La voisine de palier

Ecrit 2
CAPES Mathématiques
La voisine de palier
D’après un exercice du concours canadien CIPAS 2011 (actualisé).
1. Le sujet
Trouvez la fraction
p
3
, avec dénominateur inférieur ou égal à 2017, qui soit la plus près de (sans y être
q
7
égale).
G. Julia, 2016 / 2017
1
Ecrit 2
CAPES Mathématiques
2. Eléments de correction
Une solution arithmétique
Soit
p
p 3 7 p − 3q
3
un nombre rationnel (p et q premiers entre eux). L’écart avec est :
− =
q
7
q 7
7q
.
gjulia 2016
L’idée générale de la résolution est de minimiser 7 p − 3q tout en maximisant le dénominateur q.
p 3
≠ , le nombre entier 7 p − 3q est au moins égal à 1. Mais les entiers 7 et 3 étant premiers entre
q 7
eux, les deux équations : 7 p − 3q = 1 et 7 p − 3q = −1 ont des solutions dans l’ensemble des entiers. Si
Puisque
( p ; q ) est solution de l’une ou l’autre de ces équations, alors
p 3
1
− =
. Le nombre entier 7 p − 3q est
q 7 7q
minimisé pour ces couples ( p ; q ) .
On cherchera laquelle des solutions ( p ; q ) de l’une ou l’autre de ces équations a une composante q plus
petite que 2017 mais cependant la plus grande possible.
Résolution de 7 p − 3q = 1 :
Une solution particulière de cette équation est (1 ; 2 ) .
 p k = 1 + 3k
La solution générale en est : 
k ∈ Z et la solution où qk est inférieur ou égal à 1000 mais le plus
q k = 2 + 7 k
grand possible est précisément ( p 287 ; q 287 ) = (862 ; 2011) .
862
.
On obtient ainsi le rationnel
2011
Résolution de 7 p − 3q = −1 :
Une solution particulière de cette équation est (− 1 ; − 2 ) .
 p k = −1 + 3k
k ∈ Z et la solution où qk est inférieur ou égal à 1000 mais

q k = −2 + 7 k
le plus grand possible est précisément ( p 288 ; q 288 ) = (863 ; 2014) .
La solution générale en est :
On obtient ainsi le rationnel
gj 2016
863
. Le dénominateur est plus grand que celui du rationnel obtenu pour
2014
l’autre équation.
Parmi tous les rationnels
p
tels que 7 p − 3q = 1 , c’est lui le rationnel dont le dénominateur est le plus grand
q
et c’est lui qui est le plus voisin de
3
3
863 3
1
. L’écart avec est :
− =
.
7
7
2014 7 14098
Pour tous les autres rationnels de dénominateur ≤ 2017 , le nombre entier 7 p − 3q est au moins égal à 2.
Dans ce cas,
p 3
2
2
1
863
− ≥
≥
> gjulia 2016
. Ainsi
est le rationnel recherché.
q 7 7 q 14119
14098
2014
G. Julia, 2016 / 2017
2
Ecrit 2
CAPES Mathématiques
Une solution exhaustive
L’algorithme ratio(x) ci-contre explore tous
les entiers q inférieurs ou égaux à x et
premiers avec 7. Il teste les deux rationnels
de dénominateur q qui sont immédiatement
p
avant et immédiatement après
et
q
sélectionne celui de plus faible gj 2016 écart.
On note que floor donne l’entier
immédiatement inférieur et ceiling l’entier
immédiatement supérieur au nombre réel
considéré.
Appliqué avec x = 2017 , l’algorithme
confirme le résultat de la solution
arithmétique. On peut l’utiliser pour un
autre entier que 2017 (par exemple ci-contre
10000).
Il est assez facile d’adapter l’algorithme à la recherche du rationnel le plus voisin d’un rationnel donné
plutôt que de
a
b
3
.
7
3. Commentaire
•
Enoncé on ne peut plus succinct.
•
Au moins deux méthodes de résolution
•
Une méthode exploitant un algorithme
Pour ces raisons, cet exercice entre dans la catégorie « problèmes de recherche » ou « avec prise
d’initiative » comme il se dit en Oral 2. De plus, la méthode algorithmique valorise ce genre d’exercice, en
conformité avec les directives gj 2016 les plus récentes sur l’utilisation du numérique.
Encore faut-il que cette méthode ne soit pas la seule envisagée. On remarque que la question qui se pose à
nous dans cette méthode est « comment faire pour explorer toutes les fractions possibles ». C'est-à-dire qu’on
s’intéresse essentiellement à la rédaction de l’algorithme (où je vais mettre un « For … EndFor », ou un « If
… Then … EndIf » et quoi pour « For », quoi pour « If »). Dans le programme proposé ci-dessus, on essaie
de minimiser l’exploration en la concentrant, pour chaque valeur de q, sur deux fractions candidates. Mais
on pourrait ne pas le faire et l’algorithme marcherait aussi bien. La part de raisonnement mathématique reste
faible.
Pour ma part, il me semble important de maintenir et de promouvoir une démarche arithmétique. Cette
démarche justifie le résultat affiché par l’algorithme et, inversement, le résultat de l’algorithme valide le
raisonnement. Dans ce cas seulement, on peut parler d’un apport « intéressant » du numérique, par sa
confrontation avec un raisonnement mathématique pertinent.
Mais cela demande à l’enseignant, et aux élèves, un travail en amont considérable. Compte tenu de l’état de
délabrement des programmes que l’on nous concocte, l’enseignant aura-t-il la « compétence » de repérer ce
type d’exercice et les élèves celle de le traiter ? Le doute est permis.
G. Julia, 2016 / 2017
3