Chapitre 3: Elasticité et résistance des matériaux

Chapitre 3: Elasticité et résistance des matériaux
But de ce chapitre: pouvoir comprendre et, dans certains cas, évaluer les conditions dans
lesquelles se produit une facture des os ou des dommages aux tissus.
3.1 Déformation des matériaux
Selon l'importance des contraintes appliquées à un objet, les déformations qu'il subit sont
élastiques, plastiques ou conduisent à la rupture. La relation entre contrainte et déformation
est linéaire jusqu'au point A (ressort). Elle s'écrit:
Loi de Hooke: F = k ⋅ Δl
où
F est la force appliquée au ressort
Δl est son allongement du ressort,
€
k est la constante du ressort [N/m]
r
r
€
F
=
−k
⋅
Δ
l
Vectoriellement,
la
loi
s'écrit:
€
€ qu'entre A et B, la relation n'est plus linéaire, bien
Dans la figure ci-dessous, on remarque
qu'élastique. Entre B et C on atteint le domaine plastique (déformation permanente, même si
€
les contraintes disparaissent).
Contrainte
Limite élastique
B
Limite linéaire
Limite de résistance à la traction
C
Limite de rupture
A
D
Déformation (allongement)
On a des relations similaires pour un barreau soumis à une contrainte de tension. La constante
du "ressort" s'exprime dans ce cas en fonction des propriétés élastiques de la matière:
F
où A est l'aire de la section droite.
A
Δl
La contrainte est liée à la déformation relative ε =
l
par σ = E ⋅ ε .
€
Contrainte: σ =
Δl 1 F
On peut encore écrire cette relation sous la forme:
= ⋅ où E est le€module d'élasticité
l
E A
€
ou module de Young (Y), grandeur dépendant du matériau et que l'on trouve dans certaines
tables numériques. Voici quelques exemples:
€
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Elasticité et résistance des matériaux
Matériau
Module de Young
E [N|m2]
Limite de résistance à Limite de résistance à
la traction σmax [N|m2] la compression σmax
[N|m2]
.
8
2 10
5.108
0,5.108
11.108
.
8
1,2 10
1,7.108
0,28.108 (torsion)
108
0,69. 108
Aluminium
7.1010
Acier
20.1010
Verre
7.1010
Os en traction
1,6.1010
Os en compression
0,9.1010
Os en torsion
Bois dur
1010
Tendon
2.107
Caoutchouc
106
Vaisseaux sanguins
0,2.106
Muscle
0,06. 108
Application: une corde de piano en acier de diamètre 1mm tendue avec une force de 600 N
Δl 1 F
1
600
subit une déformation relative de
= ⋅ =
= 0,3% . Ceci correspond à une
10
l
E A 20 ⋅10 10−6
allongement de 3 mm pour une corde longue de 1m.
3.2 Contraintes
€un matériau ne sont pas seulement des tensions ou des
Les contraintes que subit
compressions: un objet peut aussi être soumis à un cisaillement, une torsion ou à une flexion.
Dans ces derniers cas la situation est plus complexe, car les contraintes et les déformations ne
dépendent plus seulement de la matière dont est faite l'objet et de sa dimension, mais
également de sa forme géométrique.
Type de
déformation
Tension
Effort
(Action externe)
Force F appliquée
sur un objet de
section A
Contrainte
(Effet interne)
σ=
F
A
Déformation
Δl =
F l
⋅
A E
Torsion
Couple T appliqué
€
sur un objet de
forme donnée
Flexion
Moment de force
M f appliqué sur
un objet de forme
donnée
€
θ ∝T ⋅ l
€
€
3.3 Hauteur et forme des arbres
Pour une masse donnée, il est plus favorable d'avoir une structure creuse qu'une structure
pleine (pour le montrer, il faut estimer les contraintes pour des situations où l'aire des sections
est la même). Exemple: un tube creux de diamètre extérieur 5 cm, de diamètre intérieur 4 cm,
présente une même section qu'un tube plein de diamètre 3 cm. On peut alors montrer qu'un
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Elasticité et résistance des matériaux
tube creux est près de 3 fois plus résistant à la torsion qu'un tube plein de même masse et de
même matière. Pour ce qui est de la flexion, on arrive à des conclusions similaires. On aurait
alors tendance à conclure qu'un tube de très gros diamètre avec une paroi très mince est la
géométrie qui résiste le mieux à la torsion et à la flexion. Mais en réalité il y a une limite à ne
pas dépasser, sinon il se produit un flambage:
La nature a créé la structure cylindrique des arbres pour résister au flambage. La hauteur
maximum d'un arbre est ainsi liée à son diamètre. On peut montrer que, pour un cylindre plein
de rayon r, la hauteur limite est donnée par: hlimite = c ⋅ r 2 / 3 . Ce résultat est aussi valable pour
fixer les dimensions des structures cylindriques du corps humain. c est une constante qui
dépend de la masse volumique et du module d'élasticité de l'objet. Ainsi, pour un arbre à la
limite du flambage, doubler son rayon ne permet pas de doubler sa hauteur (mais seulement
€
de la multiplier par 1,6).
3.4 Chocs et impulsion
Lors d'une collision, la force qui agit sur un objet ou sur un passager est d'autant plus
importante que la durée de collision est brève. Pour traiter plus particulièrement de ce sujet, il
importe d'introduire les notions de quantité de mouvement et d'impulsion. Considérons
tout
r
d'abord une balle qui heurte un mur: elle arrive contre le mur avec une vitesse v1 et rebondit
r
avec une vitesse v 2 . Au cours de la collision, la vitesse change de norme et de direction car le
r
mur exerce une force F sur la balle pendant le court instant Δt .
La balle arrive
€
€
V1
La balle heurte le mur
€
La balle repart
€
F
V2
r
r
r
r
On définit: quantité de mouvement p = m ⋅ v Impulsion: J1,2 = F ⋅ Δt
La loi de la variation de la quantité de mouvement stipule que l'impulsion d'une force
résultante s'exerçant sur un objet, est égale à la différence de la quantité de mouvement de cet
objet avant et après le choc:
€
€
r
r
r
F ⋅ Δt = m ⋅ v 2 − m ⋅ v1
pour le cas ci-dessus, cette loi s'écrit en norme comme: F ⋅ Δt = m ⋅ v 2 − m ⋅ v1 . Dans le cas où
la force ne serait pas constante pendant la durée de l'impact, on travaille avec une valeur
€
€
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Elasticité et résistance des matériaux
moyenne estimée. Exemple: on saute d'une hauteur h, jambes tendues et on se reçoit sur les
talons. Dans ce cas, v 2 = 0 et v1 = 2gh . L'impulsion vaut donc F ⋅ Δt = m ⋅ 2gh et la
force est égale à F = m ⋅ 2gh /Δt . L'os de la jambe est soumis à une contrainte
F m ⋅ 2gh
(compression) σ = =
. Supposons qu'une personne de 80 kg tombe d'une hauteur
€
€
A€
A ⋅ Δt
de 1 m,€et se reçoit, genoux bloqués, sur les talons ( A ≅ 2 cm 2 ) de sorte que la durée du choc
N
soit de 10-2 s. On trouve σ = 1,8 ⋅10 8 2 . D'après le tableau du premier paragraphe, l'os se
m
€
fracture. Pour diminuer la contrainte, il faut
€ plier les genoux pour augmenter la durée du choc.
En général, ce n'est pas par compression que les os se brisent, mais surtout par torsion ou
flexion.
€
3.5 Airbag et autres exemples
•
La fonction de l'airbag est de rallonger la durée de la collision ou, ce qui revient au
même, la distance de freinage. La force exercée sur le passager est donc plus faible
qu'en l'absence d'airbag. Si on admet que la contrainte maximale admissible pour ne
N
pas endommager les tissus est de 0,5 ⋅10 6 2 , on trouve que 70 km/h est la vitesse
m
maximale possible pour un passager de 70 kg, retenu sur une surface de 1000 cm2 et
freinée sur 30 cm grâce à l'airbag.
€
•
Coup du lapin: on peut estimer de la même manière la vitesse minimum qui
occasionne des lésions lors d'une collision par l'arrière et sans l'usage d'un appuie-tête.
•
Quant aux chutes depuis une hauteur importante, la personne peut s'en sortir indemne
si l'amortissement est tel que l'impact n'est pas trop bref ou que la distance de freinage
est relativement grande.
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Elasticité et résistance des matériaux
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Elasticité et résistance des matériaux
3.2 Contraintes
Les contraintes que subissent un matériau ne sont pas seulement des tensions ou des
compressions: un objet peut aussi être soumis à une torsion ou à une flexion. Dans ces
derniers cas la situation est plus complexe, car les contraintes et les déformations ne
dépendent plus seulement de la matière dont est faite l'objet et de sa dimension, mais
également de sa forme géométrique.
Type de
déformation
Tension
Effort
Contrainte
Déformation
F
Force F appliquée
σ=
sur objet de
A
section A
T
τ ∝ 3 pour
Couple T appliqué
D
€
€
sur un objet de
cylindre plein
forme donnée
Torsion
.........
€
D
Δl =
F l
⋅
A E
θ ∝T ⋅ l
T
⋅D
(D − d 4 )
pour cylindre€creux
τ∝
4
d
€
........
6M f
pour objet
σ=
b ⋅ h2
de section
rectangulaire
D
Flexion
Moment de force
M f appliqué sur
objet de forme
donnée
€
h
€
..... b
Ci-dessous on donne quelques exemples de moment de force appliquée à un os qui conduirait
à une fracture:
Os
Jambe
Fémur
Tibia
Péroné
Bras
Humérus
Radius
Cubitus
Moment correspondant
à la fracture [N.m]
Angle de torsion
à la fracture [°]
140
100
12
1,5
3,4
35,7
60
20
20
5,9
15,4
15,2
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Elasticité et résistance des matériaux
Par exemple un skieur dont l'extrémité de la spatule (longue de 1 m) est retenue par une force
de 100 N, subira une force de 330 N au niveau de la pointe du pied (longueur 0,3 m). On règle
la fixation du ski pour qu'elle s'ouvre à une valeur inférieure!
3.3 Hauteur et forme des arbres
On peut montrer que pour une masse donnée, il est plus favorable d'avoir une structure creuse
qu'une structure pleine (pour le montrer, il faut estimer les contraintes pour des situations où
l'aire des sections est la même). Exemple: un tube creux de diamètre extérieur 5 cm, de
diamètre intérieur 4 cm, présente une même section qu'un tube plein de diamètre 3 cm. Si on
τ
T (5 4 − 4 4 )
= 2,7 ce qui signifie
calcule le rapport des contraintes pour ces deux cas: plein = 3 ⋅
τ creux 3
T⋅5
qu'un tube creux est près de 3 fois plus résistant à la torsion qu'un tube plein de même masse
et de même matière. Pour ce qui est de la flexion, on arrive à des conclusions similaires. On
aurait alors tendance à conclure qu'un tube de très gros diamètre avec une paroi très mince est
€ et à la flexion. Mais en réalité il y a une limite à
la géométrie qui résiste le mieux à la torsion
ne pas dépasser, sinon il se produit un flambage:
La nature a crée la structure cylindrique des arbres pour résister au flambage. La hauteur
maximum d'un arbre est ainsi liée à son diamètre. On peut montrer que, pour un cylindre plein
de rayon r, la hauteur limite est donnée par: hlimite = c ⋅ r 2 / 3 . Ce résultat est aussi valable pour
fixer les dimensions des structures cylindriques du corps humain. c est une constante qui
dépend de la masse volumique et du module d'élasticité de l'objet. Ainsi, pour un arbre à la
limite du flambage, doubler son rayon ne permet pas de doubler sa hauteur (mais seulement
€
de la multiplier par 1,6).
Fracture en spirale d'un tibia
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