Systèmes Dynamiques [3mm] Analyse et

Plan du cours
Plan de la séance
1
Introduction + Calcul différentiel
2
Exercices de Calcul différentiel (3h de TD)
3
Théorie générale des ED :
4
Cas linéaire autonome :
5
Linéarisation du flot
2
Équations linéaires (non autonomes)
3
Conséquences
Différentielle du flot
Équations affines
Cas des ED linéaires périodiques
x 0 (t) = Ax (t)
Linéarisation & ED linéaires non autonomes
δx 0 = Df (x (t)) · δx
6
x 0 (t) = f x (t)
1
&
x 0 (t) = A(t)x (t)
Équilibres et stabilité,
x 0 = f (x ) vs δx 0 = Df (x0 ) · δx
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Rappels sur le flot
Proposition
x 0 (t) = f x (t) ,
Flot = application
φt : v
C 1 sur Ω
f
Supposons xv (·) définie sur [0, t]
(ED)
Alors φt définie sur V ⊂ Ω voisinage de v , et
φt : V −→ φt (V) (= voisinage de xv (t))
7−→ xv (t),
où xv (·) = sol. maximale de (ED) t.q. xv (0) = v .
Ex (cas linéaire) :
Si f (x ) = Ax ,
( ⇔ t ∈ Jv ).
est une bijection continue.
Autrement dit,
φt = e tA
v 7→ xv (·) est continue sur V.
[dépendance continue / cond. initiales]
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Linéarisation du flot
Plan de la séance
Déf : L’équation linéarisée autour d’une sol. x (·) : J → Rn est
y 0 (t) = Df x (t) · y (t),
t∈J
Théorème
1
Linéarisation du flot
2
Équations linéaires (non autonomes)
3
Conséquences
Différentielle du flot
Équations affines
Cas des ED linéaires périodiques
φt de classe C 1 et Dφt (v ) · δv = y (t), où y (·) solution de
(
y 0 (s) = Df xv (s) · y (s)
y (0) = δv
v 7→ xv (·) est différentiable sur V
Autrement dit,
[dépendance différentiable / cond. initiales]
Remarque :
Forme de l’équation linéarisée :
y 0 (t) = A(t)y (t)
où
A(t) = Df x (t)
→ ED linéaire non autonome
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Existence et unicité
ED linéaires
x 0 (t) = A(t)x (t),
Données :
•
•
t∈J
x 0 (t) = A(t)x (t),
(ED)
J intervalle de R,
A : J → Mn (R) de classe
•
I sous-intervalle de J
•
∀t ∈ I,
(ED)
Soit E l’ensemble des solutions de (ED).
Ck,
Proposition
x (·) : I → Rn dérivable t.q.
Solution :
t∈J
E est un espace vectoriel de dimension n.
x 0 (t) = A(t)x (t).
Déf :
RA (t, s) : Rn −→ Rn
x0 7−→ x (t),
Théorème (Existence et unicité globales)
Soient t0 ∈ J et x0 ∈ Rn .
Il existe une unique solution x (·) de (ED) t.q.
Résolvante = application linéaire
où x (·) solution de (ED)
t.q. x (s) = x0 .
x (t0 ) = x0 .
−→
Cette solution est définie sur tout l’intervalle J.
RA (t, s) matrice (n × n) inversible.
Solution générale de (ED) :
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x (t) = RA (t, t0 ) x (t0 )
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Propriétés de la résolvante
∀ t0 ∈ J, RA (·, t0 ) = la solution de

 ∂ R (t, t ) =
0
A
∂t

A(t) RA (t, t0 )
Moralité
;
Il suffit de connaître RA (t, s)
RA (t0 , t0 ) = I
si A(·) est C k , alors t 7→ RA (t, t0 ) est C k+1 .
Problème :
en général, on ne sait pas la calculer
∀ t0 , t1 , t2 ∈ J,
MAIS
RA (t2 , t0 ) = RA (t2 , t1 ) ◦ RA (t1 , t0 );
on peut dire beaucoup de choses
qualitativement
Exemple : cas autonome
Si A(t) ≡ A,
RA (t, s) = e (t−s)A .
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Plan de la séance
Exemples
tr A(t) ≡ 0
car
−→
=⇒
det RA (t, s) ≡ 1,
det RA (t, t0 ) = exp
Z t
tr A(u) du
(voir TD).
t0
RA (t, s) préserve le volume
1
Linéarisation du flot
2
Équations linéaires (non autonomes)
3
Conséquences
Différentielle du flot
Équations affines
Cas des ED linéaires périodiques
A(t) antisymétrique (pour tout t)
=⇒
−→
RA (t, s) = rotation (pour tous t, s)
kx (t)k constant
Attention :
en général, les valeurs propres de A(t) ne donnent
AUCUNE indication sur les solutions
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Différentielle du flot
Exemple d’application : Champs à divergence nulle
Rappel :
divf (x ) =
Dφt (v ) · δv = y (t), où y (·) solution de
(
divf (x ) ≡ 0
y 0 (s) = Df xv (s) · y (s)
y (0) = δv
Conséquence :
y (t) = A(t)y (t)
Alors
où
=⇒
det Dφt (x ) = det R(t, 0) = 1
Soit Γ domaine de Rn , vol(Γ) =
A(t) = Df xv (t)
R
Γ dµ.
Transport de Γ par (ED) = φt (Γ),
Soit R(t, s) = résolvante de l’ED linéarisée
0
∂f1
∂fn
(x ) + · · · +
(x ) = tr Df (x )
∂x1
∂xn
Z
Z
vol φt (Γ) =
dµ =
φt (Γ)
Dφt (v ) = R(t, 0)
divf (x ) ≡ 0
=⇒
det Dφt (x )dµ.
Γ
vol φt (Γ) = vol(Γ).
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ED linéaires périodiques
ED affines
x 0 (t) = A(t)x (t) + b(t)
(cf TD)
x 0 (t) = A(t)x (t)
(ED)
où A(·) T -périodique,
Théorème (Variation de la constante)
∀t ∈ R
c-a-d A(t + T ) = A(t)
∀t
Propriété de la résolvante
Toute solution de (ED) satisfait
RA (t + T , s + T ) = RA (t, s)
Z t
x (t) = RA (t, t0 ) x (t0 ) +
t0
RA (t, s) b(s)ds.
Conséquence
Comportement de x (t) quand t → +∞
⇐⇒
celui de RA (T , 0)N x (0) quand N → +∞
où RA (t, t0 ) résolvante de x 0 (t) = A(t)x (t).
Preuve. Poser y (t) = RA (t, t0 )−1 x (t) et dériver ...
−→ dépend du module des valeurs propres de RA (T , 0)
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(cf. TD)
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