Nombres premiers, PGCD, PPCM - Notes de cours

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
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Cours de
MATHEMATIQUES
- Nombres premiers, PGCD, PPCM ——————————————————————
H. Schyns
Novembre 2002
Nombres premiers, PGCD, PPCM
Sommaire
Sommaire
1.
NOMBRES PREMIERS
1.1.
Définition
1.2.
Exemples
1.3.
Recherche des nombres premiers
1.4.
Quelques curieuses propriétés de nombre premiers
1.5.
Critères de divisibilité
1.6.
Décomposition en facteurs premiers
1.6.1. Proposition
1.6.2. Méthode
2.
3.
PGCD - PLUS GRAND COMMUN DÉNOMINATEUR
2.1.
Définitions
2.2.
Méthode des facteurs premiers
2.3.
Méthode d'Euclide
PPCM - PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE
3.1.
Définition
3.2.
Méthode des facteurs premiers
INTERMÈDE HISTORIQUE : ERATOSTHÈNE (276 A.C. – 196 A.C.)
EXERCICES DU CHAPITRE
♦ Exercice 1
♦ Exercice 2
♦ Exercice 3
H. Schyns
S.1
Nombres premiers, PGCD, PPCM
1.
1 - Nombres premiers
Nombres premiers
1.1.
Définition
Un nombre premier est un nombre entier qui n'est divisible de manière entière
que par 1 et par lui-même.
ou, ce qui revient au même
Un nombre premier est un nombre entier qui n'est le multiple d'aucun autre nombre
entier, à l'exception de 1 et de lui-même.
1.2.
Exemples
5
est un nombre premier car il n'est multiple d'aucun nombre entier (à l'exception
de 1 car 5 = 5 • 1).
6 n'est pas un nombre premier car 6 est multiple de 2 et de 3.
7 est un nombre premier car il n'est multiple d'aucun nombre entier (à l'exception
de 1 car 7 = 7 • 1).
8 n'est pas un nombre premier car 8 est multiple de 2 et de 4.
Notons que 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.
1.3.
Recherche des nombres premiers
Eratosthène de Cyrène, mathématicien grec qui vécut de 276 à 196 avant J.C. a mis
au point une méthode pour trouver tous les nombres premiers inférieurs à un
nombre quelconque. Sa méthode est connue sous le nom crible d'Eratosthène.
Utilisons cette méthode pour
rechercher tous les nombre
premiers compris entre 1 et
100.
Commençons par écrire la liste
des nombres de 1 à 100 dans
un tableau et supprimons 1 qui
n'est pas un nombre premier
par définition.
Le premier nombre disponible
dans le tableau est 2. On en
conclut que 2 est un nombre
premier.
Dès lors, nous
pouvons éliminer tous les
multiples de 2 puisque, par
définition, un nombre premier
n'est multiple d'aucun nombre.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
.
H. Schyns
1.1
Nombres premiers, PGCD, PPCM
1 - Nombres premiers
Après 2, le premier nombre
disponible est 3.
On en
conclut que 3 est un nombre
premier. Eliminons tous les
multiples de 3.
Après 3, le premier nombre
disponible est 5. On en déduit
que 5 est un nombre premier
et on élimine tous ses
multiples.
On trouve ensuite 7 et 11 et on
peut s'arrêter car
11 • 11 = 121 > 100
ce qui est plus grand que le
dernier chiffre du tableau.
Tous les nombres survivants
sont des nombres premiers :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
47
41
43
47
53
59
61
67
71
73
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3
11 12 13
22 23
21
31 32 33
41 42 43
51 52 53
61 62 63
71 72 73
81 82 83
91 92 93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
79
83
89
97
Il est utile de mémoriser les premiers termes de cette série.
1.4.
Quelques curieuses propriétés de nombre premiers
On démontre facilement que la suite des nombres premiers est infinie. Autrement
dit, quel que soit un nombre donné, aussi grand que l'on veut, il est toujours possible
de trouver un nombre premier qui lui soit supérieur.
Avec la série de nombres premiers que nous avons ci-dessus, nous sommes
capables d'extraire tous les nombres premiers jusqu'à 10 000 (10 000 = 100 • 100).
Ceci fait, nous serons en mesure d'extraire tous les nombres premiers jusqu'à
100 000 000 (100 000 000 = 10 000 • 10 000) et ainsi de suite.
Un nombre premier (à l'exception de 2 et 3) est toujours voisin d'un multiple de 6. Il
suffit soit de lui ajouter 1, soit de lui retirer 1. Vous pouvez le vérifier facilement sur
le tableau ci-dessus où on a représenté les multiples de 6 par des cases grises. Par
exemple :
83 + 1 = 84 = 14 • 6
79 - 1 = 78 = 13 • 6
Tout nombre entier non premier est le produit de deux ou plusieurs nombres qui sont
tous premiers. Par exemple :
3850 = 2 • 5 • 5 • 7 • 11
Le mathématicien Mersennes pensait que tous les nombres de la forme
N
M=2 -1
H. Schyns
1.2
Nombres premiers, PGCD, PPCM
1 - Nombres premiers
dans lesquels N est premier sont aussi des nombres premiers. En effet, par
exemple, prenons N=5 dans la liste des nombres premiers ci-dessus.
5
2 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 d'où 32 - 1 = 31
et 31 est bien un nombre premier. Prenons ce nombre comme nouveau N
2
31
= 2 • 2 •...• 2 • 2 = 2 147 483 648 d'où 2 147 483 647 est premier.
Mais la règle ne fonctionne pas dans tous les cas (p.ex. N=11 et 23). En réalité, les
nombres de Mersennes sont relativement rares et dès lors, ils passionnent les
mathématiciens.
Les grands nombres premiers (plus de 100 chiffres) sont d'une importance capitale
en cryptographie (système RSA). Ils servent à coder des documents confidentiels, à
protéger l'échange de données sur Internet, à tester la fiabilité des ordinateurs...
1.5.
Critères de divisibilité
Il existe une série de petits "trucs" facile à mémoriser qui permettent de savoir
rapidement si un nombre est divisible par un autre.
Un nombre est divisible par
2
si son dernier chiffre est divisible par 2.
65 328 est divisible par 2.
87 641 n'est pas divisible par 2.
3
si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3
65 328 est divisible par 3 car 6+5+3+2+8 = 24; 2+4=6 et 6 est multiple de 3
87 641 n'est pas divisible par 3 car 8+7+6+7+1 = 29; 2+9 = 11 non multiple
4
si les deux derniers chiffres sont divisibles par 4
65 328 est divisible par 4 car 28 est divisible par 4.
87 641 n'est pas divisible par 4.
5
si le dernier chiffre est 5 ou 0
65 325 est divisible par 5.
87 641 n'est pas divisible par 5.
6
s'il est divisible par 2 et par 3
65 328 est divisible par 6 (voir plus haut).
87 641 n'est pas divisible par 6.
7
hélas, pas de truc simple
8
si les trois derniers chiffres sont divisibles par 8
65 328 est divisible par 8 car 328 = 41•8.
87 644 n'est pas divisible par 8.
9
si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9
65 628 est divisible par 9 car 6+5+6+2+8 = 27; 2+7=9 et 9 est multiple de 9.
87 641 n'est pas divisible par 9 car 8+7+6+7+1 = 29; 2+9 = 11 non multiple.
10
si le dernier chiffre est 0
11
si la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme
des chiffres de rang pair est divisible par 11
89 936 est divisible par 11 car (8+9+6)-(9+3) = 11 est multiple de 11.
87 641 n'est pas divisible par 11 car (8+1+6)-(7+4) = 4 n'est pas multiple.
H. Schyns
1.3
Nombres premiers, PGCD, PPCM
1.6.
1 - Nombres premiers
Décomposition en facteurs premiers
1.6.1. Proposition
Tout nombre entier non premier peut être décomposé en une série de
facteurs qui sont tous des nombres premiers. Cette décomposition est
unique.
1.6.2. Méthode
La
décomposition
en
facteurs
premiers
est
particulièrement utile dans les calculs qui font intervenir
des fractions.
En pratique, pour décomposer un nombre en facteurs
premiers, on écrit ce nombre (p.ex 756) à gauche d'une
ligne verticale.
756
378
189
63
21
7
2
2
3
3
3
7
1
Ensuite, on passe en revue la suite des nombres
premiers. Si le nombre est divisible par 2, on écrit 2
dans la zone de droite et le quotient dans la partie
gauche (756 / 2 = 378). Comme 378 est encore divisible
par 2, on écrit encore 2 à droite et le quotient à gauche
(378 / 2 = 189).
189 n'est plus divisible par 2. On regarde alors s'il est
divisible par 3, nombre suivant dans la liste des nombres
premiers. Comme c'est le cas (189 / 3 = 63), on inscrit 3
à droite et 63 à gauche. 63 est encore divisible par 3, on
inscrit donc 3 et 21. 21 est encore divisible par 3, ce qui
nous donne 3 et 7. A ce stade nous avons ainsi épuisé
les possibilités de division par 3.
7 344
3 672
1 836
918
459
153
51
17
1
2
2
2
2
3
3
3
17
Le dernier nombre inscrit, 7, étant un nombre premier,
on termine en divisant 7 par 7 (à droite) et on clôture la
colonne de gauche avec 1. On peut donc écrire que :
2
3
756 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 7 = 2 • 3 • 7
Le deuxième exemple illustre la décomposition de 7 344
en facteurs premiers. On obtient :
4
3
7 344 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 17 = 2 • 3 • 17
Notons que l'ordre dans lequel on choisit les diviseurs
premiers n'a pas importance. On peut commencer par
les diviseurs qui sautent aux yeux. Ainsi, dans l'exemple
de la décomposition de 3 000, 3 apparaît immédiatement
comme diviseur. 1 000 est évidemment divisible par 10,
donc par 2 et par 5, etc. Quel que soit l'ordre choisi,
après avoir classé les facteurs premiers en ordre
croissant, on obtiendra toujours
3
3 000 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 5 = 2 • 3 • 5
H. Schyns
3000
1000
500
100
50
10
5
1
3
2
5
2
5
2
5
3
1.4
Nombres premiers, PGCD, PPCM
2.
2 - PGCD - Plus Grand Commun Dénominateur
PGCD - Plus Grand Commun Dénominateur
2.1.
Définitions
Le plus grand commun dénominateur (PGCD) de deux ou plusieurs nombres
donnés est le plus grand nombre qui soit diviseur de tous les nombres donnés.
Ainsi, par exemple, 12 et 16 sont tous deux divisibles par 2 et divisibles par 4.
Comme 4 est plus grand que 2, c'est 4 qui est le PGCD de 12 et 16.
Remarquons que 3 est un diviseur de 12 mais pas un diviseur de 16. Il n'entre donc
pas en ligne de compte.
Si le PGCD de deux nombres est 1, alors ces deux nombres sont dits premiers
entre eux.
2.2.
Méthode des facteurs premiers
Recherchons le PGCD de 756 et 7 344.
Ces deux nombres ont été décomposés en facteurs premiers au paragraphe 1.6.2.
Nous avons trouvé :
756
7 344
= 2•2•3•3•3•7
= 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 17
2
3
= 2 •3 •7
4
3
= 2 • 3 • 17
On s'aperçoit qu'une partie des facteurs premiers de 756 se retrouve dans 7 344 (et
réciproquement... évidemment). Autrement dit, les deux séries de facteurs premiers
ont une partie commune :
2
2•2•3•3•3
3
= 2 • 3 = 108
On en déduit que les deux nombres seront divisibles par 108 et que 108 est le plus
grand commun dénominateur des deux nombres. En effet :
756 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 7 = 7
108
2•2•3•3•3
et
7344 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 17 = 68
108
2•2•3•3•3
Le PGCD de deux ou plusieurs nombres est obtenu en multipliant les facteurs
communs aux nombres en question, ces facteurs étant repris avec leur plus
petit exposant.
2
4
2
Ainsi entre le 2 de 756 et le 2 de 7 344, on prendra 2 .
Cherchons à présent le PGCD de 7 344 et 3 000. On a :
7 344
3 000
= 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 17
= 2•2•2•3•5•5•5
4
3
= 2 • 3 • 17
3
3
= 2 •3•5
3
1
Les facteurs communs sont 2 et 3, avec leur plus petit exposant, on a 2 et 3 (ou 3 ).
On vérifie aisément que le PGCD de 7 344 et 3 000 est :
3
2 • 3 = 24
H. Schyns
2.1
Nombres premiers, PGCD, PPCM
2.3.
2 - PGCD - Plus Grand Commun Dénominateur
Méthode d'Euclide
Euclide d'Alexandrie (300 av. JC) a trouvé une autre méthode de détermination du
PGCD de deux nombres. Cette méthode très ingénieuse et très performante est
encore utilisée de nos jours par les logiciels d'encryption des données
confidentielles. Elle s'énonce comme suit :
Soient deux nombres dont on cherche le PGCD.
On divise le plus grand par le plus petit. Si le reste de la division est nul, alors le
petit nombre est le PGCD recherché.
Si le reste de la division n'est pas nul, on recherche le PGCD entre le petit nombre et
le reste. On divise l'un par l'autre, et ainsi de suite, jusqu'à trouver un reste nul.
Par exemple, recherchons le PGCD de 32 et de 12 par cette méthode.
Divisons le grand nombre (32) par le petit (12). Il reste 8 (32 = 2 • 12 + 8).
Puisqu'il y a un reste, cherchons le PGCD du petit nombre (12) et du reste (8). Pour
cela, divisons le plus grand des deux (12) par l'autre (8). Cette fois, il reste 4 (12 =
1 • 8 + 4)
Puisqu'il y a un reste, cherchons le PGCD du petit nombre de l'étape précédente (8)
et du reste (4). Pour cela, divisons le plus grand des deux (8) par l'autre (4). Cette
fois, la division tombe juste. Le PGCD de 32 et 12 est donc 4.
En appliquant cette méthode à 756 et 7 344, on retrouve bien 108 comme PGCD :
7 344
756
540
216
=
=
=
=
9 • 756 + 540
1 • 540 + 216
2 • 216 + 108
2 • 108 + 0
En appliquant cette méthode à 7 344 et 3 000, on retrouve bien 24 comme PGCD :
7 344
3 000
1 344
312
96
H. Schyns
=
=
=
=
=
2 • 3 000 + 1 344
2 • 1 344 + 312
4 • 312 + 96
3 • 96 + 24
4 • 24 + 0
2.2
Nombres premiers, PGCD, PPCM
3.
3 - PPCM - Plus Petit Commun Multiple
PPCM - Plus Petit Commun Multiple
3.1.
Définition
Le plus petit commun multiple (PPCM) de deux ou plusieurs nombres donnés
est le plus petit nombre qui soit multiple de tous les nombres donnés.
Ainsi, par exemple, 12 et 16 présentent plusieurs multiples communs : 48 (4•12 ou
3•16); 96 (8•12 ou 6•16); etc. Comme 48 est plus petit de tous, 48 est le PPCM de
12 et 16.
Quels que soient les nombres donnés, il est toujours possible de leur trouver un
PPCM.
3.2.
Méthode des facteurs premiers
Recherchons le PPCM de 756 et 7 344.
Ces deux nombres ont été décomposés en facteurs premiers au paragraphe 1.6.2.
Nous avons trouvé :
756
7 344
= 2•2•3•3•3•7
= 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 17
2
3
= 2 •3 •7
4
3
= 2 • 3 • 17
On s'aperçoit que si on allonge la série des facteurs premiers de 756 en y ajoutant la
séquence
2 • 2 • 17
On retrouve tous les facteurs de 7 344 tout en créant un multiple de 756.
Réciproquement, en ajoutant 7 (seul chiffre manquant) à la série des facteurs
premiers de 7 344 on crée un multiple de 7 344 tout en retrouvant tous les facteurs
de 756. En effet :
2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 7 • 2 • 2 • 17
= 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 17 • 7
4
3
= 756 • 68 = 2 • 3 • 7 • 17 = 51 408
4
3
= 7 344 • 7 = 2 • 3 • 7 • 17 = 51 408
Par conséquent 51 408 est à la fois multiple de 756 et multiple de 7 344. Comme
c'est le plus petit nombre qui a cette propriété, on dira que 51 408 est le PPCM de
756 et 7 344.
Le PPCM de deux ou plusieurs nombres est obtenu en multipliant tous les facteurs
(communs ou non) des nombres en question, ces facteurs étant repris avec leur
plus grand exposant.
2
4
4
Ainsi entre le 2 de 756 et le 2 de 7 344, on prendra 2 .
Cherchons à présent le PPCM de 7 344 et 3 000. On a :
7 344
3 000
= 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 17
= 2•2•2•3•5•5•5
4
3
= 2 • 3 • 17
3
3
= 2 •3•5
La liste complète des facteurs (communs ou non) comprend 2, 3, 5 et 17. Pris
chacun avec son plus grand exposant, on obtient comme PPCM :
4
3
3
2 • 3 • 5 • 17 = 918 000
On vérifie aisément qu'il s'agit bien d'un multiple commun.
H. Schyns
3.1
Nombres premiers, PGCD, PPCM
Intermède historique
Intermède historique : Eratosthène (276 A.C. – 196 A.C.)
Eratosthène est né en 276 av. J.C. à Cyrène (près de l'actuelle Marsa Susa en Lybie).
Très intéressé par les sciences, il étudia à Athènes pendant plusieurs années. Il fut
ensuite l'élève de Callimaque, directeur de la bibliothèque d'Alexandrie.
S'abreuvant aux sources même du savoir et correspondant avec Archimède, il devint un
astronome, un mathématicien, un géographe et un philosophe renommé. Pour preuve, à
la mort de Callimaque, vers 240, le roi d'Egypte Ptolémée III, en personne, lui demanda de
reprendre la direction de la célèbre bibliothèque.
Presque tous les ouvrages écrits par Eratosthène ont disparu. Mais ils eurent un tel
retentissement à l'époque que de larges extraits ont été cités dans les travaux d'autres
philosophes et érudits.
Eratosthène fut le premier à mesurer de manière précise la longueur de la circonférence
terrestre. Bien sûr, quelques penseurs tels que Pythagore (500 A.C.), Aristote (350 A.C) et
Aristarque (250 A.C.) avaient déjà pressenti la rotondité de la Terre mais aucun d'eux
n'avait trouvé le moyen de la mesurer. D'autre part, l'idée d'une Terre ronde était loin
d'être admise : pour la majorité de la population, la Terre était un grand disque plat
surmonté d'une coupole portant le ciel et les étoiles.
Alors qu'il était bibliothécaire à Alexandrie,
Eratosthène apprit que, chaque 21 juin à midi, jour
du solstice d'été, le soleil éclairait le fond des puits
de Syène (Assouan). Ce jour-là, le soleil était donc à
la verticale de Syène (S).
Or, le même jour, à la même heure, à Alexandrie,
située plus au Nord, l'obélisque de la ville avait une
ombre. Donc, ce jour-là, le soleil n'était pas à la
verticale d'Alexandrie (A). En fait, les rayons solaires
faisaient un angle de 7°12' avec la verticale (α).
Il fit ensuite deux hypothèses : a) la Terre est une
sphère et b) les rayons du Soleil qui y arrivent sont
parallèles car le Soleil en est très éloigné.
En compulsant les archives du royaume, les registres des arpenteurs égyptiens et les
écrits des géographes d'Alexandre le Grand, Eratosthène trouva que la distance de Syène
à Alexandrie était de 5 000 stades (unité de distance des grecs et des égyptiens). Dès
lors, la circonférence terrestre devait valoir 250 000 stades.
On ignore si la référence d'Eratosthène était le stade grec (177.40 m) ou le stade égyptien
(165 m). Dans un cas, ses mesures donnent 44 350 km, et dans l'autre, 41 250 km. Pas
mal quand on sait que nos mesures modernes donnent 40 074 km !
Eratosthène tenta de déterminer les distances Terre-Lune et Terre-Soleil en profitant des
éclipses. Il détermina l'inclinaison de l'axe de la Terre par rapport au plan de son orbite,
réalisa la première carte comportant des latitudes et des longitudes, s'intéressa à la
géographie physique et trouva même une explication scientifique et météorologique aux
crues du Nil jusque là considérées comme divines.
Ce génie universel mourut en 196 av. J.C, à 80 ans, un âge très respectable pour son
temps. L'histoire dit que, devenu aveugle, il se laissa mourir de faim.
Sources : coll-ferry-montlocon.pays-allier.com ; www.sciences-en-ligne.com et divers
H. Schyns
I.1
Nombres premiers, PGCD, PPCM
Exercices du chapitre
Exercices du chapitre
♦ Exercice 1
Dans la liste ci-dessous, rechercher les nombres divisibles par 3, par 4, par 9, par 11
9 351
9 548
3 076
4 475
3 348
1 392
2 145
7 476
762
5 649
591
2 344
8 512 13 167 12 140 4 886
1 983
3 630
5 796
5 408
6 480 10 000 5 508
5 535
♦ Exercice 2
Décomposez les nombres suivants en facteurs premiers
2 520
8 400
4 851
858
672
5 292
Solutions dans la liste ci-dessous :
2
3
2 •3 •7
2
4
2
3
3
2
2
2
5
4
4
4
2 •3•5 •7 3 •5•41 2 •3 •5•7 2•3•11•13 3 •7 •11 2 •3•7 2 •3 •5 2 •5
4
♦ Exercice 3
Rechercher le PGCD et le PPCM des doublets ou triplets de nombres suivants par la
méthode des exposants ou la méthode d'Euclide (au choix) :
16 et 24
189, 297 et 45
125 et 320
576 et 1 296
64 et 256
1 234 et 2 345
68 et 81
321 et 987
Solutions dans la liste ci-dessous :
1, 1, 3, 5, 8, 9, 48, 64, 144, 256, 5 184, 5 508, 8 000, 10 395, 105 609, 2 893 730
H. Schyns
E.1