lycée lycée lycée f. villon j. vaucanson v. van gogh les mureaux les

LYCÉE
F. VILLON
LES MUREAUX
LYCÉE
J. VAUCANSON
LES MUREAUX
LYCÉE
V. VAN GOGH
AUBERGENVILLE
MATHÉMATIQUES
CAHIER DE VACANCES
POUR LES ÉLÈVES
ENTRANT EN SECONDE
Cel
i
vr
e
te
s
tunc
a
hi
e
rd’
e
xe
r
c
i
c
e
sp
or
t
a
nts
url
e
spoi
nt
sf
onda
me
nt
a
uxduprogramme de
ma
t
hé
ma
t
i
que
sduc
ol
l
è
g
equ’
uné
l
è
v
ee
nt
r
a
nte
ns
e
c
ondedoi
ta
bs
ol
ume
ntma
î
t
r
i
s
e
rpour
suivre correctement le programme de cette classe.
I
lc
ompor
t
ehui
tpa
g
e
ss
urc
ha
c
unede
s
que
l
l
e
sl
’
é
l
è
vet
r
ouve
r
aunr
é
s
umédec
our
s
,de
s
exemples et des exercices à faire sur le cahier après les avoir cherchés au brouillon (les
r
é
pons
e
ss
o
n
tdonné
e
se
nde
r
ni
è
r
epa
gepourquel
’
é
l
è
vepui
s
s
evé
r
i
f
i
e
rqu’
i
lt
r
ouvel
ebon
résultat).
En seconde les professeurs du lycée pourront vérifier que le travail a été fait correctement et
éventuellement aider les élèves qui auraient eu des difficultés sur tel ou tel point. Ils pourront
a
us
s
is
’
a
ppuy
e
rs
urc
et
r
a
va
i
lpoura
va
nc
e
rl
e
urc
our
s
.
I
le
s
tdoncné
c
e
s
s
ai
r
e
,dansl
’
i
nt
é
r
ê
tde
sé
l
è
v
e
s
, que le travail soit fait sérieusement e
tqu’
i
l
soit terminé avant la rentrée de septembre.
Bon courage et bonnes vacances !
PRIORITÉS DE CALCUL
Résumé.
Dans un calcul contenant des parenthèses, on commence par effectuer les opérations qui se
t
r
ouve
ntàl
’
i
nt
é
r
i
e
urde
sparenthèses.
Lor
s
qu’
i
ln’
yapa
sdepa
r
e
nt
hè
s
e
,l
amul
t
i
pl
i
c
a
t
i
one
tl
adi
vi
s
i
onontpr
i
or
i
t
és
url
’
a
ddi
t
i
one
t
la soustraction.
Exemples.
3 5 2 (3 5) 2 15 2 13 et 3 (5 2) 3 3 9
1 2 3
2
2 5 3 2 15 2 17
 et 1 2 3 4 1  4 5  
 

3 4 7
3
3
3
3
3
3
Onn’
apa
sbe
s
oi
ndepa
r
e
nt
hè
s
e
spouré
c
r
i
r
eunes
ommedepr
odui
t
sc
ommeab cd mais on
en a besoin pour écrire un produit de sommes comme (a b)(c d ) .
Remarque. On utilise aussi des parenthèses pour entrer certains quotients dans une calculatrice.
3 4
Par exemple, on tape 
3 4 (5 6) pour calculer
.
5 6
Exercices.
Calculer :
2 5 7 3 
2 3 4 5 
3 2 5 4 
(3 5) 2 4 
3 (4 5) 2 5 
Ecrire les quotients suivants en utilisant le signe :
5 x 2

3 x
3
1 
x
3x

x 2
3
1 x 
5
x x 1


3 2x
x 4
3 
5
Page 1
FRACTIONS
Résumé.
p
où p et q sont des entiers est dite irréductible lorsque p et q n’
ontpa
sde
q
di
vi
s
e
urc
ommuna
ut
r
eque1.Qua
ndunef
r
a
c
t
i
onn’
e
s
tpa
si
r
r
é
duc
t
i
bl
e
,onl
as
i
mpl
i
f
i
ee
n
divisant son numérateur et son dénominateur par un diviseur commun.
Exemples.
3
La fraction
est irréductible.
4
15
15 3 5 3
La fraction
nel
’
e
s
tpa
s; on peut la simplifier :

 .
20
20 4 5 4
Une fraction
Propriétés.
A condition que les dénominateurs des fractions soient non nuls, on a
a
a d ad
; b   
c b c bc
d
Remarque. Pour additionner deux fractions, on ne peut additionner les numérateurs que si les
dénominateurs sont égaux.
Exemples.
a c a c a c a c a c ad bc ad bc
a c ac
 
;  
;    
;
 
b b
b
b b
b
b d bd bd
bd
b d bd
21 66
3 7 6 11
3
15 7 3 1 3 2 1


 ;
      ;
55 42
5 116 7
5
20 14 4 2 4 4 4
15
6 15 20 3 5 2 2 5 2 2
25 6 25
3 2 5 5
1
20
Exercices.
Compléter les égalités suivantes :
b
a 
c
a b

a

 
a
b 
c


a

b
c


Ca
l
c
ul
e
rs
ousf
or
med’
e
nt
i
e
roudef
r
a
c
t
i
oni
r
r
é
duc
t
i
bl
e:
5 1
A 2   
6 3
9 10
B 

5 21
25 6
C  
30 36
11 2  20
D   
 
14 7  50

3
1
E 4 
3
2
5
Page 2
PUISSANCES
Résumé.
Propriétés. Soit a et b des nombres non nuls et m et n des entiers positifs ou négatifs.
1
a 0 1 ; a1 a ; a n  n ;
a
n
(ab) n a n b n
a m a n a m n
n
a  a
et    n
b  b
et
am
a m n
n
a
(il n'y a que l'exposant n)
(il n'y a que des puissances de a )
(a m )n a mn
Remarques.
Ne pas confondre a n et (a ) n . Exemple. 32 9 et (3)2 9 .
Ne pas confondre ab n et (ab)n a n b n . Exemple. 3 23 3 8 24 mais (3 2)3 63 216
Exemples de calculs.
(2 x)3 23 x3 8 x3 ; 4( x) 4 4 x 4
2
 1 1
  2
 x x
; (2 x 2 )3 23 ( x 2 )3 8 x 6
3
3
x  x
;  
2  8
; 
( x)3 x 3 ; 
( x) 4 x 4
; 3 x 2 5 x3 15 x5
3
; 3 x 3  3 .
x
Exercices.
Ecrire les expressions suivantes sous la forme ax n où a est un nombre quelconque et n est un
entier.
x(3 x)4 
3( x 2 )3 
3x 2 5 x 3 
2
x 3 
 2 
2 x 
( x3 )2 
3
(2 x)3

5x2
(3x 2 )(3 x) 2 

( 2 x)3 (2 x) 2 
2x

(3x) 2
Page 3
DÉVELOPPEMENT
Résumé.
On utilise les égalités k (a b) ka kb et (k l )(a b) ka kb la lb
ou les identités remarquables :
(a b) 2  a 2 2ab b 2 ou
(a b)2 a 2 2ab b2 ou
(a b)(a b) a2 b2
Exemples.
( x 3)( x 4) (2 x 1)( x 3)
x 2 4 x 3 x 12 
2 x 2 6 x x 3


x 2 x 12 
2 x 2 5 x 3


x x 12 2 x 5 x 3
2
2
x 6 x 9
2
(5 x 3)2 (5 x) 2 2 5 x 3 32
25 x 2 30 x 9
(1 x)(1 x) 12 x 2
1 x 2
(3 x) 2 ( x 2) (9 6 x x 2 )( x 2)
9 x 18 6 x 2 12 x x 3 2 x 2
x 3 4 x 2 3x 18
Exercices.
Développer :
x 2 (2 x 1) 
(3x 1)( x 1) 2 
(a 2b)(a 2b) 
( x 1)3 ( x 1) 2 ( x 1) 
(3x 1) 2 (3 x 1)2 
(1 4 x)(4 x 1) 
(5 2 x) 2 
(2 x 2 3 x 1) 2 
Page 4
FACTORISATION
Résumé.
Méthode 1. On reconnaît un facteur commun dans
l
e
st
e
r
me
sdel
’
e
x
pr
e
s
s
i
onqu’
onv
e
u
tf
a
c
t
or
i
s
e
re
t
onu
t
i
l
i
s
el
’
é
g
a
l
i
t
é
( K )( A) ( K )( B ) ( K )[( A) ( B )] .
Exemple.
( x 3)( x 4) (2 x 1)( x 3)
Méthode 2. On r
e
c
on
n
a
î
tl
e dé
v
e
l
oppe
me
nt d’
u
n
e
identité remarquable :
( A) 2 2 AB ( B) 2 ( A B) 2
ou
( A) 2 2 AB ( B) 2 [ A ( B)]2
ou
(A) 2 ( B ) 2 ( A B )[ A ( B )]
( x 3)[( x 4) (2 x 1)]
( x 3)( x 4 2 x 1)
( x 3)(x 3)
Exemples.
49 x 2 28 x 4 (7 x) 2 2 7 x 2 (2) 2
( x 3)( x 3)
(7 x 2) 2
( x 3)2
Il se peut que le facteur commun soit « caché » ; il
faut alors le faire apparaître.
Exemple.
x( x 3) (2 x 6)( x 1) x( x 3) 2( x 3)( x 1)
( x 3)[ x 2( x 1)]
( x 3)( x 2 x 2)
( x 3)(x 2)
( x 3)( x 2)
(3 x)( x 2)
Remarque. Les deux dernières égalités ne sont pas
obligatoires.
(3 x 4) 2 25 (3x 4) 2 (5) 2
[(3 x 4) (5)][(3x 4) (5)]
(3x 9)(3 x 1)
3( x 3)(3x 1)
Re
ma
r
qu
e
.Lade
r
n
i
è
r
eé
g
a
l
i
t
én
’
e
s
tpa
sobl
i
g
a
t
oi
r
e
.
Exercices.
Méthode 1 :
2( x 1) ( x 1)( x 5) 
(3 x 1) 2 (3 x 1)(2 x 7) 
(2 x 5) 2 4 x 10 
Méthode 2 :
x 2 6 x 9 
121 36x 2 
1 (4 x 3) 2 
Trouver la méthode :
(2 x 3) 2 49 
( x 4)(3 x 8) (3 x 8) 
x 2 4 x 
Page 5
ÉQUATIONS
Résumé.
Méthode. On peut résoudre une équation
a. en ajoutant (ou en retranchant) un même nombre aux deux membr
e
sdel
’
é
ga
l
i
t
é
b. en multipliant (ou en divisant) ces deux membres par un même nombre non nul.
Exemple.
L’
é
qua
t
i
onx 5 3 s
’
é
c
r
i
tx 3 5 en ajoutant 5 (ou encore en retranchant 5) aux deux
me
mbr
e
sdel
’
é
ga
l
i
t
é
.Las
ol
ut
i
one
s
tdoncx 2 .
5
1
L’
é
qua
t
i
on2 x 5 s
’
é
c
r
i
tx  e
nmul
t
i
pl
i
a
ntl
e
sde
uxme
mbr
e
sdel
’
é
ga
l
i
t
épa
r (ou
2
2
5
encore en divisant par 2 ). La solution est donc x  .
2
Qua
nd,a
pr
è
st
r
a
ns
f
or
ma
t
i
ons
,l
’
é
qua
t
i
onpe
uts
’
é
c
r
i
r
es
ousl
af
or
meax b ou b ax avec
b
a 0 il y a alors une unique solution : x  .
a
Exemples.
Résoudre 1 3( x 1) x 2 .Ce
t
t
eé
qua
t
i
ons
’
é
c
r
i
ts
uc
c
e
s
s
i
ve
me
nt:
4
1 3 x 3 x 2 ; 3 x x 2 1 3 ; 4 x 4 ; x 
; x 1
4
Il y a donc une unique solution x 1 .
5
1
Résoudre x 2 3  x . En multipliant les deux me
mbr
e
sdel
’
é
ga
l
i
t
épa
r6,onobt
i
e
nt
3
6
successivement :
6
5
  1 
6  x 2 6 
3  x  ; 10 x 12 18 x ; 10 x x 18 12 ; 11x 6 ; x 
11
3
  6 
6
Il y a donc une unique solution : x  .
11
Exercices.
Résoudre :
4 x 0
2 x 3
2 5 x
3 x 2
5 5 x 4
4 5 x 2
3( x 1) 5(1 x) 1
2
5
x 1 x 
3
4
5
3 x 1 4  x
3
Page 6
INÉQUATIONS
Résumé.
Méthode. On peut résoudre une inéquation
c. e
na
j
out
a
nt(
oue
nr
e
t
r
a
nc
ha
nt
)unmê
menombr
ea
uxde
u
xme
mbr
e
sdel
’
é
ga
l
i
t
é
d. en multipliant (ou en divisant) ces deux membres par un même nombre non nul et en
distinguant deux cas :
 si ce nombre estpos
i
t
i
f
,ong
a
r
del
es
e
nsdel
’
i
né
ga
l
i
t
é
 s
ic
enombr
ee
s
tné
ga
t
i
f
,onc
ha
ng
el
es
e
nsdel
’
i
né
ga
l
i
t
é
.
Exemple.
L’
i
né
qua
t
i
onx 5 3 s
’
é
c
r
i
tx 3 5 en ajoutant 5 (ou encore en retranchant 5) aux deux
me
mbr
e
sdel
’
é
ga
l
i
t
é
.Le
ss
ol
ut
i
onss
ontdonct
ou
sl
e
snombr
e
sx tels que x 2 .
5
1
L’
i
né
qua
t
i
on2 x 5 s
’
é
c
r
i
tx  e
nmul
t
i
pl
i
a
ntl
e
sde
u
xme
mbr
e
sdel
’
é
galité par
2
2
5
(ou encore en divisant par 2 ) . Les solutions sont donc tous les nombres x tels que x  .
2
Qua
nd,a
pr
è
st
r
a
ns
f
or
ma
t
i
ons
,l
’
i
né
qu
a
t
i
onpe
uts
’
é
c
rire sous la forme ax b avec a 0
b
b
alors les solutions sont les x tels que x  si a 0 et les x tels que x  si a 0 .
a
a
Exemples.
Résoudre 4( x 1) 6 x 1 .Ce
t
t
eé
qu
a
t
i
ons
’
é
c
r
i
ts
u
c
c
e
s
s
i
v
e
me
n
t:
3
3
4 x 4 6 x 1 ; 4 x 6 x 1 4 ; 2 x 3 ; x 
; x
2
2
3
Les solutions sont donc les x tels que x  .
2
5
2
1
Résoudre x  3  x .Enmu
l
t
i
pl
i
a
n
tl
e
sde
u
xme
mbr
e
sdel
’
i
n
é
g
a
l
i
t
épa
r
12,
onobt
i
e
n
t
4
3
6
successivement :
2  1 
28
5
12  x  12 
3  x  ; 15 x 8 36 2 x ; 15 x 2 x 36 8 ; 17 x 28 ; x 
3  6 
17
4
28
Les solutions sont donc les x tels que x  .
17
Exercices.
Résoudre :
2 x 0
4 x 3
2 3 2x
3 4 x 2
5 3 x 4
2 x 1
3(2 x 1) 5(2 3 x) 1
2
5
x 1 x 
3
4
1
5
5 x  4  x
3
3
Page 7
RACINE CARRÉE
Résumé.
Définition. Soit a unnombr
epos
i
t
i
f
.L’
uni
quenombr
epos
i
t
i
fr tel que r 2 a est appelé
racine carrée de a et noté a .
Remarque. Il y a deux nombres dont le carré est a : ce sont a et  a .
Propriétés. Si a et b sont des nombres positifs, on a
2
a
a
a b  ab ;

(si b 0) ;
a a
b
b
 
Remarque. Les expressions a 2 b 2 et a 2 b2 n’
ontr
i
e
nàvoi
ra
ve
ca b et a b .
Exemples.
L’
é
qua
t
i
onx 2 5 a deux solutions :  5 et 5 .
3 39  3 39  3 3 13  9 13 3 13 .
15
15

 5.
3
3

1 5

2



 4 3 1 .
2  3 2  3 22  3
 1 2
12 2 
1 5 5
2
2
5 5 6 2 5 .
52 32  25 9  34 c
equin’
ar
i
e
nàvoi
ra
ve
c5 3 8 .
Exercices.
Ecrire les nombres suivants sous la forme a b c où a, b, c sont des entiers (éventuellement
nuls) :
A  72 
B  8  18 
C 3 13  9 4 


D  5 3 2 5 

F 
3

2 1
 2 12
E  2 3
2

2 1 
Soit G 3 x 2 x 2 et H 2 x 2 3 x 1 . Calculer G et H pour x 2  3 :
G
H
Résoudre les équations suivantes :
a. x 2 169
b. (3 x) 2 81
c. x 2 51
Page 8
Réponses
Réponses page 1 : 40 ; 29 ; 3 ; 8 ; 16 ;
(5 x 2) (3 x) ; 1 3 x ; 3x ( x 2) ;
1 (3 5) x ; ( x 3) ( x 1) (2 x) ; ( x 4) 5 3.
Réponses page 2 :
ab
c
b
1
a
;
3
A
2
81x 5
Réponses page 4 :
2 x3 x 2
1 16 x
Réponses page 5 :
6
B 
7
;
Réponses page 3 :
; 3x 6
C 1
;
;
1 2
x
4
;
4 x 20 x 25
2
;
1
D
5
;
a 2 4b 2
;
5
E .
4
;
8
;  x ; 27 x 4
5
; x 24
3x 3 7 x 2 5 x 1
;
; 32 x 5
x 3 3x 2 3x 1
2 1
x .
9
;
81x 4 18x 2 1
;
4 x 12 x 5 x 6 x 1.
4
;
3
2
( x 1)( x 7) ; (3x 1)( x 8) ; (2 x 5)(2 x 3) ; ( x 3) 2 ; (11 6 x )(11 6 x )
(4 x 4)(4 x 2) ou 8( x 1)(2 x 1) ; (2 x 4)(2 x 10) ou 4( x 2)( x 5) ;
(3 x 8)( x 3)
Réponses page 6 :
0
Réponses page 7 :
x 0
Réponses page 8 :
ac
b
;
; 15 x 5
;
2
a
bc
;
;
; x( x 4).
3

2
;
3
3
x
4
;
;
;
13
x .
20
A 6 2
;
B 5 2
;
a. x 13 ou x 13
1
;
9
5
;
1
x
2
;
27
x
4
G 21 11 3
;
;
2
5
;
3
8
1
x 
4
;
x 3
;
x 1
D 10 3 5
;
E 11 6 2
;
C 2 13
;
;
27
4
;
15
.
14
;
4
x
7
;
;
F 4
;
H 21 11 3
;
b. x 3 ou x 3
;
c. x  51 ou x  51.
Page 9
;