Cours de Terminale S /Fonction logarithme népérien
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Cours de Terminale S /Fonction logarithme népérien E. Dostal novembre 2015 Table des matières 7 Fonction logarithme népérien 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Définition et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Etude de la fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 2 3 Chapitre 7 Fonction logarithme népérien 7.1 Introduction Histoire : A la fin du XVIe siècle, les mesures astronomiques, nécessaires à la navigation par exemple ou à l’étude du mouvement des planètes, engendrent des calculs compliqués et particulièrement longs à effectuer à la main. Pour simplifier les calculs, on cherche à réaliser des tables numériques à deux colonnes mettant en correspondance les nombres de telle manière que pour effectuer une multiplication, il suffira d’effectuer une addition, beaucoup plus simple ! Il s’agit de réaliser une fois pour toutes ces calculs fastidieux puis de mettre les tables à disposition des calculateurs. C’est l’écossais John Napier (1550-1617) qui a le premier établi une telle table, appelée table de logarithmes. 7.2 Définition et propriétés algébriques Définition 1 La fonction logarithme néperien, notée ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle sur ]0; +∞[. Le logarithme néperien est donc définie sur ]0; +∞[ et vérifie : eln(x) = x pour tout x > 0. Remarque 1. L’existence d’une fonction réciproque est une conséquence du théorème de la bijection : exp est continue et strictement croissante sur R et lim ex = 0 ; lim ex = +∞. Ainsi, pour tout y > 0, x→−∞ il existe un unique réel noté x = ln(y) tel que ex = y. Théorème 1 x→+∞ Pour tous réels x, y > 0 et tout entier relatif n ∈ Z, on a : 1. eln(x) = x 2. ln(ea ) = a pour tout a ∈ R. 3. ln(1) = 0 ; ln(e) = 1 4. ln(x y) = ln(x) + ln(y) 1 = − ln(y) 5. ln y x 6. ln = ln(x) − ln(y) y 7. ln(xn ) = n ln(x) √ 8. ln( x) = 21 ln(x) 9. Attention : ln est définie sur ]0; +∞[ : ln(0) , ln(−2) n’existent pas ! 2 E. Dostal - 2015 CHAPITRE 7. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Preuve. Plusieurs résultats reposent sur : ea = eb ⇐⇒ a = b (∗). a 1 eln(x) = x d’après la définition 1. 2 eln(e ) = ea , d’après (∗), ln(ea ) = a. 3 ln(1) = ln(e0 ) = 0 et ln(e) = ln(e1 ) = 1 d’après 2. 4 eln(x)+ln(y) = eln(x) eln(y) = xy = eln(xy) , d’après (∗) : ln(x) + ln(y) = ln(xy). 3 4 5 0 == ln(1) = ln(y/y) == ln(y) + ln(1/y), donc ln(1/y) = − ln(y). (2) 5 6 ln(x/y) === ln(x) + ln(1/y) == ln(x) − ln(y). n 7 eln(x ) = xn = (eln(x) )n = en ln(x) donc ln(xn ) = n ln(x). √ 2 √ 8 2 ln( x) = ln( x ) = ln(x), on obtient l’égalité en divisant par 2. Exemple 1. Résoudre ex − 2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple 2. ln 16 + ln(3e2 ) − ln 2e = ... Remarque 2. si a, b > 0, ln(a) < ln(b) ⇐⇒ eln(a) < eln(b) ⇐⇒ a < b (car exp strictement croissante). Donc ln est strictement croissante. On a donc également : ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a = b. Exemple 3. Résoudre dans N l’inéquation 0,99n < 0,5 ... 7.3 Etude de la fonction logarithme Théorème 2 ln est continue et dérivable (car fonction réciproque d’une fonction dérivable) sur ]0; +∞[ : 1 ln′ (x) = > 0 pour tout x > 0 x De plus : lim ln(x) = −∞ ; lim ln(x) = +∞. x→+∞ x→0 x 0 +∞ +∞ ln −∞ ր démonstration : Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = ln(x) 1. Calculer la dérivée de la fonction exp(f (x)) 2. Que vaut exp(f (x)) ? 3. Conclure quant à la dérivée de f . Remarque 3. ln′ (1) = 1 et ln(1) = 0 donc y = x − 1 est l’équation de la tangente à la courbe de ln en x = 1. Ainsi : ln(1 + h) ≈ h pour h voisin de 0. T :y =x−1 y = ln(x) 1 ~ O ~ı e 3 E. Dostal - 2015 CHAPITRE 7. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Remarque 4. La fonction ln étant dérivable sur ]0; +∞[, elle est donc continue sur cet intervalle. Remarque 5. Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, ln(u) existe et u′ est dérivable sur I, de dérivée . (théorème de dérivation des fonctions composées) u Exemple 4. Tableau de signe de ln(x) ? Dériver g : x 7→ ln(x + x2 ) ... Théorème 3 On a pour tout n ∈ N, ln(x) =0 x→+∞ x ln(x)n 2. lim = 0 croissances comparée x→+∞ x 3. lim x ln(x) = 0 1. lim x→0 4. lim x ln(x)n = 0 croissances comparées x→0 5. lim x→0 ln(x + 1) =1 x ln(x) x=eX ln(eX ) X ===== lim = lim X = 0 par croissance comparée de la fonction X x→+∞ x X→+∞ e X→+∞ e exponentielle. La même idée permet d’obtenir 2 3 et 4. ln(1 + h) − ln(1) 1 ln(1 + h) = lim = ln′ (1) = = 1 5 : on exprime la dérivabilité en 1 : lim h→0 h→0 h h 1 Preuve. 1 lim Si a > 0 et b ∈ R, ab = eb ln(a) (exponentielle de base a). ln(x) pour x > 0. On note log = log10 . Le logarithme de base a est loga (x) = ln(a) Définition 2 Exemple 5. Etudier h :]0; +∞[→ R, x 7→ xx . 4