Etude de quelques éléments d`une centrale nucléaire

physique
année scolaire 2014-2015
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Enoncé du DS commun de physique n 2 - Thermodynamique
Etude de quelques éléments d'une centrale nucléaire
Comment fonctionne une centrale nucléaire ?
Les réacteurs électronucléaires ont pour but de déclencher et de contrôler des réactions nucléaires de ssion,
et d'utiliser la chaleur qu'elles dégagent pour produire de l'électricité, via un turboalternateur.
Une centrale nucléaire est ainsi constituée de deux parties :
• une partie non-nucléaire, avec notamment la salle des machines (qui contient principalement une ligne d'arbre
comprenant les diérents étages de la turbine à vapeur ainsi que l'alternateur et le condenseur). Dans cette
partie conventionnelle, semblable à celle utilisée dans les centrales thermiques classiques (fonctionnant au
gaz, charbon ou oul), s'écoule un circuit (le circuit secondaire) d'eau, cette dernière étant d'abord évaporée
(par absorption de la chaleur préalablement produite dans la zone nucléaire), puis elle entraîne une turbine
(couplée à un générateur produisant ainsi l'électricité), et enn condensée (échange avec un refroidisseur :
rivière, mer, ou atmosphère via une tour aéroréfrigérante). C'est dans cette partie que l'énergie calorique
dégagée par la ssion nucléaire est transformée en énergie mécanique (turbine) puis en énergie électrique
(alternateur).
• la zone nucléaire (dans le bâtiment réacteur), où ont lieu les réactions nucléaires, qui produisent la chaleur
transférée au circuit d'eau utilisé pour la production d'électricité et qui vient d'être décrit.
Dans cette zone nucléaire, un "combustible" subit une réaction en chaîne, contrôlée, de ssion nucléaire. La
chaleur dégagée y est transportée grâce à un "uide caloporteur". La réaction est contrôlée par des absorbants
neutroniques (bore, gadolinium, cadmium...) présents dans les barres de contrôle ou dans le uide caloporteur.
Enn, selon le type de réacteur, la réaction de ssion peut se faire avec des neutrons plus ou moins énergétiques :
• Fission par des neutrons lents (neutrons ralentis par une série de collisions sur des noyaux). Du fait qu'ils
n'apportent pas l'appoint d'une énergie cinétique importante, les neutrons lents sont capables de ne ssionner
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qu'une poignée de noyaux ssiles : l'uranium-235 (le seul à exister à l'état naturel), le plutonium-239 et
l'uranium-233 par exemple. Mais le rendement de réaction est meilleur qu'avec des neutrons rapides, car
ces neutrons lents possèdent une grande probabilité d'être capturés par un noyau ssile, puis de donner une
ssion. Dans ce type de réacteur nucléaire, il existe alors un élément "modérateur", qui ralentit les neutrons
émis par chaque réaction de ssion. Avec un bon modérateur, il est alors possible d'obtenir une réaction en
chaîne avec des combustibles à base d'uranium naturel (avec seulement 0,7% d'uranium 235), ou légèrement
enrichis (de 3 à 5% d'uranium 235).
• Fission par neutrons rapides (neutrons très énergétiques, tels qu'émis par les réactions de ssion). Lorsque
ces neutrons interagissent avec un atome, ils sont capables de ssionner non seulement les atomes réputés
ssiles, mais aussi des atomes plus lourds comme les actinides mineurs (ce qui réduit la radiotoxicité à long
terme du combustible irradié). Par ailleurs, avec des neutrons rapides, il est plus facile de transformer des
atomes fertiles (ex : uranium 238) en atomes ssiles (ex : plutonium 239) : il est ainsi possible de produire
plus de noyaux ssibles qu'il n'en est consommé (c'est la "surgénération"). Cependant, les neutrons rapides
sont dicilement capturés par les noyaux : leur probabilité d'interaction est faible. Pour compenser cette
faible probabilité d'interagir, il est nécessaire d'avoir un combustible riche en éléments ssiles et des ux
intenses de neutrons.
Document issus de http ://www.developpement-durable.gouv.fr/Principes-generaux.html
Ce problème va étudier diérentes caractéristiques thermodynamiques des centrales nucléaires.
I- Etude du cycle du circuit secondaire
Dans la suite, on négligera les variations d'énergie macroscopique (cinétique et potentielle) dans les bilans
énergétiques.
1) On note hA et hB les enthalpies massiques du uide aux points A et B du circuit. Le uide reçoit d'une
part le travail massique utile w, d'autre part l'énergie thermique massique q . Eectuer le bilan énergétique du
système ouvert en régime stationnaire.
Cycle de Carnot
2) Dans une première approche très simpliée, on considère le moteur ditherme de Carnot fonctionnant de
manière réversible entre deux sources de températures T1 et T2 (T1 > T2 ). Le cycle décrit par le uide (l'agent
thermique) se compose de deux isothermes et deux adiabatiques.
Les transferts thermiques avec les sources froide et chaude sont notés respectivement Q2 et Q1 . Le travail
transféré est noté W .
2.a) Faire, pour le uide, un bilan énergétique.
2.b) De même, faire un bilan entropique.
2.c) Dénir le rendement.
2.d) L'exprimer en fonction de T1 et T2 .
2.e) Comment s'appelle ce rendement ? Que représente-t-il physiquement ?
Cycle de Rankine
3) On s'intéresse au circuit secondaire que suit l'eau. L'eau liquide est supposée incompressible et de capacité
thermique massique isobare supposée constante c = 4, 18 kJ · kg−1 · K−1 .
Les transformations subies par l'eau sont les suivantes :
• de A à B : compression adiabatique réversible, dans la pompe d'alimentation, de la pression P1 = 0, 10 bar
à la pression P2 = 70 bar, du liquide saturant sortant du condenseur à la pression P1 (point A) ;
• de B à D : échauement isobare à P2 du liquide dans le générateur de vapeur jusqu'à un état de liquide
saturant (point D) ;
• de D à E : vaporisation totale isobare à P2 jusqu'à un état de vapeur saturante (point E ) ;
• de E à F : détente adiabatique réversible dans la turbine de P2 à P1 jusqu'à un état de mélange liquide-vapeur
(point F ) ;
• de F à A : liquéfaction totale isobare dans le condenseur à P1 , de la vapeur présente en F .
3.a) Représenter l'allure du cycle (cycle de Rankine) dans le diagramme de Clapeyron (P, v). On fera
apparaitre les zones de prédominance du liquide, du gaz et de l'équilibre liquide-vapeur.
3.b) Eectuer un bilan energétique pour le uide pour chacune des étapes du cycle et exprimer le travail
massique utile total w en fonction des enthalpies massiques hA , hB , hE et hF .
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3.c) Sur le diagramme enthalpique de l'eau (en coordonnées (P, h)) fourni, placer, avec soin et à l'échelle,
les points A, B , D, E et F ainsi que les grandeurs massiques wAB , wEF et q1 (chaleur massique échangée avec
la source chaude) et q2 (chaleur massique échangée avec la source froide).
3.d) Calculer le rendement.
Cycle de Rankine avec surchaue
4) En fait le cycle réel est un peu plus compliqué que celui précédemment étudié. Pour comprendre le cycle
du circuit secondaire, on part du cycle précédent (cycle de Rankine) et on ajoute un surchaueur (S) de sorte
que le uide sort du générateur de vapeur (GV) sous forme de vapeur surchauée (vapeur sèche).
Les transformations sont maintenant modélisées par :
• de A à B : compression adiabatique réversible, dans la pompe d'alimentation, de la pression P1 = 0, 10 bar
à la pression P2 = 70 bar, du liquide saturant sortant du condenseur à la pression P1 (point A) ;
• de B à D : échauement isobare à P2 du liquide dans le générateur de vapeur jusqu'à un état de liquide
saturant (point D) ;
• de D à E 0 : vaporisation totale isobare à P2 jusqu'à un état de vapeur sèche de température 400◦ C (point
E0) ;
• de E 0 à F 0 : détente adiabatique réversible de P2 à P1 . En F 0 l'état est un mélange liquide vapeur.
• de F 0 à A : liquéfaction totale isobare dans le condenseur à P1 , de la vapeur présente en F 0 .
4.a) Représenter l'allure du nouveau cycle décrit ci-dessus sur le diagramme (P, v) et placer les points
A, B , D, E 0 et F 0 .
4.b) Sur le diagramme enthalpique de l'eau (en coordonnées (P, h)) déjà fait, positionner les points E 0
0
et F .
4.c) Comparer le titre en vapeur des états F et F 0 . Quel peut être l'intérêt de la surchaue ?
4.d) A l'aide du diagramme enthalpique déterminer numériquement le rendement du cycle avec surchaue. Commenter.
II- Etude des échanges thermiques
Etude d'un échangeur simple
5) Entre le circuit primaire (qui vient du c÷ur du réacteur) et le circuit secondaire (qui subit le cycle thermodynamique) d'une part, mais aussi entre le circuit secondaire et le circuit tertiaire (qui vient de l'environnement)
d'autre part, des échanges de chaleur doivent se faire sans échange de matière.
On va s'intéresser à un échangeur simple, qu'on modélisera par deux compartiments de longueur d suivant
l'axe z , et `0 suivant l'axe y , comme présentés sur la gure 1. On supposera que le uide chaud (de l'eau) circule
dans le compartiment inférieur, tandis que le uide froid (de l'eau aussi) circule dans le compartiment supérieur.
Figure 1 échangeur simple vu en coupe
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On se placera en régime permanent et on supposera que tous les échanges thermiques se font, du fait d'un
isolant thermique extérieur, uniquement entre les deux uides à travers la paroi les séparant.
Le problème est unidimensionnel, les températures des uides ne dépendant que de z : Tc (z) est la température du uide chaud à l'abscisse z et Tf (z) celle du uide froid. Dans la paroi séparant les uides comprise
entre x = 0 et x = e = 2, 0 cm, la température ne dépend pas de y . On la note Ts (x, z).
On note c = 4, 18 kJ · K−1 · kg−1 la capacité thermique massique à pression constante de l'eau, Dc le débit
massique du uide chaud et Df celui du uide froid, ces débits étant algébriques et orientés dans le sens des z
croissants. On suppose qu'il n'y a pas de changement d'état.
On donne :
• la conductivité thermique de la paroi en inox séparant les uides : λ = 17 W · K−1 · m−1 ;
• le coecient de Newton h = 1, 0 × 103 W · K−1 · m−2 tel que, au contact d'une surface dS de paroi de
température Ts , la chaleur reçue algébriquement par l'eau de température Te est δQ = h(Ts − Te )dSdt
pendant dt.
−
→
5.a) On dénit dPth (x, z) puissance échangée entre les cote sz et z + dz à travers la surface dS = `0 dz ~
ex
dans le matériau séparant les deux uides. Pourquoi dPth (x, z) ne dépend-elle pas de x ? Dans la suite, on notera
donc dPth (z).
5.b) Exprimer dPth (z) en fonction de Ts (0, z) − Ts (e, z).
5.c) Exprimer dPth (z) en fonction de Tc (z) − Ts (0, z) puis de Ts (e, z) − Tf (z).
5.d) Montrer que dPth (z) = αdz (Tc (z) − Tf (z)). On exprimera α.
5.e) Calculer numériquement `α0 .
5.f ) Exprimer les variations dTc et dTf des températures des deux uides de z à z + dz en fonction de
dPth (z). Montrer alors qu'on aboutit au système suivant :
dPth (z) = αdz (Tc (z) − Tf (z)) = cDf dTf = −cDc dTc
5.g)
On posera θ(z) = Tc (z) − Tf (z). Exprimer alors
dθ
θ .
Echangeur thermique à courant parallèle
6)
Dans un échangeur thermique à courant parallèle, les uides circulent dans le même sens : Dc > 0 et
Df > 0. On note Tf 0 = Tf (0) et Tc0 = Tc (0).
− z
6.a) Montrer que θ(z) = Ae z0 . On donnera A et z0 .
6.b) Quelle peut être l'interprétation physique de la limite de θ(z) quand z → ∞ ? Comment doit être
d par rapport à z0 pour que cette limite soit quasiment atteinte ?
6.c) Tracer les allures de Tc (z) et Tf (z) sur un même graphique.
6.d) Que deviennent ces allures quand Dc Df et au contraire quand Df Dc ?
6.e) Déterminer la puissance thermique totale Pth échangée entre les uides dans l'échangeur à courant
parallèle.
Echangeur thermique à contre courant
Dans un échangeur thermique à contre courant, les uides circulent en sens inverse : Dc > 0 et Df < 0.
Diérentes courbes d'évolution des températures Tc (z) et Tf (z) sont présentés sur la gure 2.
Figure 2 diérentes courbes d'évolution des températures Tc (z) et Tf (z)
7)
Déterminer à quel cas correspond :
la courbe a
la courbe c
la courbe b
7.a)
7.b)
7.c)
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III- Etude de la diusion de particules dans le bâtiment réacteur
Etude de la diusion de particules créées par des réactions nucléaires
8) On considère une assemblée de particules créées par des réactions nucléaires dans un milieu leur faisant
subir de nombreux chocs, qui leur communiquent une vitesse d'agitation moyenne constante v . On appellera
n(x, t) le nombre de ces particules par unité de volume (tout se passe par hypothèse à une dimension, x).
Le milieu absorbe ces particules qui parcourent une distance λa avant absorption. Le nombre A de réactions
d'absorption par seconde et par unité de volume est A = n.v
λa .
8.a) Vérier que cette relation est bien homogène.
On supposera en outre que les réactions nucléaires génèrent C particules par seconde et par unité de volume.
8.b) Montrer qu'un bilan du nombre departicules δNpour une tranche du milieu de section S comprise
2
x
~
entre les abscisses x et x+dx donne δdtN = Sdx C − A − ∂j
∂x . On dénira le vecteur j dont jx est la projection
suivant x.
8.c) Rappeler la loi de Fick et en déduire l'équation diérentielle dont n (x, t) est la solution.
Radioprotection
9) Le c÷ur du réacteur étant une zone où se produisent des réactions nucléaires, des particules radioactives
en sont émises, dont il faut protéger l'homme et l'environnement.
On modélise l'enceinte par un matériau uniforme de section S (semi-inni occupant le demi espace x > 0)
en régime permanent. Le c÷ur du réacteur génère un ux par unité de surface supposé constant de particules
en x = 0− . Il est noté jx (x = 0) = S0 . Il n'y a aucune création de particules dans cette zone.
9.a) Montrer que l'équation de diusion dans l'enceinte vériée par la densité n des particules radioac2
tives est de la forme ddxn2 − δn2 = 0. On donnera l'expression de δ en fonction de la vitesse v des particules, de
leur coecient de diusion dans l'enceinte D, et de λa .
9.b) Vérier que la dimension de δ est cohérente pour les deux expressions.
9.c) En déduire n(x) dans l'enceinte.
9.d) Tracer l'allure de n(x).
9.e) Déterminer l'épaisseur L de l'enceinte pour diminuer la densité de particules radioactives d'un
facteur 1000.
Réaction en chaîne
10) On se place maintenant dans le c÷ur du réacteur en régime permanent, et on note n(x) la densité des
neutrons (particules générées par les réactions de ssion). Le "combustible" nucléaire est compris entre deux
faces planes perpendiculaires à Ox aux points d'abscisse x = ± a2 sur lesquelles on supposera donc que la densité
de neutrons est nulle : n(x = ± a2 ) = 0.
10.a) En admettant le modèle simple suivant lequel l'absorption d'un neutron par un noyau ssile donne
lieu à une ssion délivrant K neutrons, exprimer C en fonction de A.
10.b) Ré-écrire l'équation diérentielle vériée par n dans ce milieu.
10.c) Que doit vérier K − 1 ? Qu'est-ce que cela signie ?
10.d) Donner la forme de la répartition correspondante de densité n(x) des neutrons.
10.e) Exprimer alors v pour que le réacteur atteigne eectivement un régime stable (régime critique).
Qu'est ce que cela signie pour la température du c÷ur du réacteur ?
IV- Approche documentaire sur l'eet de serre
L'énergie nucléaire, si elle a des inconvénients, présente l'avantage majeur de ne pas produire de gaz à eet
de serre, contrairement à l'utilisation des combustibles fossiles.
Cette partie s'appuie sur un document pour l'étude de l'eet de serre.
11) On rappelle la loi de Wien : la longueur d'onde λmax , correspondant au maximum d'émission lumineuse
du corps noir, et la température T du corps noir sont liées par la relation :
λmax · T = 2, 9 × 10−3 K · m
En considérant qu'un corps à température ambiante émet un rayonnement thermique dont le spectre présente
un maximum pour la longueur d'onde 10 µm, estimer la température de surface TS du soleil.
12) On rappelle la loi de Stefan-Boltzmann : la puissance émise par rayonnement d'un corps noir de surface
S et de température T est :
Pth = σ S T 4
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On donne
• la constante de Stefan-Boltzmann : σ = 5, 67 × 10−8 SI,
• la célérité de la lumière dans le vide c = 3, 00 × 108 m · s−1 ,
• la constante de Planck h = 6, 63 × 10−34 J · s,
• la constante de Boltzmann kB = 1, 38 × 10−23 J · K−1 ,
• le rayon du soleil : RS = 7, 0 × 105 km
• et la distance terre soleil D = 150 × 106 km.
12.a) Quelles sont les unités de σ dans le système international ?
12.b) On cherche à exprimer σ en fonction de constantes fondamentales sous la forme
β γ
σ = A cα kB
h
où A est sans dimension. Déterminer α, β , γ et A.
12.c) Calculer numériquement la puissance thermique totale Ptot rayonnée par le soleil.
12.d) Calculer numériquement la puissance thermique reçue par mètre carré de surface terrestre Ps (en
W · m−2 ), par rayonnement solaire. Cette valeur est elle cohérente avec celle donnée par le document ?
12.e) Calculer les valeurs de la puissance thermique émise par mètre carré de surface terrestre Pt (θ)
(en W · m−2 ) quand la terre est aux températures θ = 0◦ C et θ = 25◦ C. Ces valeurs sont-elles cohérentes avec
celles données par le document ?
12.f ) Faire un développement limité au premier ordre de Pt (θ) pour θ proche de θ0 = 25◦ C et en
t (θ0 )
déduire Pt (θ)−P
. L'armation du document : autour de 25◦ C, l'objet émet 6W par mètre carré et par
θ−θ0
degré d'écart est-elle justiée par votre calcul ?
13) Eet de serre.
13.a) Faire un bilan énergétique appliqué à la terre en absence de serre et exprimer la température T
de la terre en fonction de Ps et de σ .
13.b) De même, exprimer la température T 0 de la terre en fonction de Ps et de σ lorsqu'est présente
une serre (on négligera tout autre échange thermique que le rayonnement et on fera les mêmes hypothèses sur
l'absorption et la transparence du verre que celles du document). Discuter l'armation du document selon
laquelle le rayonnement de la terre double lorsqu'est présente une serre.
13.c) En supposant qu'en l'absence de serre la terre est à 12◦ C, estimer la température dans la serre.
Discuter le résultat.
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