Corrigé-Brevet 2005-Maths

Corrigé brevet Maths 2005
Série Collèges
Activités algébriques
Exercice 1
1) Calcul de l’expression
2) Expression scientifique de
3) Ecriture sous la forme
le nombre
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4) Développons et simplifions :
Exercice 2
1)
Note
Effectif
Effectif cumulé
croissant
0
1
1
1
2
3
2
4
7
3
3
10
4
7
17
5
8
25
2) Moyenne des notes de la classe :
3) Médiane des notes de la classe : c’est la 13ème note dans l’ordre croissant. En effet, cette
note est celle qui partage l’effectif total des 25 notes en deux parties égales de 12 notes.
Sur le tableau rempli ci-dessus, on peut voir que 10 notes sont inférieures ou égales à 3 et 17
notes sont inférieures ou égales à 4.
La médiane est donc 4.
4) Fréquence des notes inférieures ou égales à 3/5 :
Toujours dans le tableau ci-dessus, on voit que 10 notes sont inférieures ou égales à 3.
On a donc : 10/25 = 0,4
La fréquence est de 0,4.
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Exercice 3 :
1) Arrondi au centième de
2) 3,7 heures en heures et en minutes. C’est 0,7 heure qui correspondra aux minutes. Une
heure vaut 60 minutes donc on a : 0,7 60 = 42
On a donc 3,7h = 3h42 minutes.
3) L’arrondi au millième de
On a donc B = 0,358
4) Calcul à 0,01 près de
On a donc C = 1,26
Exercice 4
1) PGCD de 6209 et 4435 :
On utilise l’algorithme d’Euclide :
6209 = 1 × 4435 + 1774
4435 = 2 × 1774 + 887
1774 = 2 ×887 + 0
Le PGCD est le dernier reste non nul, on a donc 887 comme PGCD de 6209 et 4435
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2) C’est justement parce que 6209 et 4435 sont des multiples de 887 que cette fraction ne
peut être réduite.
3) La fraction irréductible égale à
est obtenue par la simplification de la fraction par le
PGCD 887 :
Activités géométriques
Exercice 1
1) a/ (AE) et (AB) sont perpendiculaires puisqu’il s’agit de deux côtés du parallélépipède
rectangle.
b/ (EH) et (AB) ne sont pas sécantes puisque (AB) est contenue dans le plan de la face ABCD
et (EH) dans celui de la face EFGH. Or ces faces sont parallèles.
2) a/ Calcul de EG : comme le triangle EFG est rectangle, on se réfère au théorème de
Pythagore.
EF = AB = 6
EH = AD = 4
EG² = EF² = EH² = 6²+4² = 36+ 16 =52
Donc, EG =
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b/ L’énoncé indique que le triangle EGC est rectangle, on se réfère donc encore au théorème
de Pythagore pour calculer EC :
EC² = EG² + GC² = 52 + 3² = 52 + 9 = 61
On a donc EC =
3) On calcule le volume de ABCDEFGH :
AB × AD × AE = 3 ×4×6 = 72
Le volume est donc de 72
4) Calcul de l’aire totale de ABCDEFGH :
ABFE et DCGH ont des aires égales, soit 6 ×3=18m²
ADHE et BCGF ont des aires égales, soit : 4×3 = 12m²
ABCD et EFGH ont des aires égales, soit : 6×4 = 24
L’aire totale est donc de : 2 ×(18+12+24) = 108m²
Exercice 2
1) Calcul de OD et AB :
Le point C est sur le segment [OA], le point D est sur le segment [OB] et la droite (CD) est
parallèle à la droite (AB).
On applique donc le théorème de Thalès :
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Donc :
On a aussi :
On reproduit le calcul et on obtient AB = 2,1.
2) Pour prouver que (EF) et (AB) sont parallèles on s’appuie sur le théorème de Thalès et sa
réciproque.
On a le point O, commun aux segments [AE] et [BF], or si on calcule la distance entre ce
point O et les autres points du segments, on s’aperçoit que la longueur est strictement la
même.
Donc,
et d’après la réciproque de Thalès, on a bien (EF) et (AB) parallèles.
Exercice 3 :
1)
2) ABC est rectangle en B car, selon Pythagore :
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BA²+BC² = 4,2²+5,6² = 17,64 + 31,36 = 49
AC² = 7 = 49
Donc, BA²+BC²=AC²
3) Périmètre de ABC :
AB+AC+BC = 4,2+5,6+7 = 16,8 cm
Aire de ABC :
(BA×BC)/2 = (4,2×5,6)/2 = 11,76 cm²
Problème
Partie 1
1) HDC est un triangle rectangle en C, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :
HD²=HC²+CD²= 3²+4²=9+16=25
Donc, HD =
2) Le triangle étant rectangle en C, on peut calculer ainsi l’angle HDC :
On a donc HDC = 37°
3) Calcul de l’angle DHB :
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Puisque le triangle HCD est rectangle en C, on a : CHD + CDH = 90°
CHD = 90 – CDH = 90° -37°= 53°
Puis, l’angle BHC est un angle plat et donc DHB+CHD = 180°, donc DHB = 180° - 53° = 127°
Partie 2
1) a/ Surface au sol du cagibi :
b/ Surface au sol du séjour :
ABCD = 48m²
Or, la surface du séjour est la différence entre ABCD et l’aire du cagibi.
On a donc : g(x) = 48 − 2x.
2)a/ La fonction f est une fonction linéaire, la fonction g est affine.
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b/ Représentation graphique des fonctions :
3)a/ Pour que la surface minimale du séjour soit de 35m², il faut donc que x soit égale à 6,5m
b/ Surface du séjour = 48-2x m²
Or elle doit être supérieure ou égale à 35m²
On a donc :
c/ Résolution de l’inéquation ci-dessus :
On a donc bien la valeur maximale de x qui est 6,5.
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Partie 3 :
1) . « échelle 1/200 » signifie que les longueurs sur la maquette sont obtenues en multipliant
les longueurs réelles par1/200.
2) La longueur du mur de 12m sera donc sur la maquette : (1/200) 12 = 0,06m soit 6cm.
3) Surface au sol du séjour dans la maquette :
Les aires sont multipliées par le carré de l’échelle donc ! (1/200)² × 48 = 48/40000 = 0,0012
La surface sur la maquette est donc de 0,0012m² et comme 1m² = 10000cm², on a une aire
de 120cm²
4) Le volume réel du séjour :
On obtient le volume du séjour de la maquette en multipliant le volume réel par l’échelle au
cube. Donc :
On obtient donc le volume réel en divisant par
ou en multipliant par
Le volume réel du séjour est donc de 106 millions de
soit 106 m
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