III.1 Généralité sur la Machine Asynchrone

Chapitre III
Modélisation et Simulation des Machines Asynchrones
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III.1 Généralité sur la Machine Asynchrone
III.1.1 Définition
On appelle machine asynchrone (MAS), une machine électrique de vitesse variable, à courant
alternatif, qui à deux enroulements dont un seul (statorique) est alimenté par un réseau électrique
de pulsation ωs ; alors que le deuxième (rotorique) est fermé sur lui-même (ou à cage d’ecureille),
généralement ce type de machines est plus utilisée en moteur asynchrone (en triphasé).
III.1.2 Constitution de la machine asynchrone
Ce type de machine est comportant deux armatures coaxiales l’une est fixée appelée stator et
l’autre est mobile appelée rotor; entre les 2 armatures il y a l’entrefer.
Le stator est porté un enroulement triphasé est alimenté en triphasé par l’intermédiaire de la
plaque à bornes de la machine, ce qui le permet de l’alimenter en couplage Y ou en Δ (voir Fig.1).
Fig. 1 Plaque à bornes de la machine
Le rotor porte des barres en cuivre ou en aluminium logées dans des encoches et réunies à
leurs extrémités par deux couronnes en Aluminium, ce dernier est appelé « Cage d’ecureille ». Le
courant dans ses barres est induit uniquement par le champ statorique.
Fig. 2 Machine Asynchrone à Cage: (1) Carcasse, (2) Roulement, (3) Flasque, (4) Ventilateur, (5)
Couvert de ventilateur, (6) Boîte de connexion, (7) Stator, (8) Enroulement de stator (invisible),
(9) Rotor, (10) Arbre de rotor.
Réalisé par: TIR Zoheir
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II.1. 3 Principe de fonctionnement
L’enroulement statorique reçoit de l’énergie électrique du réseau de pulsation ωs, ce qui crée
un champ tournant à la vitesse angulaire synchrone Ωs = ωs /p ; ce champ, en balayant les barres
rotoriques y induit des F.E.M et donc des courants. Ces courants induits produiront un champ qui
sera de sens opposé au champ statorique. Cela va produire un couple moteur qui entrainera la mise
en mouvement du rotor dans les sens du champ tournant statorique.
Fig. 3 Champ tournant de la MAS
III.1.4 Bilan énergétique d’un moteur asynchrone
Le moteur asynchrone absorbe du réseau une puissance est égale Pa=3 V I cos(φ); à travers les
bornes statoriques ; une partie de cette puissance (1 à 2 %) est perdue dans le stator sous forme de
pertes fer (pertes magnétiques) PFs et de pertes dans le cuivre due à l’effet joules PJs (PJs=3RI2).
La puissance restante (Pe) est alors transmise au rotor par le champ tournant sous forme de
puissance électromagnétique.
(𝐼𝐼𝐼. 1)
𝑃𝑒 = 𝑃𝑎 − 𝑃𝐽𝑠 + 𝑃𝐹𝑠 ≈ 𝑃𝑎
Le rotor utilise cette puissance Pe pour deux utilisations :

Une partie est gaspillée sous forme de pertes par effet joules rotoriques (PJr).

L’autre partie se retrouve sous forme de puissance mécanique, qu’on appelle puissance
utile (Pu) disponible à l’arbre du moteur
𝑃𝑒 = 𝑃𝑢 + 𝑃𝐽𝑟
(𝐼𝐼𝐼. 2)
III. 2 Modélisation de la machine asynchrone
III.2.1 Description du modèle
La machine asynchrone (MAS) triphasée comporte un stator fixe et un rotor mobile autour de
l’axe de symétrie de la machine. Dans des encoches régulièrement réparties sur la face interne du
stator sont logés trois enroulements identiques, leurs axes sont distants entre eux d’un angle
électrique égale à (2π/3).
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III.2.2 Hypothèses simplificatrices
A fin de simplifier la modélisation de la MAS, on va admettre les hypothèses simplificatrices
suivantes :
-
Entrefer constant;
-
Effet des encoches négligé;
-
Distribution spatiale sinusoïdale des forces magnétomotrices d’entrefer;
-
Circuit magnétique non saturé et à perméabilité constante;
-
Pertes ferromagnétiques négligeables.
Le modèle de la MAS triphasé est illustré par le schéma de la Fig. 4 avec les armatures
statoriques et rotoriques sont munies chacune d’un enroulement triphasé, sont trois enroulements
du stator : Sa, Sb et Sc ,et pour les trois enroulements rotoriques : Ra, Rb et Rc , et θ : Angle entre
l’axe de la phase statorique et la phase rotorique.
SB
iSb

VSb
Ra
iRa
VRa
Rb
2π/3
iRb
VRb
Sa
θ
o
iSa
VSa
VRc


iRc
VSc
iSc
Rc
Sc

Partie fixe : Stator.
 Partie mobile : Rotor.
 Entrefer constant.
Fig 4 Représentation des enroulements de la MAS triphasée dans l'espace électrique.
On déduit pour l’ensemble des phases statoriques :
𝑅𝑆
𝑉𝑠𝑎
𝑉𝑠𝑏 = 0
𝑉𝑠𝑐
0
0
𝑅𝑆
0
0
0
𝑅𝑆
𝜆𝑠𝑎
𝐼𝑠𝑎
𝐼𝑠𝑏 + (𝑑 𝑑𝑡) 𝜆𝑠𝑏
𝐼𝑠𝑐
𝜆𝑠𝑐
,𝑉𝑠𝑎𝑏𝑐 - = ,𝑅𝑆 -,𝐼𝑠𝑎𝑏𝑐 - + (𝑑 𝑑𝑡),𝜆𝑠𝑎𝑏𝑐 Réalisé par: TIR Zoheir
(𝐼𝐼𝐼. 3)
(𝐼𝐼𝐼. 4)
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Et pour les phases rotoriques:
𝑉𝑟𝑎
𝑅𝑟
𝑉𝑟𝑏 = 0
𝑉𝑟𝑐
0
0
𝑅𝑟
0
0
0
𝑅𝑟
𝜆𝑟𝑎
𝐼𝑟𝑎
𝐼𝑟𝑏 + (𝑑 𝑑𝑡) 𝜆𝑟𝑏
𝐼𝑟𝑐
𝜆𝑠𝑐
(𝐼𝐼𝐼. 5)
,𝑉𝑟𝑎𝑏𝑐 - = ,𝑅𝑟 -,𝐼𝑟𝑎𝑏𝑐 - + (𝑑 𝑑𝑡),𝜆𝑟𝑎𝑏𝑐 -
(𝐼𝐼𝐼. 6)
Une matrice des inductances [L(Ѳ)] établit la relation entre les flux et les courants; elle
comporte 36 coefficients dont la moitié dépend du temps, par l’intermédiaire de Ѳ (position du
rotor).
Soit:
𝜆𝑠𝑎
𝑙𝑠
𝜆𝑠𝑏
𝑀𝑠
𝜆𝑠𝑐
𝑀𝑠
=
𝜆𝑟𝑎
𝑀1
𝑀3
𝜆𝑟𝑏
𝑀2
𝜆𝑟𝑐
𝑀𝑠
𝑙𝑠
𝑀𝑠
𝑀2
𝑀1
𝑀3
𝑀𝑠
𝑀𝑠
𝑙𝑠
𝑀3
𝑀2
𝑀1
𝑀1
𝑀2
𝑀3
𝑙𝑟
𝑀𝑟
𝑀𝑟
𝑀3
𝑀1
𝑀2
𝑀𝑟
𝑙𝑟
𝑀𝑟
𝑀2
𝑀3
𝑀1
𝑀𝑟
𝑀𝑟
𝑙𝑟
𝐼𝑠𝑎
𝐼𝑠𝑏
𝐼𝑠𝑐
𝐼𝑟𝑎
𝐼𝑟𝑏
𝐼𝑟𝑐
(𝐼𝐼𝐼. 7)
Où :
𝑀1 = 𝑀𝑠𝑟 cos(𝜃)
𝑀2 = 𝑀𝑠𝑟 cos(𝜃 − 2𝜋/3)
𝑀3 = 𝑀𝑠𝑟 cos(𝜃 + 2𝜋/3)
(𝐼𝐼𝐼. 8)
La matrice des flux réels fait apparaître quatre sous matrices d’inductances :
,𝐿𝑠 𝜆𝑠𝑎𝑏𝑐
=
𝜆𝑠𝑎𝑏𝑐
,𝑀𝑟𝑠 -
,𝑀𝑠𝑟 - 𝐼𝑠𝑎𝑏𝑐
,𝐿𝑟 - 𝐼𝑟𝑎𝑏𝑐
(𝐼𝐼𝐼. 9)
Avec :
,𝑀𝑠𝑟 - = ,𝑀𝑟𝑠
-𝑇
= 𝑀𝑠𝑟
𝑙𝑠
,𝐿𝑠 - = 𝑀𝑠
𝑀𝑠
𝑀𝑠
𝑙𝑠
𝑀𝑠
𝑀𝑠
𝑀𝑠
𝑙𝑠
𝑙𝑟
,𝐿𝑟 - = 𝑀𝑟
𝑀𝑟
𝑀𝑟
𝑙𝑟
𝑀𝑟
𝑀𝑟
𝑀𝑟
𝑙𝑟
cos(𝜃)
cos(𝜃 − 2𝜋/3)
cos(𝜃 + 2𝜋/3)
cos(𝜃 + 2𝜋/3)
cos(𝜃)
cos(𝜃 − 2𝜋/3)
cos(𝜃 − 2𝜋/3)
cos(𝜃 + 2𝜋/3)
cos(𝜃)
(𝐼𝐼𝐼. 10)
Finalement :
𝑑
*,𝐿 -,𝐼
- + ,𝑀𝑠𝑟 -,𝐼𝑟𝑎𝑏𝑐 - +
𝑑𝑡 𝑠 𝑠𝑎𝑏𝑐
𝑑
,𝑉𝑟𝑎𝑏𝑐 - = ,𝑅𝑟 -,𝐼𝑟𝑎𝑏𝑐 - + *,𝑀𝑠𝑟 -𝑇 ,𝐼𝑠𝑎𝑏𝑐 - + ,𝐿𝑟 -,𝐼𝑟𝑎𝑏𝑐 - +
𝑑𝑡
,𝑉𝑠𝑎𝑏𝑐 - = ,𝑅𝑠 -,𝐼𝑠𝑎𝑏𝑐 - +
(𝐼𝐼𝐼. 11)
III.2.3 Transformation de Park appliquée à la MAS:
La transformation de Park consiste à transformer un système triphasé (abc) en un système
biphasé équivalent (d-q), comme le montre la Fig. 5.
Réalisé par: TIR Zoheir
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Sb
d
Rb
Ra
r
s
q

Sa
Sc
Rc
Fig.5 Repérage angulaire des systèmes d’axes dans l’espace électrique
La transformation linéaire [p] est appliquée à l'équation (III.11)
,𝑝-−1 𝑉𝑑𝑞𝑜 = ,𝑅-,𝑝-−1 𝐼𝑑𝑞𝑜 +
𝑑
,𝑝-−1 𝜆𝑑𝑞𝑜
𝑑𝑡
(𝐼𝐼𝐼. 12)
Avec :
,𝑝(𝜃)- =
cos(𝜃)
cos(𝜃 + 2𝜋/3)
cos(𝜃 − 2𝜋/3)
3 − sin(𝜃) − sin(𝜃 + 2𝜋/3) − sin(𝜃 − 2𝜋/3)
1
1
1
2
2
2
2
(𝐼𝐼𝐼. 13)
Cette matrice est orthogonale, c'est-à-dire ,𝑝(𝜃)-𝑇 = ,𝑝(𝜃)-−1 . La transformation de Park peut
être appliquée sur les tensions, les courants et les flux.
En multipliant l’Eq (III.12) à gauche par,𝑝(𝜃)- :
𝑑
,𝑝-−1 𝜆𝑑𝑞𝑜
𝑑𝑡
𝑑
𝑑
+ ,𝑝- ,𝑝-−1
𝜆𝑑𝑞𝑜 + ,𝑝-−1 𝜆𝑑𝑞𝑜
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑
𝑑
+ ,𝑝-,𝑝-−1
𝜆𝑑𝑞𝑜 + ,𝑝- ,𝑝-−1 𝜆𝑑𝑞𝑜
𝑑𝑡
𝑑𝑡
,𝑝-,𝑝-−1 𝑉𝑑𝑞𝑜 = ,𝑝-,𝑅-,𝑝-−1 𝐼𝑑𝑞𝑜 + ,𝑝= ,𝑝-,𝑅-,𝑝-−1 𝐼𝑑𝑞𝑜
= ,𝑝-,𝑅-,𝑝-−1 𝐼𝑑𝑞𝑜
(𝐼𝐼𝐼. 14)
Finalement,
𝑉𝑑𝑞𝑜 = ,𝑅- 𝐼𝑑𝑞𝑜 +
Réalisé par: TIR Zoheir
𝑑
𝑑
𝜆𝑑𝑞𝑜 + ,𝑝- ,𝑝-−1 𝜆𝑑𝑞𝑜
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(𝐼𝐼𝐼. 15)
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On démontre que :
0 −1 0 𝑑𝜃
𝑑
−1
,𝑝- ,𝑝- = 1 0 0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
0 0 0
On obtient finalement le système des équations de Park qui constitue ainsi un modèle
électrique dynamique pour l'enroulement diphasé équivalent :
Au stator :
𝑑𝜆𝑠𝑑
𝑑𝜃𝑠
− 𝜆𝑠𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜆𝑠𝑞
𝑑𝜃𝑠
= 𝑅𝑠 𝑖𝑠𝑞 +
+ 𝜆𝑠𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜆𝑠𝑜
𝑣𝑠𝑜 = 𝑅𝑠 𝑖𝑠𝑜 +
𝑑𝑡
𝑣𝑠𝑑 = 𝑅𝑠 𝑖𝑠𝑑 +
𝑣𝑠𝑞
(𝐼𝐼𝐼. 16)
Au rotor :
𝑑𝜆𝑟𝑑
𝑑𝜃𝑟
− 𝜆𝑟𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜆𝑟𝑞
𝑑𝜃𝑟
0 = 𝑅𝑟 𝑖𝑟𝑞 +
+ 𝜆𝑟𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜆𝑟𝑜
0 = 𝑅𝑟 𝑖𝑟𝑜 +
𝑑𝑡
0 = 𝑅𝑟 𝑖𝑟𝑑 +
(𝐼𝐼𝐼. 17)
Remarque :
Quand les sommes des composantes (a, b et c) sont nulles, la troisième équation, toujours
vérifiée car identiquement nulle, devient inutile.
III.2.4 Réduction de la matrice des inductances
Deux transformation de Park sont définies à partir de la matrice (III. 13) dans laquelle l’angle 𝜃
est remplacé par 𝜃𝑆 pour le stator, par 𝜃𝑟 pour le rotor ; on les note respectivement ,𝑃(𝜃𝑆 )- et
,𝑃(𝜃𝑟 )-.
On design par :
𝜃𝑆 : L’angle électrique 𝑆𝑎 , 𝑂𝑑 ,
𝜃𝑟 : L’angle électrique 𝑅𝑎 , 𝑂𝑑 .
On remarque sur la Fig. 5 que 𝜃𝑆 et 𝜃𝑟 sont naturellement liés à 𝜃 par la relation rigide :
𝜃𝑆 − 𝜃𝑟 = 𝜃
(𝐼𝐼𝐼. 18)
Pour la réduction de la matrice des inductances les transformations proposées établissent les
relations entre les flux d’axe d,q,o et les flux d’axes a,b,c :
𝜆𝑆𝑑𝑞 𝑜 = ,𝑃(𝜃𝑆 )-,𝜆𝑆𝑎𝑏𝑐 - 𝑒𝑡 𝜆𝑟𝑑𝑞𝑜 = ,𝑃(𝜃𝑟 )-,𝜆𝑟𝑎𝑏𝑐 -
(𝐼𝐼𝐼. 19)
En développant les expressions des flux, elles deviennent :
-
Au stator :
𝜆𝑠𝑑𝑞𝑜 = ,𝑃(𝜃𝑠 )- ,𝐿𝑠 - ,𝐼𝑠𝑎𝑏𝑐 - + ,𝑀𝑠𝑟 - ,𝐼𝑟𝑎𝑏 𝑐 -
Réalisé par: TIR Zoheir
(𝐼𝐼𝐼. 20)
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27
Soit :
𝜆𝑠𝑑𝑞𝑜 = ,𝑃(𝜃𝑠 )-,𝐿𝑠 -,𝑃(𝜃𝑠 )-−1 𝐼𝑠𝑑𝑞𝑜 + ,𝑃(𝜃𝑠 )-,𝑀𝑠𝑟 -,𝑃(𝜃𝑟 )-−1 𝐼𝑟𝑑𝑞𝑜
-
(𝐼𝐼𝐼. 21)
Au rotor :
𝜆𝑟𝑑𝑞𝑜 = ,𝑃(𝜃𝑟 )- ,𝑀𝑠𝑟 - ,𝐼𝑠𝑎𝑏𝑐 - + ,𝐿𝑠 - ,𝐼𝑟𝑎𝑏𝑐 -
(𝐼𝐼𝐼. 22)
Soit :
𝜆𝑟𝑑𝑞𝑜 = ,𝑃(𝜃𝑟 )-,𝑀𝑟𝑠 -,𝑃(𝜃𝑆 )-−1 𝐼𝑠𝑑𝑞𝑜 + ,𝑃(𝜃𝑆 )-,𝐿𝑟 -,𝑃(𝜃𝑟 )-−1 𝐼𝑟𝑑𝑞𝑜
(𝐼𝐼𝐼. 23)
Après le calcul, on trouve :
𝜆𝑠𝑑
𝑙𝑠 − 𝑀𝑠 0
0
3𝑀𝑠𝑟 /2 0
𝜆𝑠𝑞
0 𝑙𝑠 − 𝑀𝑠
0
0 3𝑀𝑠𝑟 /2
𝜆𝑠𝑜
0
𝑙
+
2𝑀
0
0
0
𝑠
𝑠
=
𝑙
−
𝑀𝑟 0
3𝑀𝑠𝑟 /2 0
𝜆𝑟𝑑
0
𝑟
0
0 𝑙𝑟 − 𝑀𝑟
0 3𝑀𝑠𝑟 /2
𝜆𝑟𝑞
0
0
0 𝑙𝑟
0
0
𝜆𝑟𝑜
0
0
0
0
0
+ 2𝑀𝑟
𝐼𝑠𝑑
𝐼𝑠𝑞
𝐼𝑠𝑜
𝐼𝑟𝑑
𝐼𝑟𝑞
𝐼𝑟𝑜
(𝐼𝐼𝐼. 24)
On constate :
-
D’une part, que la transformation de Park rend les coefficients de la matrice des inductances
indépendants du temps ;
-
D’autre part, que le nombre de paramètres électromagnétiques se réduit à cinq.
Ce sont :
Ls = ls - Ms : Inductances cycliques statorique ;
Lr = lr - Mr : Inductances cycliques rotorique ;
M= 3Msr/2: Inductance mutuelle cyclique entre stator et rotor ;
Los=ls+2Ms : l’inductance homopolaire statorique ;
Lor=lr+2Mr : l’inductance homopolaire rotorique.
Nous pouvons exprimer certaines de ces inductances en fonction de nombre de spire : NS et Nr,
et la reluctance d’entrefer ℜ𝑔 :
𝑁𝑠2
𝑁𝑠2
2𝜋
𝑁𝑟2
𝑁𝑟2
2𝜋
𝑁𝑠 𝑁𝑟
𝑙𝑠 =
, 𝑀𝑠 =
cos
, 𝑙𝑟 =
, 𝑀𝑟 =
cos
𝑒𝑡 𝑀𝑠𝑟 =
ℜ𝑔
ℜ𝑔
3
ℜ𝑔
ℜ𝑔
3
ℜ𝑔
Dans le cas où les sommes des courants statoriques des courants rotoriques sont nulles ⟹ les
composantes d’indice (O) sont nulles.
Dans ces conditions de fonctionnement en mode non dégradé, les flux d'axes d et q sont
simplement définis par les trois paramètres constants Ls, Lr et M et reliés aux courants par la
relation (III.25) :
𝜆𝑠𝑑
𝐿𝑠
𝜆𝑠𝑞
0
=
𝜆𝑟𝑑
𝑀
𝜆𝑟𝑞
0
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0
𝐿𝑠
0
𝑀
𝑀
0
𝐿𝑟
0
0
𝑀
0
𝐿𝑟
𝐼𝑠𝑑
𝐼𝑠𝑞
𝐼𝑟𝑑
𝐼𝑟𝑞
(𝐼𝐼𝐼. 25)
Chapitre III
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28
La substitution des enroulements fictifs Sd , Sq , Rd , Rq aux enroulements triphasés permet, par
interprétation de leur représentation à la figure (II.4), une écriture rapide de l’équation (II.25).
Les équations de Panrk des tensions, statoriques et
rotoriques s'écrivent :
𝑑𝜆𝑠𝑑
𝑑𝜃𝑠
− 𝜆𝑠𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜆𝑠𝑞
𝑑𝜃𝑠
𝑣𝑠𝑞 = 𝑅𝑠 𝑖𝑠𝑞 +
+ 𝜆𝑠𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜆𝑟𝑑
𝑑𝜃𝑟
0 = 𝑅𝑟 𝑖𝑟𝑑 +
− 𝜆𝑟𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜆𝑟𝑞
𝑑𝜃𝑟
0 = 𝑅𝑟 𝑖𝑟𝑞 +
+ 𝜆𝑟𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑣𝑠𝑑 = 𝑅𝑠 𝑖𝑠𝑑 +
(𝐼𝐼𝐼. 26)
Fig. 6 Représentation des enroulements
fictifs d’axes d et q
On désigne :
-
Par 𝜔𝑠 = 𝑑𝜃𝑠 𝑑𝑡 la vitesse angulaire des axes d, q dans le repère statorique ;
-
Par 𝜔𝑟 = 𝑑𝜃𝑟 𝑑𝑡 la vitesse angulaire des axes d, q dans le repère rotorique.
A partir de l’expression III. 18 il se déduit par dérivation :
𝜔𝑠 − 𝜔𝑟 =
𝑑𝜃
= 𝜔 = 𝑝Ω
𝑑𝑡
(𝐼𝐼𝐼. 27)
P : Nombre de pair de pole
-
Cette relation cinétique interne montre que les vitesses angulaires des axes d, q respectivement
dans les repères statorique et rotorique et liées rigidement à la vitesse angulaire du rotor Ω
III.2.5 L’expression du couple électromagnétique
L'équation du couple :
𝐶𝑒 =
3
𝑝 𝜆𝑠𝑑 𝑖𝑠𝑞 − 𝜆𝑠𝑞 𝑖𝑠𝑑
2
(𝐼𝐼𝐼. 28)
III.2.6 L’équation de la mécanique
L'équation du mouvement s’écrit :
𝐽
𝑑Ω
+ 𝑓Ω = 𝐶𝑒 − 𝐶𝑟
𝑑𝑡
(𝐼𝐼𝐼. 29)
Avec :
J : moment d’inertie du rotor ;
f : coefficient de frottement visqueux ;
Cr : couple résistant de la charge.
p : Nombre de paires de pôles.
Travail pratique N° 03.
Modélisation et Simulation de la Machine Asynchrone
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