PDF (french)

Voyages dans le monde des
Automates Cellulaires.
∗
Ascenseur et Glissements
Luigi Acerbi — Università di Milano–Bicocca
Alberto Dennunzio — Università di Milano–Bicocca
Enrico Formenti — Université de Nice–Sophia Antipolis
∗
Travail dans le cadre du Projet Interlink/MIUR type C Italie-France
“Automates Cellulaires: Proprietés Topologiques and Languages Associès”
– p. 1/1
La question
a0
a1
a2
f
0
0
0
f0
0
0
1
f1
0
1
0
f2
0
1
1
f3
1
0
0
f4
1
0
1
f5
1
1
0
f6
1
1
1
f7
– p. 2/1
La question
x = (. . .
xi−4
xi−3
xi−2
a0
a1
a2
f
0
0
0
f0
0
0
1
f1
0
1
0
f2
0
1
1
f3
1
0
0
f4
1
0
1
f5
1
1
0
f6
1
1
1
f7
a0
a1
a2
xi−1
|
xi
{z
xi+1
}
f
xi+2
xi+3
xi+4
. . .)
– p. 2/1
La question
a0
a1
a2
f
0
0
0
f0
0
0
1
f1
0
1
0
f2
0
1
1
f3
1
0
0
f4
1
0
1
f5
1
1
0
f6
1
1
1
f7
– p. 3/1
La question
a0
a1
a2
f
0
0
0
f0
0
0
1
f1
0
1
0
f2
0
1
1
f3
1
0
0
f4
1
0
1
f5
1
1
0
f6
1
1
1
f7
a0
x = (. . .
xi−4
xi−3
xi−2
xi−1
xi
|
a1
a2
xi+1
{z
xi+2
}
f
xi+3
xi+4
. . .)
– p. 3/1
La question
a0
a1
a2
f
0
0
0
f0
0
0
1
f1
0
1
0
f2
0
1
1
f3
1
0
0
f4
1
0
1
f5
1
1
0
f6
1
1
1
f7
– p. 4/1
La question
x = (. . .
xi−4
xi−3
xi−2
a0
a1
a2
f
0
0
0
f0
0
0
1
f1
0
1
0
f2
0
1
1
f3
1
0
0
f4
1
0
1
f5
1
1
0
f6
1
1
1
f7
xi−1
xi
a0
a1
a2
xi+1
|
xi+2
{z
xi+3
}
f
xi+4
. . .)
– p. 4/1
La question
a0
a1
a2
f
0
0
0
f0
0
0
1
f1
0
1
0
f2
0
1
1
f3
1
0
0
f4
1
0
1
f5
1
1
0
f6
1
1
1
f7
– p. 5/1
La question
x = (. . .
a0
a1
a2
f
0
0
0
f0
0
0
1
f1
0
1
0
f2
0
1
1
f3
1
0
0
f4
1
0
1
f5
1
1
0
f6
1
1
1
f7
a0
a1
a2
xi−4
|
xi−3
{z
xi−2
}
f
xi−1
xi
xi+1
xi+2
xi+3
xi+4
. . .)
– p. 5/1
Pour fixer les ideés...
La meme règle f : Ad+1 7→ A donne origine a un nombre infinit
d’AC sur AZ .
– p. 6/1
Pour fixer les ideés...
La meme règle f : Ad+1 7→ A donne origine a un nombre infinit
d’AC sur AZ .
Z
En fixant un intier m ∈ Z, on obtien un specifique AC A , Fm :
∀x ∈ AZ , ∀i ∈ z,
Fm (x)i = f (xi−m , . . . , xi−m+d )
– p. 6/1
Pour fixer les ideés...
La meme règle f : Ad+1 7→ A donne origine a un nombre infinit
d’AC sur AZ .
Z
En fixant un intier m ∈ Z, on obtien un specifique AC A , Fm :
∀x ∈ AZ , ∀i ∈ z,
Fm (x)i = f (xi−m , . . . , xi−m+d )
m = mémoire
d = diamètre
– p. 6/1
Pour fixer les ideés...
Sur AZ
Z
∀x ∈ A , ∀i ∈ Z,
Fm (x)i = f (xi−m , . . . , xi−m+d )
Sur AN
∀x ∈ AN , ∀i ∈ N,
Φ(x)i = f (xi , . . . , xi+d )
(Φ est la versione one-sided de F0 )
– p. 7/1
Pour fixer les ideés...
Sur AZ
Z
∀x ∈ A , ∀i ∈ Z,
Fm (x)i = f (xi−m , . . . , xi−m+d )
Sur AN
∀x ∈ AN , ∀i ∈ N,
Φ(x)i = f (xi , . . . , xi+d )
(Φ est la versione one-sided de F0 )
– p. 7/1
Automate de Coven (A = {0, . . . , k − 1})
Soit B = b1 · · · bd ∈ Ad un mot.
– p. 8/1
Automate de Coven (A = {0, . . . , k − 1})
Soit B = b1 · · · bd ∈ Ad un mot.
La règle d’un Automate de Coven est f : Ad+1 7→ A:
∀(a0 a1 · · · ad ) ∈ Ad+1 ,

 a
0
f (a0 , a1 , . . . , ad ) =
 a0
si
a1 · · · ad = B
autrement
où a0 = (a0 + 1) mod k
La règle agit sur AZ avec mémoire m = 0.
– p. 8/1
Automate de Coven (A = {0, . . . , k − 1})
Soit B = b1 · · · bd ∈ Ad un mot.
La règle d’un Automate de Coven est f : Ad+1 7→ A:
∀(a0 a1 · · · ad ) ∈ Ad+1 ,

 a
0
f (a0 , a1 , . . . , ad ) =
 a0
si
a1 · · · ad = B
autrement
où a0 = (a0 + 1) mod k
La règle agit sur AZ avec mémoire m = 0.
=B
x
=
(. . .
F0 (x)
=
(. . .
xi−1
xi
xi
z
}|
{
xi+1 . . . xi+d
xi+d+1
. . .)
. . .)
– p. 8/1
Automate de Coven (A = {0, . . . , k − 1})
Soit B = b1 · · · bd ∈ Ad un mot.
La règle d’un Automate de Coven est f : Ad+1 7→ A:
∀(a0 a1 · · · ad ) ∈ Ad+1 ,

 a
0
f (a0 , a1 , . . . , ad ) =
 a0
si
a1 · · · ad = B
autrement
où a0 = (a0 + 1) mod k
La règle agit sur AZ avec mémoire m = 0.
=B
x
=
(. . .
F0 (x)
=
(. . .
xi−1
xi
xi
z
}|
{
xi+1 . . . xi+d
xi+d+1
. . .)
. . .)
6=B
x
=
(. . .
F0 (x)
=
(. . .
xi−1
xi
xi
z
}|
{
xi+1 . . . xi+d
xi+d+1
. . .)
. . .)
– p. 8/1
Consideration
Si B est apériodique alors on sait tout!
– p. 9/1
Consideration
Si B est apériodique alors on sait tout!
Si B est périodique on sait rien!
– p. 9/1
Mais, ...
a0
a1
x2
f
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
– p. 10/1
Mais, ...
a0
a1
x2
f
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
C’est un AC de Coven avec B = 11 (périodique)
– p. 10/1
Mais, ...
a0
a1
x2
f
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
C’est un AC de Coven avec B = 11 (périodique)
C’est aussi le décalé de l’ECA 120!
– p. 10/1
Question
Fait: de l’ECA 120 on connait tout
– p. 11/1
Question
Fait: de l’ECA 120 on connait tout
Est-ce que ca nous aide pour Coven?
– p. 11/1
Question
Fait: de l’ECA 120 on connait tout
Est-ce que ca nous aide pour Coven?
Est-ce que cette manoeuvre est vrai en général?
– p. 11/1
Glissements
Proprietés préservés par les glissements d’une règle:
• injectivité, surjectivité
• closingness (à droite et/ou à gauche)
• equicontinuité (si la règle est nilpotent, si non, on obtien un
AC fortement sensitif)
• densité des orbits qui sont periodiques dans le meme temp
pour l’AC que pour le décalage (JDPO).
– p. 12/1
Glissements
Proprietés préservés par les glissements d’une règle:
• injectivité, surjectivité
• closingness (à droite et/ou à gauche)
• equicontinuité (si la règle est nilpotent, si non, on obtien un
AC fortement sensitif)
• densité des orbits qui sont periodiques dans le meme temp
pour l’AC que pour le décalage (JDPO).
Conjecture: la densité des orbites periodiques est préservé. Il
faut travailler ...
– p. 12/1
Glissements
Proprietés préservés par les glissements d’une règle:
• injectivité, surjectivité
• closingness (à droite et/ou à gauche)
• equicontinuité (si la règle est nilpotent, si non, on obtien un
AC fortement sensitif)
• densité des orbits qui sont periodiques dans le meme temp
pour l’AC que pour le décalage (JDPO).
Conjecture: la densité des orbites periodiques est préservé. Il
faut travailler ...
Transitivité:...we are working on
– p. 12/1
Ascensuer
Prorietés préservés par l’ascenseur (vers l’haut) d’une règle f
avec mémoire m = 0:
• injectivité (ssi l’index de Welch L(f ) = 1), surjectivité
• closingness (à droite)
• equicontinuité et sensitivité.
• transitivité
• JDPO.
– p. 13/1
Ascensuer
Prorietés préservés par l’ascenseur (vers l’haut) d’une règle f
avec mémoire m = 0:
• injectivité (ssi l’index de Welch L(f ) = 1), surjectivité
• closingness (à droite)
• equicontinuité et sensitivité.
• transitivité
• JDPO.
Et les orbites periodiques dense? On a montré que si x est
périodique pour Φ alors tous les points de
H(x) = {y ∈ AZ : ∃n ∈ N,
sont peridiques pour F0 .
y = σ n (x)}′
– p. 13/1
Un résultat intéressant...
Montrer que
surjectivité ⇒ DPO
est équivalent à montrer que
mélangeant ⇒ DPO
– p. 14/1