X Physique 1 PC 2003 — Corrigé
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X Physique 1 PC 2003 — Corrigé
c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/14 X Physique 1 PC 2003 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Antonin Ferri (ENS Ulm) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet traite d’un thème toujours d’actualité en astrophysique : la présence dans l’univers de matière qui se manifeste uniquement par sa masse, donc par le champ gravitationnel qu’elle engendre. Il s’articule en quatre parties, de difficulté assez progressive : • La première traite de la modélisation de la partie visible d’une galaxie spirale. Les questions qu’elle comporte sont sans difficulté majeure, mais nécessitent d’adapter les outils de l’électrostatique au cas de la gravitation. • La deuxième, très courte, donne une estimation de la vitesse de rotation des étoiles en fonction de leur position, dans l’hypothèse où il n’y a que de la matière visible. • La troisième constate l’incompatibilité entre ces prédictions et les observations. Elle propose une détermination de la masse de matière noire d’une galaxie. Cette partie est sensiblement plus difficile que les deux précédentes, et nécessite des raisonnements physiques assez complexes. • La dernière s’intéresse aux amas de galaxie, et montre que la part de matière noire est encore plus importante dans les amas que dans les galaxies. Elle permet aussi de réviser l’hydrostatique avec une modélisation d’un gaz en équilibre gravitationnel. Ce sujet n’est pas très calculatoire (à part quelques questions). En revanche, il constitue un bon entraînement pour développer son sens physique. En outre, il utilise des théorèmes qui ne sont vus en cours que dans le cas de l’électrostatique, mais qui s’appliquent aussi à la gravitation. Enfin, il permet de réviser l’hydrostatique, dans un cas un peu éloigné du cours. Il n’est pas très difficile (si ce n’est quelques questions), mais peut déstabiliser les candidats en demandant d’appliquer des connaissances, par ailleurs bien maîtrisées, à des cas nouveaux. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/14 Indications Partie I I.1.b Remarquer que fixer le champ fixe aussi la densité de masse. I.2.a L’énoncé demande d’exprimer le potentiel en fonction de r et non de R. I.3 Ne pas chercher à faire des calculs. Partie II II.1.a Utiliser le repère de Frenet. Partie III − → → III.1.b Calculer V · − u∆ , où − u→ ∆ est le vecteur unitaire de la ligne de visée. III.2.b À quoi ressemble la galaxie dans le cas i = π/2 ? III.3.a Utiliser le théorème de Gauss pour montrer que la forme asymptotique obtenue à la question II.1.a se généralise simplement pour tout R, dans le cas d’une distribution à symétrie sphérique. III.3.b Remarquer que V2 est linéaire en M. 1 u2 =1− . III.3.d Remarquer que 2 1+u 1 + u2 III.4.a Supposer que la contribution de la masse visible est négligeable et le vérifier a posteriori. λ III.5.b La limite de résolution est de l’ordre de θmin , où a est le diamètre de a l’ouverture du télescope. Partie IV IV.2.a La vitesse de libération est la vitesse qui permet à un corps de surmonter l’attraction gravitationnelle de l’amas. IV.3.a Utiliser la relation de l’hydrostatique. Faire attention au fait que le champ gravitationnel n’est pas constant. IV.3.b Le gaz est électriquement neutre. La loi des gaz parfaits peut aussi s’écrire P = nkB T, où kB est la constante de Boltzmann et n la densité volumique de particules. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K I. Publié dans les Annales des Concours 3/14 Modélisation d’une galaxie spirale I.1.a Dans le cas où b = 0, le potentiel se simplifie en GM ΦD (R, z) = − q 2 R2 + (a + |z|) I.1.b Pour z < 0, on a GM ΦD (R, z) = − q 2 R2 + (a − z) En outre, si l’on nomme A le point (R = 0 , z = a) et P le point (R , z), on a AP2 = R2 + (a − z)2 GM AP ce qui est rigoureusement équivalent au potentiel d’une masse ponctuelle M placée en A. On sait que la densité de masse est reliée au champ gravitationnel par l’équation → − div A = −4π G ρ On en déduit ΦD (R, z) = − Il faut ici se souvenir que les théorèmes puissants de l’électrostatique, comme le théorème de Gauss, s’appliquent aussi aux champs gravitationnels. L’équation ci-dessus est en fait celle de Maxwell-Gauss, mais dans le cas de la gravitation. La connaissance du champ de gravitation ou du champ électrique fixe complètement la densité de masse ou de charge. Il suffit de savoir que les équations de l’électrostatique et celles de la gravitation sont reliées par les relations masse ↔ charge 1 G↔− 4π ε0 Comme le champ est celui d’une masse ponctuelle, on sait que sa divergence est nulle partout sauf sur la masse (R = 0 , z = a > 0) où elle n’est pas définie. On en déduit, pour z < 0 ρ=0 I.1.c Le potentiel est invariant par symétrie par rapport au plan z = 0. On en déduit que si z > 0, le champ se comporte comme celui d’une masse ponctuelle placée en (R = 0 , z = −a). I.1.d On en déduit en particulier que ρ = 0 pour z > 0. Ce résultat et celui de la question I.1.b impliquent que la masse est localisée dans le plan z = 0. Comme ΦD est invariant par rotation autour de l’axe R = 0, on en déduit que la densité de masse doit être elle aussi invariante par rotation. En particulier, les courbes d’isodensité sont les courbes R = Cte La galaxie a donc une forme circulaire. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K 4/14 Publié dans les Annales des Concours On pourrait douter de cette réponse, vu le titre de la partie. Il ne faut pourtant pas s’inquiéter : la modélisation envisagée ne permet pas d’en dire plus (voir l’énoncé à la question I.4). En outre, les phénomènes donnant naissance à la forme spirale des galaxies ne sont pas encore très bien compris. I.2.a Dans le cas où a = 0, on a GM ΦS (R, z) = − √ R2 + z 2 + b2 c’est-à-dire, comme R2 + z 2 = r2 , GM ΦS (r) = − √ r 2 + b2 I.2.b Ce potentiel est à symétrie sphérique ; en conséquence, il doit en être de même pour la densité. Les surfaces d’isodensité sont donc des sphères et la galaxie, dans ce cas, est sphérique. I.3 On peut déduire des questions précédentes que la composante en a du champ correspond à une densité localisée sur le plan z = 0, à symétrie circulaire, tandis que la composante en b correspond à une répartition sphérique de la densité de masse. Par conséquent, les valeurs relatives de a et b indiquent quelle portion de la masse est dans le disque ou dans la boule. z as b ≫ a O R z as a ≫ b O R Il s’agit bien sûr d’un raisonnement purement qualitatif. On pourrait calculer la densité de masse grâce à la loi suivante : → − 1 1 ρ=− div A = ∆ΦG 4π G 4π G En pratique, le calcul est très complexe et ne donne pas de résultat satisfaisant analytiquement. Il faut recourir à des tracés numériques pour se donner une idée plus précise de la répartition de masse. I.4 Pour R et z grands devant a et b, l’expression générale de ΦG se simplifie en GM GM ΦG = − √ =− 2 2 r R +z Or, ce potentiel est exactement celui d’une masse ponctuelle M placée à l’origine du repère. On en déduit que la galaxie a une masse M. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .