Distance d`un point à une droite

Chapitre.
Distance d'un point à une droite. Applications
I.Distance d'un point à une droite. pas dans le socle
1)
D
Définition.
Définition: on appelle distance d'un point à une droite la plus courte distance séparant
ce point de n'importe quel point de la droite.
H
A
Théorème: la distance d'un point à une droite est la distance séparant ce point du
pied de la perpendiculaire à la droite passant par ce point.
Autre formulation:
Théorème: soit A un point et D une droite. On appelle H le pied de la perpendiculaire à D passant par A.
La distance du point A à la droite D est la longueur AH, c'est-à-dire la distance du point A au point H.
Démonstration du théorème.
On considère une droite D et un point A extérieur à la droite D.
On note H le pied de la perpendiculaire à D passant par A.
On considère un point M sur la droite D différent du point H.
Le triangle AHM est un triangle rectangle en H.
On peut appliquer le théorème de Pythagore.
AM 2 = AH 2 + HM 2
Comme HM 2 est une grandeur positive, on en déduit que AM 2 > AH 2
AM et AH sont des longueurs, donc des nombres positifs. donc AM > AH.
(on admet que si deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces deux nombres, théorème du
programme de seconde mais qui peut se démontrer en troisième avec les élèves).
Donc AH est la plus courte distance séparant le point A de n'importe quel point de la droite D.
C'est donc la distance du point A à la droite D.
II.
1)
Tangente à un cercle
Définition
Définition: On considère une droite D et un cercle C .
On dit que la droite D est tangente au cercle C si cette droite et le cercle on un seul point commun.
Théorème:
On considère un cercle et une droite.
Si la distance du centre du cercle à la droite est égale au rayon du cercle, alors la droite et le cercle sont
tangents.
Réciproquement, si la droite et le cercle sont tangents, alors la distance du centre du cercle à la droite est
égale au rayon du cercle.
Autre formulation:
On considère un cercle C de centre O de rayon R, et une droite D.
Si la distance du point O à la droite D est égale à R, alors la droite et le cercle sont tangents.
Réciproquement, si la droite et le cercle sont tangents, alors la distance du point O à la droite D est
égale à R
Dans le cadre du socle, il est seulement attendu que les élèves sachent reconnaître qu'une droite est tangente à un cercle.
2) Construction de la tangente à un cercle en l'un de ses points pas dans le socle
Analyse du problème.
On considère une droite D et un cercle C de centre O de rayon R.
On suppose que la droite D et le cercle C sont tangents en M.
On a donc OM = R.
De plus, OM est la distance du point O à la droite D.
Donc M est le pied de la perpendiculaire à la droite D passant par O.
Donc (OM) est perpendiculaire à la droite D.
Théorème
Théorème: Soit C un cercle de centre O et M un point du cercle. La droite
H
R
O
tangente à C en M est la droite perpendiculaire à (OM) passant par M.
Conséquence: si on veut tracer la droite tangent à C en M, il suffit de tracer la
perpendiculaire à (OM) passant par M.
III.
Les bissectrices d'un triangle.
O
1) Bissectrice d'un angle.
Définition: la bissectrice d'un angle est la demi-droite séparant cet angle en deux angles
adjacents de même mesure. dans le socle: connaître et utiliser cette définition
H
Dans le socle: les élèves tracent la bissectrice d'un angle par la méthode de leur choix.
Théorème: la bissectrice d'un angle est l'ensemble de tous les points intérieurs à
l'angle situés à égale distance des côtés de l'angle.
H'
M
ce théorème ne fait pas partie du socle
2) Bissectrices d'un triangle. pas dans le socle
Définition: une bissectrice d'un triangle est la bissectrice d'un angle au sommet du triangle.
Théorème: les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point. Ce point est le centre du
cercle inscrit au triangle.
C
I
A
B
Conséquence:tracer le cercle inscrit dans un triangle (pas dans le socle)
pour tracer le cercle inscrit dans un triangle, il faut:
• tracer deux bissectrices du triangle. Elles se coupent en un point I qui est le centre du cercle inscrit dans le
triangle.
• tracer la perpendiculaire à un côté passant par I. Elle coupe se côté en H.
• Tracer le cercle de centre I passant par H.