Corrigé de l`exercice de BAC S - Tivomaths

Première S
Février 2016
Corrigé de l’exercice de BAC S
Thème : Probabilités (Partie 1).
1. Plaçons dans le plan muni du repère (O ;~ı ; ~ ) les 9 points correspondant aux différents résultats possibles :
M7
2.0
b
M8
b
M9
b
1.5
D
C
b
1.0
M4
M5
b
b
M6
0.5
O = M1
b
−2.0 −1.5 −1.0 −0.5
−0.5
0.5
b
M2
1.0
1.5
b
M3
2.0
−1.0
−1.5
−2.0
2.
• Notons Ω l’univers constitué des 9 points précédents. Les tirages des boules étant équiprobables, on
munit naturellement Ω de la loi uniforme P . Clairement, les seuls points de Ω situés sur l’axe des
abscisses sont M1 (0 ; 0), M2 (1 ; 0) et M3 (2 ; 0). Il suit alors :
P (A) =
3
1
card A
= = .
card Ω
9
3
p
• Remarquons au préalable que M (x ; y) ∈ C ssi OM = 1 ssi
x2 + y 2 = 1 ssi x2 + y 2 = 1. De
plus, on peut dresser le tableau suivant qui contient les valeurs possibles de x2 + y 2 :
Il apparaı̂t que M ∈ C ssi x2 + y 2 = 1 ssi M = M2 ou M = M4 .
0 1 2
Par suite,
0 0 1 4
2
card B
1 1 2 5
= .
P (B) =
2 4 5 8
card Ω
9
3. a) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe la somme x2 + y 2 .
À l’aide du tableau précédent, on obtient la loi de X :
X(Ω) = { 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 } et
Il vient alors E(X) = 1 ×
xi
P (X = xi )
0
1
2
4
5
8
1
9
2
9
1
9
2
9
2
9
1
9
2
1
2
2
1
30
10
+2× +4× +5× +8× =
=
.
9
9
9
9
9
9
3
p
b) M (x ; y) ∈ D ssi OM 6 1,7 ssi
x2 + y 2 6 1,7 ssi x2 + y 2 6 2,89 (fonction carré est strict.↑ sur R+ ).
Ainsi, l’événement « le point M appartient au disque D » s’écrit aussi X 6 2,89.
Or (X 6 2,89) = (X = 0) ∪ (X = 1) ∪ (X = 2) et donc :
P (X 6 2,89) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
4
1 2 1
+ + = .
9 9 9
9
Extrait du sujet BAC S - Amérique du Sud - Novembre 2000
Corrigé disponible sur http://tivomaths.free.fr/
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