Bin Newton Csq

P ROPRIÉTÉ N◦ 12 DE PASCAL
1 Formule du binôme : Application directe de la loi Binomiale
Considérons une urne contenant a boules blanches et b boules noires. Effectuons n tirages avec remises. Soit X la
variables aléatoires comptant
le nombre de boules blanches.
³
a ´
.
X suit la loi binomialeB n,
Ãa +
!b
à !
µ
¶
³
n
n
n n
X
X n
X
a ´k
b n−k
1
On a :
p(X = k) = 1 =
=
a k b n−k
a +b
a +b
(a + b)n k=0 k
k=0
k=0 k
à !
n n
X
n
D’où la formule du binôme de Newton, (a + b) =
a k b n−k
k=0 k
2 Propriété n◦ 12 de Pascal
Soit f n (x) = (1 + x)n , ∀n ∈ N∗ ,
n+1
X
Ã
!
n + 1 n−k+1
x
.
k
En utilisant le binôme de Newton, on peut donner la forme développée de f n+1 (x) =
k=0
Ã
!
n n +1
X
0
En dérivant f n+1 (x), on obtient f n+1
(x) =
(n − k + 1)x n−k d’une part
k
k=0
à !
à !
n n
n
X
X
n n−k
0
n−k
et f n (x) = (n + 1) f n (x) = (n + 1)
x
=
(n + 1)
x
d’autre part.
k
k=0 k
k=0
à !
Ã
!
n
n +1
0
En identifiant les coefficients des 2 expressions de f n (x), on obtient (n + 1)
= (n − k + 1)
k
k
!
à ! Ã
n +1
n +1 n
=
ainsi
k
n −k +1 k
Ã
! Ã ! Ã
!
n +1
n
n
En utilisant le fait que
=
+
, on obtient :
k
k
k −1
à ! à ! Ã
!
n +1 n
n
n
=
+
n −k +1 k
k
k −1
!
à ! à ! Ã
n
n
n +1 n
et
=
−
D’où
k −1
k
n −k +1 k
à !
Ã
!
n −k +1 n
n
◦
=
on trouve alors la propriété n 12 de Pascal,
k
k
k −1
3 Calcul de quelques coefficients binomiaux
à !
à !
n
n n
On a d’après la propriété précédente,
=
=n
1
1 0
à !
à !
n
n −1 n
n(n − 1)
=
et
=
2
2
1
2
à !
à !
n
n −2 n
n(n − 1)(n − 2)
et encore
=
=
3
3
2
2×3
©IREM Février 2011
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