulement pour tracer une droite dont on connaît déjà deux points.
Le compas s'utilise pour tracer un cercle dont on connait le centre et le rayon (donné par la distance entre
deux points) et également pour reporter une distance déjà connue.
§ 6.2 Constructions élémentaires.
A la base de toutes les constructions à la règle et au compas, on retrouve les constructions de la médiatrice
et de la bissectrice.
6.2.1 Médiatrice
On sait que la médiatrice de deux points A et B est une droite dont les points sont situés à égale distance de
ces deux points.
Soit deux points A et B.
Pour construire la médiatrice de ces deux points, il suffit de connaître deux points situés à la même distance
de A et de B. En traçant deux arcs de cercle de même rayon (suffisamment grand pour que ces arcs se coupent) centrés en A et B, on obtient deux points P et Q situés à la même distance de A et B.
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B
•
A •
Il ne reste qu'à tracer la droite passant par P et Q.
Remarque
Cette construction permet de déterminer le milieu d'un segment donné, car on sait que la médiatrice
d'un segment coupe ce dernier en son milieu.
6.2.2 Perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point donné.
On utilise le fait que la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment.
Soient une droite d et un point A.
On trace un arc de cercle centré en A et de rayon suffisamment grand pour déterminer deux points, T et S,
sur la droite d; T et S sont à égale distance de A, donc la médiatrice de ces deux points sera perpendiculaire
à la droite d et passera par A.
A •
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d
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6.2.3 Bissectrice d'un angle donné.
On sait qu'une bissectrice est une droite passant par le sommet d'un angle et dont les points sont situés à
égales distances des deux côtés de cet angle.
Soit un angle α donné de sommet S.
On trace un arc de cercle centré en S qui détermine sur les deux côtés de l'angle deux points G et H. On
trace alors deux arcs de cercle centrés en G et H de même rayon suffisamment grand pour qu'ils se coupent
en un point P.
Il ne reste qu'à tracer la droite SP, qui est la bissectrice de l'angle α.
!
S
Le point P est sur la bissectrice de l'angle α. En effet, les triangles SGP et SHP sont égaux; ils ont donc la
même aire. Si l'on prend les segments SG et SH comme bases de ces triangles, les hauteurs
correspondantes doivent être égales (car δ(S,G) = δ(S,H)); mais ces hauteurs sont aussi les distances du
point P à chacune des demi-droites formant l'angle. Donc le point P est à égale distance des deux côtés de
l'angle, ce qui montre que P est un point de la bissectrice.
6.2.4 Parallèle à une droite donnée et passant par un point donné.
On sait qu'un quadrilatère ayant deux paires de côtés de mêmes longueurs est un parallélogramme,
c’est-à-dire une figure formée de deux paires de parallèles.
Soient une droite d et un point P.
On choisit un point quelconque, A, de la droite d et on trace un arc de cercle centré en A et de rayon r =
δ(A,P). Cet arc de cercle détermine un point Q sur la droite d. On trace ensuite deux arcs de cercle de
même rayon r = δ(A,P) et centrés en P et Q. Ces deux arcs se coupent en un point B.
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P
•
d
Par construction
δ(P,A) = δ(A,Q) = δ(Q,B) = δ(B,P), donc PAQB est un losange, càd un parallélogramme,
ce qui montre que les droites AQ et PB sont parallèles.
Il ne reste qu'à tracer la droite PB.
6.2.5 Partage d'un segment donné en parties égales
Pour diviser un segment en parties égales, on utilise le théorème de Thalès et la construction des parallèles
à une droite passant par un point donné.
Soit, par exemple, un segment AB que l'on doit diviser en trois parties égales.
Du point A, on trace un demi-droite d. A l'aide du compas, on détermine sur d trois points, P, Q et R, tels que
δ(A,P) = δ(P,Q) = δ(Q,R). Puis on trace la droite RB.
B
•
A
•
D'après Thalès, les points de partages du segment AB se trouvent sur les parallèles à RB passant par P et
Q. Il ne reste donc qu'à construire ces parallèles.
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