Chapitre 1 : Algèbre de Boole

Chapitre 1 : Algèbre de Boole
Dans la suite des exercices, x, y et z sont des variables booléennes.
Axiomes, postulats et théorèmes
Question 1 :
Prouver les assertions suivantes :
1) xy + x z + yz = xy + x z + ( x+ x )yz
xy + x z + yz = xy + x z + xyz+ x yz
=(xy +xyz) + ( x z + x yz)
=((xy) +(xy)z) + (( x z) + ( x z)y)
= xy + x z
2)
x z + x z + y z = x z + (x z +x z y ) + ( x+ x ) y z
= x z + x z +x z y + x y z + x y z
= ( x z + x y z) + x z + x y ( z +z )
= x z+x z +x y
3) x y + x y = ( x y + x )( x y +y )
=( y + x )(x+y)
=(x+y)( y + x )
= ( x + y )( x + y )
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Table de vérité
Question 2 :
Remplir la table de vérité des fonctions logiques suivantes :
1) xyz + x y + x y
x y z xyz x y
x y xyz + x y + x y
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1
2) (x+z)(y+z)+y
x y z (x+z) (y+z) (x+z)(y+z) (x+z)(y+z)+y
0 0 0
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On constate que cette fonction se résume à y+z
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3)
(x+z)(y+z) + y
x y z (x+z) (y+z) (x+z)(y+z)
(x+z)(y+z)
y
(x+z)(y+z) + y
0 0 0
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1 1 1
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0
0
Question3 :
Reprendre les assertions de la question (1) et les démontrer au moyen d’une table de vérité.
1) xy + x z + yz = xy + x z
x y z xy
x z yz xy + x z + yz xy + x z
0 0 0
0
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1
Les deux côtés de l’équation possèdent la même table de vérité. L’assertion est ainsi
prouvée.
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2)
x z+x z + y z= x z+x z +x y
x y z
xz xz
yz
x z+x z + y z x y
x z+x z +x y
0 0 0
0
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0
Les deux côtés de l’équation possèdent la même table de vérité. L’assertion est ainsi
prouvée.
3) x y + x y = ( x + y )( x + y )
x y xy
x y (x+y) ( x + y ) x y + x y ( x + y )( x + y )
0 0
0
0
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0
0
Les deux côtés de l’équation possèdent la même table de vérité. L’assertion est ainsi
prouvée.
Forme canonique
Question 4 :
Réécrire les fonctions de la question (2) sous forme canonique disjonctive en utilisant
les trois écritures vues en classe :
1) xyz + x y + x y
i) x y z + x yz + x y z + x y z + xyz
ii) m2+m3+m4+m5+m7
iii) Σm(2,3,4,5,7)
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2) (x+z)(y+z)+y
i) x y z + x y z + x yz + x y z + xy z + xyz
ii) m1+m2+m3+m5+m6+m7
iii) Σm(1,2,3,5,6,7)
3)
(x+z)(y+z) + y
i) x y z + x y z + x y z + x yz + x y z
ii) m0+m1+m2+m4+m5
iii) Σm(0,1,2,4,5)
Question5 :
Réécrire les fonctions de la question (2) sous forme canonique conjonctive en utilisant
les trois écritures vues en classe :
1) xyz + x y + x y
i) (x+y+z)(x+y+ z )( x + y +z)
ii) M0M1M6
iii) Π M(0,1,6)
2) (x+z)(y+z)+y
i) (x+y+z)( x +y+z)
ii) M0M4
iii) Π M(0,4)
3)
(x+z)(y+z) + y
i) (x+ y + z ) ( x + y +z) ( x + y + z )
ii) M3M6M7
iii) Π M(3,6,7)
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Expression en NON-ET/NON-OU
Question 6 :
Réécrire en NON-ET les fonctions suivantes :
1) x y + x y = x y + x y
= xy
x y
2) xy + xz + yz = xy + xz + yz
= xy xz yz
3)
(x+z)(y+z) = (x+z)
=
x z
(y+z)
y z
Question 7 :
Réécrire en NON-OU les fonctions suivantes :
1) ( x + y )( x + y ) = ( x + y )( x + y )
= (x+y) + ( x + y )
2) ( x + y )( x + z )( y + z)= ( x + y )( x + z )( y + z)
= ( x + y ) + ( x + z ) + ( y + z)
3)
xy+ x z =
xy + x z
= x + y + x+ z
6/11
Décomposition de Shannon
Question 8 :
Reprendre les fonctions de la question (2) et effectuer une décomposition (disjonctive) de
Shannon sur :
1) f (x, y, z) = xyz + x y + x y
i) f (x, y, z) = x f (0, y, z)+x f (1, y, z)
= x ( y ) + x ( yz + y )
[ = x (y)+x(z+ y )]
ii) f (x, y, z) = y f (x, 0, z)+ y f (x, 1, z)
= y ( x ) + y ( xz + x )
[
= y (x)+y(z+ x )]
iii) f (x, y, z) = x f (0, y, z)+x f (1, y, z)
= x ( y f (0, 0, z) + y f (0, 1, z) ) + x ( y f (1, 0, z) + y f (1, 1, z) )
= x y f (0, 0, z) + x y f (0, 1, z) + x y f (1, 0, z) + xy f (1, 1, z)
= x y ( 0 ) + x y ( 1 ) + x y ( 1 )+ xy ( z )
= x y + x y + xyz
2) f (x, y, z) = (x+z)(y+z)+y
i) f (x, y, z) = x f (0, y, z)+x f (1, y, z)
= x ( z + y ) + x ( z +y )
[
=z+y ]
ii) f (x, y, z) = y f (x, 0, z)+ y f (x, 1, z)
= y (z)+y(1)
[
7/11
= y (z)+y =z+y]
iii) f (x, y, z) = x f (0, y, z)+x f (1, y, z)
= x ( y f (0, 0, z) + y f (0, 1, z) ) + x ( y f (1, 0, z) + y f (1, 1, z) )
= x y f (0, 0, z) + x y f (0, 1, z) + x y f (1, 0, z) + xy f (1, 1, z)
= x y ( z ) + x y ( 1 ) + x y ( z )+ xy ( 1 )
[
= y (z)+y=z+y]
3) f (x, y, z) = (x+z)(y+z) + y
i) f (x, y, z) = x f (0, y, z)+x f (1, y, z)
= x ( z + y ) + x ( y+z + y )
[ = x ( z + y )+x( y z + y )]
[ = x ( z + y )+x( y )]
[ = x z + y ]
ii) f (x, y, z) = y f (x, 0, z)+ y f (x, 1, z)
= y (1)+y (x+z)
[
= y (1)+y( x z )]
[
= y (1)+y( x z )]
[
= y + x z ]
iii) f (x, y, z) = x f (0, y, z)+x f (1, y, z)
= x ( y f (0, 0, z) + y f (0, 1, z) ) + x ( y f (1, 0, z) + y f (1, 1, z) )
= x y f (0, 0, z) + x y f (0, 1, z) + x y f (1, 0, z) + xy f (1, 1, z)
= x y ( 1 ) + x y ( z ) + x y ( 1 ) + xy ( 0 )
= y + xyz
[
8/11
= y + x z]
Question 9 :
Reprendre les fonctions de la question (2) et effectuer une décomposition (conjonctive) de
Shannon sur :
1) f (x, y, z) = xyz + x y + x y
i) f (x, y, z) = (x + f (0, y, z) )( x + f (1, y, z))
= ( x+ y )( x + yz + y )
[ = ( x+ y )( x + z + y )]
ii) f (x, y, z) = ( y + f (x, 0, z) )( y + f (x, 1, z))
= ( y + x )( y + xz + x )
[
= ( y + x )( y + z + x ) ]
iii) f (x, y, z) = ( x + f (0, y, z) )( x + f (1, y, z) )
=( x + ( y+ f (0, 0, z))( y + f (0, 1, z)))( x +( y+ f (1, 0, z))( y + f (1, 1, z)))
=(x + y + f (0, 0, z))(x + y + f (0, 1, z))( x +y+ f (1, 0, z))( x + y + f (1, 1, z))
= ( x + y + 0)( x + y + 1)
( x +y+ 1)( x + y + z)
= ( x + y ) ( x + y + z)
2) f (x, y, z) = (x+z)(y+z)+y
i) f (x, y, z) = (x + f (0, y, z) )( x + f (1, y, z))
= ( x + z + y )( x + z +y )
[
=z+y ]
ii) f (x, y, z) = ( y + f (x, 0, z) )( y + f (x, 1, z))
= ( y + z )( y + 1 )
[
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=y+z]
iii) f (x, y, z) = ( x + f (0, y, z) )( x + f (1, y, z) )
=( x + ( y+ f (0, 0, z))( y + f (0, 1, z)))( x +( y+ f (1, 0, z))( y + f (1, 1, z)))
=(x + y + f (0, 0, z))(x + y + f (0, 1, z))( x +y+ f (1, 0, z))( x + y + f (1, 1, z))
= (x + y + z )( x + y + 1 )( x +y+ z ) ( x + y + 1 )
[
= (x + y + z )( x +y+ z ) = y + z ]
3) f (x, y, z) = (x+z)(y+z) + y
i) f (x, y, z) = (x + f (0, y, z) )( x + f (1, y, z))
= (x + z + y )( x + y+z + y )
[ = (x + z + y )( x + y z + y ) ]
[ = (x + z + y )( x + y ) ]
ii) f (x, y, z) = ( y + f (x, 0, z) )( y + f (x, 1, z))
= ( y + 1 )( y + ( x + z ) )
= y + (x+z)
[
= y + x z ]
iii) f (x, y, z) = ( x + f (0, y, z) )( x + f (1, y, z) )
=( x + ( y+ f (0, 0, z))( y + f (0, 1, z)))( x +( y+ f (1, 0, z))( y + f (1, 1, z)))
=(x + y + f (0, 0, z))(x + y + f (0, 1, z))( x +y+ f (1, 0, z))( x + y + f (1, 1, z))
= (x + y + 1)(x + y + z )( x +y+ 1)( x + y +0)
= (x + y + z )( x + y )
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Question 10 :
En utilisant judicieusement la décomposition de Shannon, démontrer que :
•
x y + xz = ( x + y )( x + z)
Soient
f1(x, y, z) = x y + xz
f2(x, y, z) = ( x + y )( x + z)
On sait que, par la décomposition (conjonctive) de Shannon, on a
f 1(x, y, z) = ( x + f 1(0, y, z) )( x + f 1(1, y, z) )
f 1(x, y, z) = ( x + y )( x + z ) = f 2(x, y, z)
De la même manière, nous aurions pu écrire :
f 2(x, y, z) = x f 2(0, y, z) + x f 2(1, y, z)
f2(x, y, z) = x ( y ) + x ( z )
= x y + xz = f1(x, y, z)
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