Classe PC Dupuy de Lôme
Transcription
Classe PC Dupuy de Lôme
Troisième partie 1.1 Lo ri e Système à deux trous d’Young Présentation du dispositif y S a b Ecr an lom e.f r- x PC 1 nt Exemple de dispositif interférentiel : Trous d’Young z uy de Les points d’égale intensité décrivent sur cet écran des hyperboles. Cependant, pour une région peu étendue autour de l’axe Ox et pour une distance écran-sources grande devant les dimensions de l’écran, on pourra assimiler ces hyperboles à des segments. Par des considérations de symétrie, ces segments sont parallèles au plan médiateur des sources. Trous d’Young Ce système de deux ouvertures quasi-ponctuelles éclairées par une source monochromatique peut être modélisé par deux sources secondaires cohérentes cp ge d up Délocalisation des interférences Les franges d’interférence sont observables sur l’écran quelque soit la position de celui-ci par rapport aux trous d’Young. Elles sont donc non localisées. Étude de la figure d’interférence On admet que les franges d’égale intensité sont des segments sur l’écran 2. Il suffit alors de rechercher leur intersection avec l’axe de l’écran. On considère dans cet exemple de calcul deux sources cohérentes synchrones. (Cela est obtenu en plaçant la source primaire sur l’axe des systèmes de trous d’Young) S1 b D b √ a 2 =− 2 2 1 2 √ 1 4 2 2 D 2 + (x + a 2 2 ) lom e.f r- 1 I Lo ri e a Æ = (S2 M ) − (S1 M ) = S2 M − S1 M = D 2 + (x − ) − ¿ ¿ a 2 Á a 2 Á ⎛ ⎞ Á ⎛x + ⎞ Á x − Á ⎜ a ⎟ Á ⎟ Á +⎜ = D:Á Á À ⎜ D ⎟ = − :D : : :x À +⎜ D ⎟ −Á ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Æ nt x b M Différence de marche en Première méthode S2 1.3 M PC 1.2 a:x D Deuxième méthode ● Principe de retour inverse : on peut raisonner en partant de M et en allant vers les sources uy de ● Théorème de Malus : les surfaces d’onde sont ortogonales aux rayons. On en déduit que les chemins optiques (M S2 ) et (M I ) sont égaux. Par conséquent, la différence de marche entre les deux rayons Æ = (IS1 ). ● Vu que D >> x et D >> a, l’arc de cercle S1 I peut s’apparenter à un segment. On peut alors en déduire S2 I = a:sin On retrouve bien Æ ≡ ± D a:x D Franges d’interférence et Interfrange ge d 1.4 x up ● D’autre part tan ≡ = 2 1 ● Les sources secondaires étant cohérentes : En M (x) de l’écran : I (x) = :I0 : [ + os ('2 )] ● Ces sources secondaires étant synchrones : '2 = 2::Æ 0 cp ● D’après la définition de l’ordre d’interférence : Æ = p:0 Pour un point d’observation M (x), l’ordre d’interférence a donc pour expression p = a:xp D:0 On peut s’intéresser à deux franges lumineuses successives, correspondant donc à deux valeurs entières successives de l’ordre d’interférence. D:0 D:0 et xp±1 = (p ± ) : Elles sont donc définies par xp = p: a 1 a La distance entre ces deux franges successives a donc pour expression : i = ∣xp±1 − xp ∣ = a i correspond à la distance séparant deux franges successives. :D i= 0 a 2 Lo ri e nt Interfrange L’interfrange 0 :D Fentes d’Young et trous d’Young lom e.f r- PC Nous avons considéré pour notre modélisation du système que chaque trou d’Young se comportait comme une source secondaire ponctuelle idéale émettant dans toutes les directions. Ceci ne pourrait être obtenu qu’en considérant le rayon extrêmement faible du trou, au prix d’une diminution importante de l’intensité. On peut observer l’intensité lumineuse obtenue sur l’écran en présence d’un seul trou : Cas idéal Cas réel Modulation de la figure d’interférences Les franges d’interférences dues à la présence de deux sources sont modulées par la figure de diffraction correspondant à chacune des sources. 3 Élargissement spatial de la source 3.1 Modification des franges d’interférences par déplacement transversal de la source uy de Différence de marche On ne considère plus la source primaire sur l’axe des trous d’Young. S2 ge d b d Æ1 S1 b Æ2 b a xs up b b x S M J I D cp La différence de marche totale entre les chemins (SS1 M ) et (SS2 M ) correspond à Æ = Æ1 + Æ2 a:xs a:x Par une analyse similaire au cas précédent, on obtient : Æ = + d Position de la frange d’ordre d’interférence nul Pour cette frange p = 0 → Æ= 0 soit x0 = − Dd :xs D Association des deux sources primaires Analyse qualitative M Lo ri e 3.2.1 b S′ x S2 xs b b b lom e.f r- S1 PC S a 3.2 nt Translation des franges Le déplacement des franges est homothétique au déplacement transversal de la source, avec des sens opposés. ● Avec la source S seule : 2 1 2 Les deux ondes issues de S interfèrent en M : I = :I0 : [ + os (')] avec ' = ::p ● Avec la source S seule : 2 1 2 Les deux ondes issues de S ′ interfèrent en M : I ′ = :I0 : [ + os ('′ )] '′ = ::p′ ● Avec les deux sources : S ′ : Itot = I + I ′ uy de S et S ′ ne peuvent pas être cohérentes, les ondes issues de S n’interfèrent pas avec celles issues de Source S seule : Source S ′ seule : Deux sources : cp ge d up Sources primaires multiples Lorsqu’un système interférentiel est éclairé par plusieurs sources primaires, l’intensité en M est obtenue par la superposition des franges d’interférences obtenues pour chacune des sources prises séparément. 3.2.2 Critère de brouillage Il y aura brouillage total des franges si l’intensité en un point M (x) devient indépendante de x. Soit Itot = I + I ′ = I0 : [ + os ( ::p) + os ( ::p′ )] = C te Cela sera obtenu si os ( ::p) = −os ( ::p′) 2 2 2 2 2 2 2 2 On doit donc avoir ::p = ::p′ + ( : ) 1 +n n∈N 2 Lo ri e ∣ p∣ = nt brouillage des franges La multiplication des sources entraine une diminution du contraste en tout point de la figure d’interférence. Il y aura brouillage pour deux sources si les ordres p et p′ en M pour chacune de ces sources sont tels que Le brouillage dépend donc de la distance séparant les deux sources, mais est indépendant du point sur la figure d’interférence. Cas d’une source étendue spatialement PC 3.3 lom e.f r- On considère désormais une source non ponctuelle de largeur L. Il peut s’agir par exemple du tube d’une lampe à vapeur de sodium. Les dés-excitations des électrons amenant à l’émission de photons se font de manière aléatoire, de sorte que cette source peut être vue comme une somme de sources ponctuelles incohérentes entre elles. On pourrait modéliser cette source par une quantité N très grande de sources ponctuelles Brouillage par extension spatiale de la source Il y aura brouillage des franges d’interférence pour une source d’extension spatiale L si la différence des ordres d’interférence p en un point M dus à deux points de b b b b symétrie L b b b b b b L 2 est supérieure à la source distants de Ce brouillage est uniforme. uy de b Élargissement spectral d’une source 4.1 up 4 1 2 Cas du doublet du sodium Æ ge d Pour commencer, considérons un spectre comportant deux raies aux longueurs d’onde 0 ± . Cette source peut être vue comme une superposition de deux sources ponctuelles S et S ′ , toutes les deux situées en un même point de l’espace, cp ● S émet à une longueur d’onde = 0 − 2 Æ ● S ′ émet à une longueur d’onde ′ = 0 + 2 Æ 2 Un dispositif de trous d’Young est situé entre la source et M . En ce point M 2 1 2 ● Les deux ondes issues de S interfèrent : I = :I0 : [ + os (')] avec ' = ::p = 2 1 2 2::Æ (M ) ● Les deux ondes issues de S ′ interfèrent : I ′ = :I0 : [ + os ('′ )] avec ' = ::p′ = 2::Æ (M ) ′ ● S et S ′ n’étant pas cohérentes, l’intensité globale correspondra à la somme des deux intensités : 2 2 Itot = :I0 : [ + os (') + os ('′ )] Il y aura brouillage si cette intensité devient indépendante de la position du point M . Ce sera le cas si : os (') = os ('′ ) ′ Lo ri e nt 12 + n n ∈ N 1 1 Æ (M ):Æ Or p = Æ (M ): ∣ − ∣ ≡ Ce qui correspond à ∣ p∣ = 20 4.2 Source à spectre de bande PC Source non monochromatique L’intensité en un point M est la superposition des franges d’interférences en ce point M obtenues pour chacune des composantes spectrales. cp ge d up uy de lom e.f r- La plupart des sources n’émettent pas un lumière monochromatique. On va ici considérer une source émettant dans une bande spectrale centrée sur la longueur d’onde 0 et de largeur