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Université de Paris X Licence MMIA Feuille 1 Année Universitaire 2008/2009 Statistiques Exercice 1 Lors des inscriptions universitaires, chaque étudiant remplit un dossier d’inscription. Tous les contrôles effectués indiquent que la probabilité pour qu’un dossier quelconque soit bien rempli vaut p = 0.94. 1) Construire une variable aléatoire Y à partir des deux états possibles pour chaque dossier. 2) Donner sa loi de probabilité. 3) Calculer son espérance mathématique et sa variance. On considère maintenant un lot de n dossiers et on s’intéresse au nombre de dossiers bien remplis parmi les n. 4) Construire une variable aléatoire X qui représente le nombre de dossiers bien remplis. 5) Quelle est sa loi de probabilité ? Donner son espérance mathématique et sa variance. 6) Si n = 5, calculer la probabilité des événements suivants: ”aucun dossier n’est bien rempli”, ”tous les dossiers sont bien remplis”, ”X > 3”, ”2 < X < 4”. 7) Si n = 100, par quelle loi peut-on approximer celle de X ? Calculer la probabilité des événements suivants: ”X < 95”, ”X > 90”, ”90 < X < 95”, ”85 < X < 90”. Exercice 2 On soumet la main-d’oeuvre d’une entreprise à un test d’aptitude pour exécuter une certaine tâche. D’après les standarts établis, les résultats au test sont distribués suivant une loi normale d’espérance 150 et d’écart-type 10. 1) Définir la population et la variable étudiées. 2) On fait passer un test à 25 individus de l’entreprise choisis au hasard: le résultat moyen est de 154, 7 pour un écart-type de 12, 3. a) Compléter le tableau suivant en précisant les paramètres de la population et de l’échantillon prélevé: population échantillon taille moyenne écart-type 1 b) Caractériser la distribution de la moyenne empirique. c) Calculer la probabilité, en tirant au hasard un échantillon de taille 25, d’observer une moyenne d’échantillon supérieure à 154, 7. 3) On décide de prélever un échantillon de taille 36 dans la population. Quelle est la probabilité d’observer une moyenne d’échantillon supérieure à 154, 7? Exercice 3 La variable ”résultat à un test portant sur la richesse et la précision du vocabulaire chez les enfants de 12 ans ” obéit à une loi de moyenne 60 et d’écart-type 10. On s’intéresse à la moyenne empirique X̄n . 1) Indiquer l’effet de la taille de l’échantillon sur les caractéristiques de la distribution de X̄n : taille de l’échantillon loi moyenne empirique moyenne écart-type n=4 n=8 n = 32 n = 100 2) Calculer la probabilité, en tirant au hasard un échantillon de taille 100, d’observer un résultat moyen inférieure à 56. Exercice 4 A- Soit (X1 , ..., Xn ) un n-échantillon d’une loi sur R, d’espérance m et de variance σ 2 finies. n n 1X 1X Soit X̄n = Xi la moyenne empirique et Sn2 = (Xi − X̄n )2 la variance empirique n i=1 n i=1 de l’échantillon. 1) Déterminer l’espérance et la variance de X̄n . 2) Déterminer l’espérance de Sn2 . En déduire l’espérance de Ŝn2 n 1 X = (Xi − X̄n )2 . n − 1 i=1 B- Soit (X1 , ..., Xn ) un n-échantillon de loi gaussienne N (m, σ 2 ), m ∈ R, σ > 0. 1) Ecrire la densité du n-échantillon. 2) Déterminer la loi de X̄n . 3) Supposons que l’on a démontré que X̄n et Ŝn2 sont indépendantes. n n √ X̄n − m 1 X 1 X Quelles sont les lois de 2 ? (Xi − m)2 , de 2 (Xi − X̄n )2 et de n σ i=1 σ i=1 Ŝn 2 Exercice 5 Une usine vend sa fabrication de détergent en bidons dont la contenance (en grammes) est une variable aléatoire X supposée suivre une loi normale de paramètres m = 500 et σ = 6. A la suite de réclamations de clients, le chef de fabrication prélève un échantillon de taille n = 25 bidons pour en vérifier la contenance. A- Le chef de fabrication ne remet pas en cause la valeur de l’écart-type. 1) Quelle est la loi de probabilité de X̄n = n X Xi ? n 2) Combien valent P (498 < X̄n < 502) et P (495 < X̄n < 505) ? 3) Déterminer les bornes a et b d’un intervalle symétrique tel que P (a < X̄n < b) = 0.95. 4) Supposons que l’on dérègle volontairement le processus de remplissage de bidons de telle sorte que m vaut m0 = 497g. Soit un échantillon aléatoire de taille n = 25 issu de cette nouvelle fabrication . Quelle est la probabilité que sa moyenne X̄n soit toujours comprise dans l’intervalle calculé précédemment ? i=1 5) Quelle conclusion peut-on tirer d’un échantillon qui donne 25 X xi = 12400 ? i=1 Peut-on dire:” il y a 95% de chance que les bidons contiennent en moyenne 500g de produit”? B- Il se propose maintenant d’étudier la valeur de σ. Soit Z = n X (Xi − X̄n )2 σ2 i=1 1) Déterminer k1 et k2 tels que P (k1 < Z < k2 ) = 0.95. 2) En déduire l’intervalle [k10 , k20 ] dans lequel la variance aléatoire se trouvera avec une probabilité de 0.95. n X (Xi − X̄n )2 n i=1 3) Quelle conclusion peut-on tirer d’un échantillon qui donne 25 X Exercice 6 On considère un échantillon i.i.d. de loi gamma γ(p, θ), de densité θp −θx p−1 e x 1R+ (x). Γ(p) On rappelle que φX (t) = E(eitX ) = (1 − itθ )−p . 1) On note Tn = n X Xi et X̄n = Tn n . i=1 Quelle est la loi de Tn ? Donner la densité exacte de X̄n . 3 de l’échantillon (xi − xn )2 = 600 ? i=1 f (x) = . 2) Quelle est la loi asymptotique de X̄n ? n 1X 3) On note Yn = X 2. n i=1 i a) Vers quoi Yn converge en probabilité? b) Etablir la convergence en loi de Yn . Exercice 7 Pour contrôler le degré de radioactivité λ d’une substance, on observe la substance jusqu’à ce qu’on ait détecté n particules émises, n étant fixé à l’avance. Pour 1 ≤ i ≤ n, on note Ti le temps écoulé entre la (i − 1)-ième et la i-ième émission. On suppose que les variables T1 , ..., Tn sont des v.a. indépendantes et de même loi exponentielle E(λ). 1) Ecrire la densité du vecteur (T1 , ..., Tn ). 2) Soit Un = n X Ti . Déterminer la loi de Un puis de Vn = 2λUn . i=1 3) On fixe un niveau de confiance 1 − α où α ∈]0, 1[. On note χα le quantile d’ordre 1 − α de la loi du khi-deux à 2n degrés de liberté. Déterminer la borne aléatoire Cn,α , fonction de T1 , ..., Tn et de χα telle que P (λ ≤ Cn,α ) = 1 − α. Exercice 8 Soit X une variable aléatoire positive de densité e−x . Soit Y une variable aléatoire positive de densité xe−x . Les varaibles X et Y sont supposées indépendantes entre elles. Calculer X . la loi de Z = X +Y Exercice 9 Soit λ > 0 et D = ((x, y), 0 < x < y). Soit fX,Y (x, y) = λ3 x e−λy 1D (x, y) la densité du couple (X, Y ). 1) Calculer la loi de X et la loi de Y . 2) Calculer la loi de (X, Y − X) et la loi de (Y − X). X X 3) Calculer la loi de ( , Y ) et la loi de ( ). Y Y 4