Synthèse : Eléments d`arithmétique dans l`ensemble des naturels

Ch 1 : éléments d’arithmétique – Synthèse
JA
Synthèse : Eléments d’arithmétique
dans l’ensemble des naturels
Sujet 1 : Nancy – Metz 1997
Obélix refusait d’utiliser la numération imposée par l’envahisseur romain et employait la
numération positionnelle décimale.
Un jour qu’il avait livré 18 somptueux menhirs, il inscrivit sur une tablette d’argile le montant de
la somme recueillie. Mais Idéfix, qui passait par là, gratter la tablette avant qu’elle ne soit sèche et
seul le chiffre des centaines reste lisible : un superbe 5.
Obélix tenta de lire les autres chiffres, mais en vain. Il essaya ensuite de les retrouver, toujours
sans succès. Il se souvint alors que :
1er indice : tous les menhirs étaient au même prix
2ème indice : le prix, en sesterces, d’un menhir était un nombre entier compris entre 70 et 90
3ème indice : le chiffre des unités du prix total des 18 menhirs était inférieur à 5
4ème indice : le chiffre des dizaines du prix total des 18 menhirs était supérieur à 5
Ces informations permirent à Astérix d’effectuer de savants calculs et de retrouver, enfin ! … le
nombre partiellement effacé.
Retrouvez le prix des 18 menhirs.
Sujet 2 : Lille 1996
Première partie :
1. trouver tous les nombres entiers compris entre 100 et 1000 qui s’écrivent avec les chiffres 2, 5,
8 et dont les 3 chiffres sont différents. On s’attachera à présenter cette recherche de façon claire
et systématique
2. On note S la somme de tous les nombres ainsi obtenus et t = 2+5+8
Montrer, sans calculer la somme S, que S = t x 222
3. Sans rechercher tous les nombres entiers compris entre 100 et 1000 qui s’écrivent avec les
chiffres 4, 7, 9 et dont les 3 chiffres sont différents, trouver leur somme.
Deuxième partie :
1. Ecrire 1001 sous la forme d’un produit de 3 nombres entiers différents de 1.
2. Trouver tous les diviseurs de 1001. On s’attachera à présenter cette recherche de façon simple,
claire et systématique.
3. Soit le nombre 712712. La division euclidienne de 712712 par 13 donne un quotient q1 et un
reste r1. la division de q1 par 11 donne un quotient q2 et un reste r2. La division de q2 par 7
donne un quotient q3 et un reste r3.
a) le dernier quotient obtenu q3 était-il prévisible ?
b) les restes r1, r2 et r3 étaient-ils prévisibles ?
4. Soit un nombre qui s’écrit sous la forme abcabc où a, b, c sont choisis parmi les chiffres de 0 à
9. Quelle’s) condition(s) éventuelle(s) doivent vérifier a, b, c pour que le nombre soit :
a) un multiple de 7 ? de 13 ? de 65 ? de 14 ? de 63 ?
5. sans faire de division, montrer que le nombre 465549
a) a même reste que (549-465) dans la division euclidienne par 13
b) est divisible par 7.
Ch 1 : éléments d’arithmétique – Synthèse
JA
Correction : éléments d’arithmétique
Sujet 1 : Nancy Metz 1997
 Le prix du menhir p est un entier
Il y a 18 menhirs donc le prix des 18 menhirs N = 18p
D’après le 2ème indice
70x18  N  90x18
donc 1260  N  1620
Donc N est un nombre de 4 chiffres et il commence par 15 puisque le chiffre des centaines est 5.
 on peut donc chercher les multiples de 18 compris entre 1500 et 1599
1500 : 18 = 83,33 donc 18 x 84 = 1512
On obtient ainsi : 1512 – 1530 – 1548 – 1566 – 1584
Les 3ème et 4ème indices donnent : 1584
OU

18 est un multiple de 2 et de 9
15du c’est 1 + 5 + d + u multiple de 9 et pair et inférieur à 5
Donc d= 8 et u= 4
Donc 1584
 Méthodes par essais successifs
N = 15du avec d supérieur ou égal à 5 et u inférieur ou égal à 5.
N divisible par 9 et pair
N
N
N
N
N
=
=
=
=
=
155u
156u
1575
1584
1595
aucun u ne convient
… … … …
N impair ne convient pas
convient
N impair ne convient pas
Sujet 2 : Lille 1996
Première partie :
1. les nombres entiers compris entre 100 et 1000 qui s’écrivent avec les chiffres 2, 5, 8 et dont les
3 chiffres sont différents sont : 258 – 285 – 528 – 582 – 825 – 852.
2. dans les 6 nombres, on remarque que le chiffre des unités est 2 fois 2, 2 fois 5, 2 fois 8 de
même pour le chiffre des dizaines et des centaines.
La somme des unités est donc 2(2+5+8) = 2t
De même pour la somme des dizaines et la somme des centaines donc :
S = 2t x 100 + 2t x 10 + 2t
= 2t (100 + 10 + 1 )= 222 t
3. Soit S’ la somme de tous les nombres entiers compris entre 100 et 1000 qui s’écrivent avec les
chiffres 4, 7, 9 dont les trois chiffres sont différents. D’après 2)
S’ = 222t avec t = 4+7+9 = 20
S’ = 222 x 20 = 4440
Deuxième partie :
1. 1001 = 7 x 11 x 13
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2. les diviseurs de 1001 sont donc :
1 – 1001 – 7 – 143 – 11 – 91 – 13 – 77 (on peut faire un arbre ou décomposer en multiplications)
3. 712712 = 13 q1 + r1
54824 = 11 q2 + r2
4984 = 7 q3 + r3
q1 = 54824
r1 = 0
q2 = 4984
r2 = 0
q3 = 712
r3 = 0
712712 = 712 x 1000 + 712 = 712 x 1001
D’après 2) puisque 1001 est divisible par 7, par 11, par 13, le nombre 712712 est aussi divisible
par 7, par 11 et par 13. Ce qui explique que les restes successifs soient toujours nuls.
En divisant successivement 712712 par 7, par 13 et par 11, on le divise par 7 x 11 x13 = 1001.
Il n’est donc pas surprenant de trouver 712.
4. Comme avec 712712 on a : abcabc = abc x 1000 + abc = abc x 1001
a) et b) 1001 étant un multiple de 7 et de 13, abcabc est multiple de 7 et de 13.
c) 65 = 5 x 13 ; 1001 est multiple de 13 mais pas de 5 donc abc abc est multiple de 65 si abc est
multiple de 5 donc c égal à 0 ou 5.
d) 14 = 7 x 2 ; de même abc multiple de 2 donc c égal à 0, 2, 4, 6, 8
e) 63 = 7 x 9 ; abc doit être multiple de 9 donc a+b+c = 9
5. Pour exploiter les questions précédentes, on peut chercher à retrouver un nombre de la forme
abcabc à partir de 465549.
465549
= 465465 – 465 + 549
= 465465 + (549 – 465)
= 1001 x 465 + (549 – 465)
a) 1001 x 465 = 13 x 77 x 465
549 – 465 = 84 = 13 x 6 + 6
On a donc 6 comme reste de la division de 465549 par 13.
465549 = 13 x (77 x 465 + 6) + 6
Par conséquent 6 est le reste de la division de 465549 par 13.
Donc 465549 et (549 – 465) ont le même reste dans la division par 13 et c’est 6.
Ou bien
465549 – (549 – 465) = 13 ( q1 – q2) + r1 – r2
465549 – 84 = 13 Q + R
avec Q = q1 – q2 et R = r1-r2
Or 465465 = 465 x 1001
Donc R = 0 = r1 – r2
Donc r1 = r2
b) 1001 = 7 x 143
549 – 465 = 84 = 7 x 12
Donc 465549 = 7 x (143 x 465 + 12) c’est donc un multiple de 7