Temps fréquence

INTRODUCTION (1)
1
• Nous avons vu que la densité spectrale de puissance
permet de caractériser le contenu fréquentiel d’un
signal.
• Mais rappelons qu’une hypothèse importante de
départ est que le signal est stationnaire, c’est-à-dire
que sa structure doit être invariante dans le temps.
• Sinon, lorsqu’on estime la fonction d’autocorrélation
en estimant la valeur moyenne du produit x(n)x(n+k),
on somme des valeurs qui varient selon n.
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INTRODUCTION (2)
• On peut toujours estimer la DSP, mais le résultat
va être une moyenne des caractéristiques
fréquentielles des différentes parties du signal.
• On ne sait pas dans la DSP estimée ce qui
correspond à quoi.
• Autrement dit, on n’a pas l’information
temporelle, par exemple si un pic en fréquence
correspond à une oscillation à tel ou tel instant.
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2
INTRODUCTION (3)
3
• Exemple: une oscillation pas toujours présente
5
80
4
DSP
70
3
60
2
50
1
0
40
-1
30
-2
20
-3
10
-4
-5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
• La DSP donne seulement l’information d’oscillation
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INTRODUCTION (4)
4
• Exemple: changement de fréquence
2
80
1.5
70
1
60
0.5
50
0
40
-0.5
30
-1
20
-1.5
10
DSP
-2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
0
0.05
0.1
• La DSP ne montre pas ce changement
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0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
INTRODUCTION (5)
5
• Exemple: changement d’amplitude
2
100
DSP
90
1.5
80
1
70
0.5
60
0
50
40
-0.5
30
-1
20
-1.5
-2
10
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
0
0.05
0.1
• La DSP ne montre pas ce changement
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0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
PRINCIPE (1)
• Bien sûr, on peut repérer à l’œil les zones où le
signal est stationnaire, et faire un estimation de la
DSP séparément sur chaque zone.
• Mais ceci nécessite qu’on soit effectivement
capable de repérer ces zones, et on n’a pas
d’information sur les transitions, qui peuvent être
intéressantes.
• En fait, pourquoi ne pas estimer la DSP locale
systématiquement au cours du temps?
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6
PRINCIPE (2)
7
• Isoler une portion de signal autour de l’indice n
(typiquement entre n-m et n+m) revient à
multiplier le signal par une fonction fenêtre de
largeur 2m+1 centrée en n:
2
signal
0
-2
0
5
10
15
20
25
1
fenêtre
0
30
n
35
40
45
50
n-m n+m
-1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
2
produit
0
-2
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LA TRANSFORMEE DE FOURIER A COURT TERME (1)
• Et voilà! Pour chaque valeur de n on calcule la
transformée de Fourier du signal fenêtré, on
prend la valeur de l’amplitude au carré et on
divise par le nombre d’échantillons, soit 2m+1.
• Ceci revient donc à utiliser l’estimateur simple,
qui n’est pas très bon. On ne peut pas utiliser
l’estimateur moyenné car il y a en principe peu
d’échantillons. Par contre, on peut adoucir le
résultat en changeant la fonction fenêtre.
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8
LA TRANSFORMEE DE FOURIER A COURT TERME (2)
9
• On utilise de nouveau une fenêtre en bosse (ici
fenêtre de Hamming). On donne donc plus
d’importance aux échantillons d’indices proches de n.
2
signal
0
-2
0
5
10
15
20
25
1
fenêtre
produit
0
30
n
35
40
45
50
n-m n+m
-1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
2
0
-2
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LA TRANSFORMEE DE FOURIER A COURT TERME (3)
• On peut montrer qu’utiliser ce type de fenêtre sur
les échantillons est semblable à l’utiliser sur la
fonction d’autocorrélation estimée (estimateur
adouci).
• On doit bien sûr corriger le changement de
puissance du signal induit par le produit, puisque
les échantillons résultants ont une amplitude plus
petite car les valeurs de la fonction fenêtre sont
inférieures à 1.
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10
LA TRANSFORMEE DE FOURIER A COURT TERME (4)
11
• On y est! On a maintenant pour chaque indice temporel une
estimée de densité spectrale (pour un nombre fini de valeurs
de fréquence).
fréquence
temps
• C’est ce qu’on appelle souvent un plan temps-fréquence. Pour
le représenter on va coder les valeurs avec des couleurs,
typiquement foncé pour petit et vif pour grand.
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EXEMPLE
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• Signal de la page 3
S ignal in tim e
Real part
4
2
0
-2
-4
|S TFT|2 , Lh= 125, Nf= 500, lin. s c ale, im ages c , Thld= 1%
0.5
Frequency [Hz]
0.4
0.3
0.2
0.1
0
100
200
300
400
500
Tim e [s ]
600
700
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800
900
1000
EXEMPLE
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• Signal de la page 4
Real part
S ig n a l in t im e
1
0
-1
|S TF T|2 , L h = 1 2 5 , N f= 5 0 0 , lin . s c a le , im a g e s c , Th ld = 5 %
0.2
Frequency [Hz]
0.15
0.1
0.05
0
100
200
300
400
500
Tim e [s ]
600
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700
800
900
1000
EXEMPLE
14
• Signal de la page 5
Real part
S ig nal in tim e
1
0
-1
|S TF T|2 , Lh= 125, N f= 500, lin. s c ale , im a ges c , Thld= 5%
0 .1
Frequency [Hz]
0.08
0.06
0.04
0.02
0
100
200
3 00
40 0
500
Tim e [s ]
600
70 0
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800
9 00
1000
EXEMPLE
• Signal composé d’une sinusoïde pure et d’une
sinusoïde modulée linéairement en fréquence.
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15
LIMITATION (1)
• Le principal désavantage de la STFT est le mauvais
compromis réalisé parfois entre résolutions
temporelle et fréquentielle.
• En effet, pour être plus précis en temps, on peut
prendre une fenêtre temporelle plus courte. Mais
alors, on a moins d’échantillons pour faire
l’estimation spectrale, et on est moins précis en
fréquence.
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16
LIMITATION (2)
• Illustration: 2 fonctions de Gabor de même
fréquence et proches dans le temps
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17
LIMITATION (3)
Fonction d’analyse:
Hamming de longueur 65
Fonction d’analyse:
Hamming de longueur 17
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18
UN PETIT TRUC (1)
19
• Le signal peut contenir un changement lent de valeur
moyenne. Ceci correspond à une fréquence très basse
mais un puissance importante.
• Résultat: du fait de la représentation en code de
couleurs, on ne voit que cette composante dans le plan
temps-fréquence.
• Solution simple: faire un filtrage passe-haut ne
coupant que les très basses fréquences (filtrage allerretour bien sûr pour ne pas déphaser).
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UN PETIT TRUC (2)
20
|S T F T | 2 , L h = 1 2 5 , N f= 5 0 0 , l i n . s c a l e , i m a g e s c , T h l d = 5 %
0.1
0.0 9
0.0 8
Frequency [Hz]
0.0 7
0.0 6
signal
0.0 5
0.0 4
0.0 3
0.0 2
4
0.0 1
2
0
100
200
300
400
500
T im e [ s ]
600
700
800
900
1000
0
-2
-4
2
|S T F T | , L h = 1 2 5 , N f= 5 0 0 , l i n . s c a l e , i m a g e s c , T h l d = 5 %
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
4
0.1
0.0 9
2
0.0 8
0
0.0 7
Frequency [Hz]
0
-2
0.0 6
-4
0.0 5
0.0 4
0.0 3
après filtrage
0.0 2
0.0 1
0
100
200
300
400
500
T im e [ s ]
600
700
800
900
1000
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