Cours Transferts thermiques (notes)

Cours Transferts thermiques (notes)
October 9, 2014
Convection
Déroulement de l'UE:
con=avec , vect*=portage > via dé-
placement de matière
∃
gaz), ds lesquel
- 6h de Cours/TD (répartis sur 4 séances d'1h30)
- 3 x 8h de TP (répartis sur 3 jeudis ou 3 vendredis ~
Rayonnement
consécutifs)
⇒
concerne les uides (liquides,
écoulement.
= propagation d'ondes EM dans le
vide.
Enseignants: Benjamin Cross (TP), Catherine Quilliet
(CTD+TP)
1
Expériences:
Transmission de la chaleur par
conduction et stockage
Pompe à chaleur / réfrigérateur > L2
TP1 :
variations spatiales de température (gradient !)
Mesure d'une chaleur spécique (échanges de
>déplacement de chaleur (On appelle
chaleur par rayonnement, analogie RC pour les échanges
sité de ux de chaleur)
thermiques/stockage de chaleur)
Grandeurs locales :
TP2 : Etude de la diusion de la chaleur sur une barre +
champ vectoriel
Déperditions thermiques (échanges de chaleur
par rayonnement, analogie RC pour les échanges thermiques/stockage de chaleur, convection)
:
Thermoélément
(Peltier)
(eets
une puissance/u. de surface =
→
−
j (M, t).
−
→
Soit une section orientée dS située en un point M . Flux
→
−
→
→
− −
de chaleur dΦ = j .dS passant à travers dS : quantité de
RC pour les échanges thermiques/stockage de chaleur)
TP4
→
−
j est
ux surfacique
caloduc (échanges de chaleur par rayonnement, analogie
TP3 :
→
−
j le vecteur den-
chaleur par unité de temps = puissance
thermoélec-
triques)
1.1 La loi de Fourier
TP5 : Four + bolomètre (convection, échanges de chaleur
par rayonnement)
La loi de Fourier, phénoménologique, relie linéairement
→
−
j
Ce cours ne vise pas à l'exhaustivité, seulement à pré-
aux variations de température:
parer au mieux pour les TP: découverte de notions ET
→
−
→
−
j = −λ × ∇T
manipulation..
(1er ordre signicatif, cf
Introduction
Le coecient
λ
U = RI )
est appelé conductance thermique.
Comparer à la loi d'Ohm locale, et à la loi de Fick.
3 sortes de transferts thermiques:
Loi de Fourier: premier ordre d'un phénomène lié à des
Conduction
variations de température.
Via matière: solides>liquides>gaz. Sans
Ex:
6=
(diusion d'un
contact verre / contact bois qui donne sensation
(le corps humain n'a pas de capteur de
→
−
→
−
−
→
jel = −σ × ∇U = σ E
→
−
→
−
soluté): j = −D × ∇conc
Loi d'Ohm locale:
déplacement de matière.
T,
peu juste
; loi de Fick
Ox,
s et de longueur L, dont une extrémité (x = 0)
Soit un corps cylindrique (pas de révolution) d'axe
de section
évaluer conductivité).
1
1.3 Capacité calorique
est en contact avec un réservoir de température à la température
T2 .
ture
T1 ,
et l'autre extrémité (x
= L)
à la tempéra-
1.3.1 Aspect microscopique
Quel est le régime permanent de cette situation
?
On admettra que pour des raisons de symétrie,
j (x, y, z) −
u→
x.
→
−
j =
Soit un corps de capacité calorique
Soit un petit élément de volume
l'aide d'un ux de chaleur entrant
dx dy dz : le ux total
j(x, y, z)×dydz −
entrant dans cet élément de volume est
j(x + dx, y, z) × dydz .
⇒ le ux total entrant doit
être nul ⇒ j(x, y, z) = j(x + dx, y, z) ⇒ dj/dx = 0 ⇒
→
−
j = j (y, z) −
u→
x
Dans un cylindre inniment n de direction
dydz
T1 −
: j
j(y,z)
λ x.
La CL
(i)
(y, z) = −λ ×
∂T
∂x s'intègre en
T2 impose: j(y,z)
λ
T (L) =
j (y, z) =
constante, dont
T (t) − T0 =
λ
L
× (T1 − T2 )
cst
=⇒ j
soit :
Il faut un ux local
→
−
j
uniforme
Φ (t) dt
t = 0,
T0
à
T (t),
à
Φ (t) dt
0
T + dT
entre
t
et
t + dt
Q
fournie pour
Q=
s'intègre en
Rt
0
Φ (t) dt =
> Autre analogie formelle avec des équations électrocimétiques que vous connaissez bien ? CIRCUIT !
constant pour qu'il n'y ait pas d'accumulation de chaleur
Tension aux bornes d'un condensateur en charge:
en régime permanent.
Le ux global sur la section est:
−
→
→
− RR
2
j . section dS = λ T1 −T
×S
L
Φ=
1
C
→
→
− −
j .dS =
section
Rt
0
I (t) dt
Q=CU
<>
<>
T (t) − T0 =
1
C
Rt
0
U =
Φ (t) dt
Q = C × ∆T
charge électrique q aux bornes d'un condensateur <>
1.2 Résistance thermique
On appelle résistance thermique
:
et la température elle-même ?
La relation
Flux nécessairement
RR
à
qui s'intègre en CQFD.
δQ = Φ (t) dt
C × (T (t) − T0 )
x,
pour entretenir cette diérence
de température (ou l'inverse ...).
à
t
Z
Quelle relation a-t-on entre la chaleur
passer de
T −T1
(ii) T (x, y, z) = T1 + 2
x=⇒ T ne dépend que de
L
et varie linéairement entre T1 et T2 .
et
1
C
1
C
T
δQ = Φ (t) dt.
Pour un corps passant de
x et de secδQ = C dT
T (x, y, z) =
D'où dT =
× L = T1 − T2 ,
T0
Φ (t).
Alors :
En régime permanent cet élément
de volume ne s'échaue pas
tion
C,
on fait varier la température, initialement
Q
Rth =
∆T
Φ du corps dans
capacité C <> capacité calorique C
cette géométrie.
Circuit
électrocinétique
correspondant:
condensateur
Analogie formelle entre ces grandeurs thermiques (dont
avec une armature à la tension
on
pérature initiale avant chaue (dans le cas de fuites ther-
précisera
dimension
et
unités
S.I.)
et
certaines
grandeurs électrocinétiques :
U = RI
I
avec
Rth =
Rel =
ρL
s :
être Text , celle du réservoir de chaleur.
Φ ux total (=débit) de chaleur
(unités SI: J/s)
→
−
j
Diérences notables, au point de vue thermodynamique, entre ce corps solide et un gaz
vecteur densité de courant (local ; faire chercher sa
dimension) <> densité de ux de chaleur (local)
→
−
j
(unités: J/m²/s)
Rel
<>
Rth (unités:
et l'autre à la tem-
miques, cette température de référence peut également
L
λs à comparer avec
débit d'électrons <>
T (t),
Rq: Q est lié de manière univoque à la température ici,
K/W)
via son unique capacité calorique
C.
C'est dû au fait
ρel <> ρth = λ1 résistivité thermique d'un corps
−1
(unités SI: K.m.W
)
que le corps étant solide, on le considère comme incom-
1
ρel <> λ conductivité thermique d'un corps
−1
(unités SI: W.K
.m−1 )
ments de volume, ou de pression.
U <> ∆T
→
−
→
−
E <> − ∇T
moyens d'échanger de l'énergie avec l'extérieur (exemple:
pressible > pas d'échanges d'énergie liés à des change-
λel =
Rq: en électrocinétique,
Ceci reste valable tant qu'on ne se donne pas d'autres
champ magnétique), ou d'en stocker dans le corps sous
une forme autre qu'un changement de température (ex:
U≡
changement de phase) = sources de chaleur internes.
densité d'électrons
2
1.3.2 Aspect local 1D
2
bilan thermique d'une tranche comprise entre
rayonnement
x et x+dx:
dΦentrant = S j (x) − S j (x + dx) sert à échauer la
dt: δ 2 Q = dΦentrant × dt =
(c × Sdx) dT
Diculté: longueurs d'ondes ; orientation. ; vocabulaire
tranche; chaleur reçue pdt
où
c
Rappel:
tique
est la chaleur spécique volumique (i.e capacité
c
mais
cm = c/ρ
;
cm
propagation
le
vide
est la chaleur
dT
x
− dj
dx = c dt ,
d'une
liée
à
onde
un
électromagné-
terme
du
type
la fréquence,
2.1 Interaction rayonnement-matière
1.3.3 Aspect local 3D
Soit un corps soumis à un ux incident monochromatique (i.e. entre
→
−
∇ j = −c ∂T
∂t .
ϕλ dλ:
-> La version locale et tridimensionnelle de la relation
Φ (t) = C dT
dt ,
est
→
− −−−−−→
ω
cos ωt − k .position , où ν = 2π
= T1 est
−
→
et λ = 2π/ k est la longueur d'onde.
spécique (massqiue)
d'où
la
dans
calorique par unité de volume)
En pratique: pas
Transmission de la chaleur par
λ
et
λ + dλ) ϕλ dλ
ux = puissance / u. de surface ; également ap-
pelé ux surfacique, ou densité de ux de ... (ici: de
dans un corps soumis à des variations de
rayonnement électromagnétique)
température locale, est:
ϕλ :
∂T
→
− →
−
∇. j = −c
∂t
densité de ux radiatif (terme densité renvoie à
λ)
; c'est une puissance / u. de surface / u. longueur d'onde
En tenant compte de la résistivité thermique qui intervient lorsque la température n'est pas uniforme (cf loi de
Fourier, exercuce 1), on retrouve:
∂T
= a ∇2 T
∂t
(notation
∇2
mieux que
∆ pour pas confondre avec T2 −
T1 )
En
introduisant
→
−
→
−
∇. −λ × ∇T
d'où
λ
ρcm .
∂T
∂t
=
λ
c
la
loi
→
− →
−
j
Fourier: ∇.
de
=
= −λ∇2 T ,
∇2 T ,
i.e. la forme demandée avec
a=
λ
c
=
Densité de ux radiatif émis:
et exprimer la diusion thermique
déduire le temps typique
τ
a
du matériau.
L.
Emission et direction.
Que se passe-t-
Attention ! Quantité facile à dénir à la surface du corps
il lorsqu'on sollicite l'objet à des fréquences caractéris-
1/τ
émissif, mais dès qu'on s'en éloigne, la notion de ux
?
lumineux est compliqué par celle de direction.
λ
2
c est en m /s, comme tout coecient
de diusion qui se respecte. Dimensionnellement: temps
2
caractéristique τ = L /a pour la diusion de la chaleur
Dimensions:
a=
sur une longueur
L.
Rq:
si
λ → ∞
→
−
→
−
∇T = 0 :
radiatif multidirectionnels.
Grands ux (échelle du bâtiment !): peut être modélisé
(conducteur de
par distribution continue selon orientation et longueur
d'onde.
température uniforme dans tout le con-
Très petits ux: aspect discret de la lumière peut inter-
ducteur, idem conducteur pft en EC
(ii)
τ → 0.
venir. Alors, si on intègre sur toutes les directions: den-
En termes physiques et non mathématiques:
sité de ux en un point est
la résistance thermique de l'échantillon est négligeable
lorsqu'on travaille à des temps caractéristiques >>
En un
point donné de l'espace, superposition de densités de ux
chaleur parfait) alors :
(i)
émittance spectrale
d'onde.
En
d'équilibre thermique pour
un objet de longueur caractéristique
tiques
Mλ ,
; c'est aussi une puissance / u. de surface / u. longueur
Problèmes solvables:
τ.
3
dϕ =
P
i photons de dS
hνi /dS
- objet émetteur
≈
isotrope et ponctuel à l'échelle
d'intérêt (rayonnement sphérique).
intervenir l'angle solide élémentaire
R
On a :
dΩ = 4π
Nécessaire de faire
dΩ = dS/r2
(dessin).
ϕλ =
quand on intègre sur l'ensemble des
2πhc2
λ5 ehc/(λkT ) − 1
directions possibles ; ex sphère)
- surface plane parfaitement diusante (chaque élément
A l'équilibre thermique, la cavité réémet ce qu'elle reçoit,
de surface rayonne de manière isotrope dans tout le demi-
d'où l'expression du rayonnement du corps noir :
espace)
Intensité lumineuse:
2πhc2
Mλ° =
L'oeil est sensible à la puissance reçue (notion grand pub-
λ5 ehc/(λkT ) − 1
lic d'intensité lumineuse): c'est
Z
Z Z
Mλ dλ dS
Φ=
surf recepteur
λ visible
Conservation de l'énergie:
aλ + rλ + tλ = 1
aλ
rλ
tλ
corps opaque
-
-
0
transparent
0
0
1
brillant (type métal)
0
1
0
1
0
0
corps noir
corps gris
a
2.2.2 Loi de Wien
∀λ
2.2 Objet modèle: le corps noir
Dénition:
λmax =
aλ = 1
(modèle pas trivial: implique distribution continue des
2.2.3 Loi de Stefan
niveaux d'énergie !!!)
2.2.1 Distribution de Planck:
Quand on intègre sur toutes les longueurs d'onde, on
obtient la puissance surfacique rayonnée par un corps
(radiance, ou émittance):
Cavité dans un matériau quelconque à l'équilibre thermique (pas trivial non plus, expérimentalement !!!)
recouverte d'un revêtement noir:
2.898 10−3
(en SI)
T
et
°
Z
M =
rayonnement qui se
Mλ° dλ = σT 4
rééchi sur les parois nira par être absorbé: c'est une
bonne approximation de corps noir.
A T non nulle:
=⇒gaz
∃
Avec
excitation désexcitation vers l'intérieur
σ = 5.675 10−8 W.m−2 .K −4
de photons.
Statistique
de
d'absorption
et
Bose-Einstein
d'émission
+
des
probabilités
distribution
de
2.3 Objet réel
Boltz-
mann du nombre de photons en fonction de leur énergie,
2.3.1 Emittance
liée aux modes de la cavité > distribution de Planck
de l'énergie volumique:
dE
dλ
=
8πhc
λ5
(
)
ehc/(λkT ) −1
(démo
détaillée sur gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr)
Flux surfacique reçu par la cavité :
c
4
×
Mλ = λ Mλ°
dE
dλ , d'où :
4
2.3.2 Loi de Kirschhof
plus grandes que pour la conduction. Le traitement de
ce problème est complexe car les ux dépendent de la
Une cavité absorbe
Mλ °)
aλ Mλ ° (gaz de photons :
reçoit
ϕλ =
géométrie, des propriétés du uide, et des gradients de
température.
et réémet la même densité de ux radiatif, sinon
la distribution d'énergie dans la cavité serait modiée,
Mλ = aλ Mλ °.
donc:
Par dénition de l'émissivité spectrale:
aλ Mλ °
Mλ °
Mλ
Mλ °
eλ =
3.1 Modèle:
Bénard
=
= aλ .
convection de Rayleigh-
Si on s'intéresse à l'intégrale de ces grandeurs sur tout le
Couche horiz d'air d'épaisseur
spectre (plus pratique) :
(i.e. surface horiz
- émittance
M=
R
D2
L
D
∆T =
<< taille latérale
), chauée par en-dessous (
Tbas − Thaut imposée).
Mλ dλ
= M/M ° (tabulé)
R
R
- absorbance a =
aλ ϕλ dλ/ ϕλ dλ ; pour une enceinte à
l'équilibre thermique, on a bien a = . Résultat général- émissivité
isé en pratique.
2.3.3 Loi de Stefan pour un objet réel
E = σT 4
2.4 Puissance échangée par rayonnement
entre deux corps:
Quand la couche limite est laminaire : mouvement horizontal du uide
⇒ transferts de chaleur verticaux se font
uniquement par conduction (+ rayonnement, non négSoient deux corps noirs 1 (température
T2 , aire S2 )
S1 × σT14 − S2 × σT24
(température
T1 ,
aire
en inuence totale :
S1 ) et 2
Φ1→2 =
ligeable si gradients de température susamment importants). Si la couche est turbulente : transferts de chaleur
par convection en plus.
Si corps gris, ou l'un n'entoure pas l'autre: tout ce qui est
émis par l'un n'arrive pas à l'autre + tout ce qui arrive
n'est pas absorbé
Φ1→2
=⇒
1
RCL = hS
est la résistance thermique en K/W .
On appelle h le coecient d'échange de surface, en
W/K/m2 . Important !
Unités:
F1,2
= S1 × F1,2 × σ T14 − T24
facteur de forme
Flux :
Exemple:
S2
* si
S1 et S2 sont deux
−1
= 11 + 12 − 1
F1,2
Φconv =
∆T
2RCL (rappel : unité SI est le Watt)
Couche limite laminaire + échanges par rayonnement
* si
entoure
A droite : modèle électrociné-
tique.
S1 : F1,2 =
1
1
+
S1
S2
1
2
−1
−1
négligeables :
surfaces innies en parallèle:
L'expression du ux est plus facile à manipuler en
linéarisant (erreur à estimer après ...):
(T1 − T2 ) T13 + T12 T2 + T1 T22 + T23
3
T14 − T24 =
Transmission de la chaleur par
convection et couches limites
Des ux entre régions de diérentes températures perme-
RCL ≈
ttent des échanges de chaleur à des échelles généralement
5
eCL
λair S , d'où
h ≈ λair /eCL
Problème :
eCL
déterminer
dans une situation donnée.
ou, plus généralement,
Compliqué
=⇒
h
ν = η/ρ
où
étude (exp
est la viscosité cinématique (= coecient de
diusion de la vitesse, en m²/s), et
a = λ/ρc
la diu-
ou num) de situations types pour obtenir des relations
sivité thermique, qui est aussi un coecient de diusion
empiriques entre grandeurs adimensionnées.
(parfois appelé α ou D , attention: toujours vérier
la dimension des grandeurs qu'on vous donne. Leur seul
nom ne sut pas toujours à savoir ce qu'on manipule !).
3.2 Utilisation des grandeurs adimensionnées
Si
cellule:
g, L
∆T
,
Si
typiques (pour situations moins
modèles: déterminer la longueur
L
P r 1:
prol de
T
faiblement inuencé par le pro-
l des vitesses (ex: métaux liquide, où conduction ther-
typique du problème
mique t. bonne
; en général la plus petite).
•
T fortement inuencé par le prol
T propriété advectée : un élément de
T au cours du mouvement)
prol de
volume garde sa
Liste des paramètres imposés par l'expérimentateur :
•
P r 1:
des vitesses (i.e.
Air:
uide:
⇒ T ≈uniforme
−5
P r = 1, 7 10
)
× 1000/0.026 = 0.67
ν = 1, 7 10−5 /1 = 1, 7 10−5 m2 /s
0, 026/1000 = 2 10−5 m2 /s)
(détail:
- masse volumique
-
β=
1
ρ
(∂ρ/∂T )P
ρ
coecient de dilatation thermique iso-
des deux prols, avec simplications envisageables au cas
-
η
viscosité dynamique en Pa.s
-
λ
conductivité thermique en
-
c
chaleur massique en
par cas.
(W/K)/m
Troisième nombre :
J/K/kg
tre
On a 8 paramètres, mais on remarquera que
β
et
se regroupent en un seul paramètre
Ra
et
Pr
pour décrire la situation.
Le nombre de Grashof, vu en TD, ne forme pas avec
Pr
Gr = Ra × P r.
Nombre de Nusselt :
nombres adimensionnés indépendants,
qu'on choisit pour leur signication physique.
et
Ra et
un trio de grandeurs adimensionnées indépendantes
puisque
kg, s, m, K) > d'après le
théorème de Vashy-Buckingham, problème descriptible
7−4 = 3
On peut imaginer le rapport en-
et l'échauement lié à l'énergie dissipée par vis-
n'utilisera que
Soit 7 paramètres en tout, exprimés à l'aide de 4 dimen-
avec
∆T
cosité (cf TD). L'eet est négligeable. En pratique, on
∆T
interviennent tjs ensemble (ds la poussée d'Archimède)
sions fondamentales (ex:
a =
on est entre les deux régimes : a priori il faut tenir compte
bare (ρ: masse volumique)
=⇒
;
P r,
La situation, décrite par
Ra
permet de déterminer l'eet de la couche limite.
Le nombre adimensionné correspondant est le nombre de
Premier nombre :
Nusselt:
nombre de Rayleigh, qui décrit
la vigueur de la convection.
N u = hL/λ
Cf TD : c'est le rapport
N u ≈ L/eair .
entre l'eet moteur et les eets dissipatifs qui contrent le
Pour une couche laminaire,
mouvement (viscosité + diusion de la chaleur)
cas, il est d'autant plus grand que les échanges convectifs
Dans tous les
(ceux qui permettent de modéliser l'atmosphère hors CL
βgL3 ∆T
Ra =
νa
comme un conducteur parfait à température uniforme)
sont importants.
En général : couche limite est laminaire tant que
10
Pour
Ra <
traiter
un
phénoménologiques
9
problème:
établies
par
utiliser
type
de
les
lois
géométrie
entre grandeurs adimensionnées, ou utiliser des valeurs
Exemple d'une pièce: (air: avec approx GP :
tabulées adéquates.
dV
nM , d'où dρ
ρ = − V et
3 10−3 K −1 )
Ex 1: pour la convection en-dessous d'une plaque froide,
On aura donc:
β = − V1
:
=
ρV = cst
∂V
1
=
−
∂T P
T ≈
N u = 0, 15 × Ra1/3 (Ra
10
Ra = 1, 9 10
1
!!! (avec
est calculé avec pour longueur
caractéristique la racine carrée de l'aire de la plaque)
∆T = 10K )
Ex 2: La couche limite le long d'un mur chaué verti-
Deuxième nombre :
cal évolue avec la hauteur
nombre de Prandtl (propre au
uide)
Pr =
chaque
z
z
à partir du pied du mur. A
(longueur caractéristique du problème), le coef-
cient d'échange correspondant se calcul à partir du
ηc
= ν/a
λ
Pour
6
Rax > 109 ,
N uz .
la relation phénoménologique adéquate
2/5
2/5
N ux = 0, 0248 Rax P r1/5 / 1 + 0, 494P r2/3
.
9
Tant que la couche limite est laminaire (= Ra (z) < 10 ),
1/4
N u (z) = 0.4 × Ra (z) .
ρV L
= VνL . De la même
η
façon que pour la convection libre, on va chercher dans la
le nombre de Reynolds
est :
Ex 3: Pour
L = 30cm
(boîte):
Ra = 2 107
documentation comment
et
> pour TP,
ρ
adimensionnés
et
N u.
Ceci explique, a
104
turelle sans le troisième nombre évoqué plus haut.
h,
Nu
permet de remonter au coe-
ce qui permet de réduire le problème
à des circuits de résistances ou résistances + capacités
(en régime transitoire).
3.3 Récapitulatif : modélisation d'une
cloison
•
Si la couche limite est laminaire : il n'y a pas de ux
lié à la convection
⇒ Rconv = ∞.
Dans certains cas, la
conductance thermique liée au rayonnement
devenir aussi importante que
1
Rray peut
1
Rcond (voir TP).
•
Si la couche limite est turbulente :
1
1
1
Rconv Rray , Rcond .
on peut avoir
3.4 Convection forcée
Lorsqu'une vitesse
V
est imposée au uide, l'eet de la
convection ainsi induite devient prépondérant sur la convection libre. On caractérise alors la situation par
Pr
Re = (debit/section)×diametre
viscosite cinematique . Si Re est
12.104 , alors N u = 0.023 × Re0,8 × P r0,4 .
on calcule
posteriori, qu'on puisse décrire toute la convection na-
cient d'échange
Re.
Ex : Pour un tuyau long dans lequel un débit est imposé,
En eet, il intervient pro-
portionnellement dans tous les eets.
La détermination de
N u s'exprime en fonction de Re
pour la géométrie considérée. Ici aussi la longueur
en compte pour le calcul de
n'intervient dans aucun des 3 nombres
Ra, P r
Pr
caractéristique la plus petite est généralement à prendre
modèle laminaire susant
Remarque :
Re =
+
7
et
entre