Ch.05 - Suites et séries de fonctions

5. Suites et séries de fonctions
Sauf indication contraire, I désigne un intervalle non trivial de R et K représente R ou C.
I - Diverses notions de convergence
1) Convergence simple, convergence uniforme d’une suite de fonctions
Définitions
Soient (fn )n∈N une suite d’applications de I dans K et f : I → K.
1) On dit que la suite de fonctions (fn ) converge simplement (CVS) vers f sur I si et seulement si,
pour tout x de I, la suite numérique fn (x) converge vers f (x) (la convergence simple est aussi
appelée convergence ponctuelle ou convergence point par point).
Autrement dit, (fn ) CVS vers f sur I si et seulement si
∀ε > 0 ∀x ∈ I
∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| ≤ ε
où n0 dépend de ε et de x.
2) On dit que la suite de fonctions (fn ) converge uniformément (CVU) vers f sur I si et seulement si
sup |fn (x) − f (x)| −→ 0
x∈I
n→∞
(ce qui suppose que fn − f est bornée à partir d’un certain rang). Cette propriété équivaut à
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ ∀x ∈ I
|fn (x) − f (x)| ≤ ε
où n0 dépend de ε, mais ne dépend pas de x.
NB : lorsque (fn ) converge uniformément vers f sur I avec les fn bornées sur I, alors f est également
bornée sur I et la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn ) vers f sur I n’est autre que
la convergence dans l’espace vectoriel normé B (I, K) muni de la norme N∞ , appelée norme de
la convergence uniforme. La notation N∞ a le défaut de ne pas faire apparaître l’intervalle I. . .
Propriété : si (fn ) converge uniformément vers f sur I, alors (fn ) converge simplement vers f sur I.
Attention ! Réciproque fausse !
Exemple : soit, pour tout n de N, fn : x → xn ;
0 si x ∈ [0, 1[
(voir la suite numérique (xn ) pour x fixé).
• (fn ) CVS sur [0, 1] vers f : x →
1 si x = 1
• (fn ) ne converge pas uniformément sur [0, 1] : s’il y avait CVU, ce serait vers f ; or, pour tout n,
sup |fn (x) − f (x)| = 1.
x∈[0,1]
• Pour α ∈ ]0, 1[, (fn ) converge uniformément vers 0 sur [0, α] : en effet sup |fn (x) − f (x)| = αn .
x∈[0,α]
• Il ne suffit pas d’écarter la valeur 1 : pas de CVU sur [0, 1[ puisque
sup |fn (x) − f (x)| = sup xn = 1.
x∈[0,1[
x∈[0,1[
5. Suites et séries de fonctions
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Remarques pratiques
1) Plan d’étude standard pour étudier une suite de fonctions (fn ) sur I
∗ CVS : fixer x dans I et étudier la suite numérique fn (x) , ce qui fournit f le cas échéant
(si nécessaire, distinguer différents cas selon la valeur de x) ;
∗ CVU : si (fn ) CVS vers f sur I, fixer n dans N et chercher un majorant de |fn (x) − f (x)|
indépendant de x, δ n , tel que la suite numérique (δ n ) converge vers 0 ; en cas de succès,
on a la CVU puisque sup |fn − f| ≤ δ n . On peut éventuellement déterminer la valeur exacte
I
de sup |fn − f|, par exemple en étudiant les variations de fn − f , lorsque E = R (comparer
I
alors le sup des valeurs positives et l’inf des valeurs négatives, puisque c’est sup |fn − f| que l’on
I
cherche !).
2) Pour nier la convergence uniforme de (fn ) vers f sur I, il suffit d’exhiber une suite (xn ) d’éléments
de I telle que la suite numérique fn (xn ) − f (xn ) ne converge pas vers 0.
En effet, si (fn ) CVU vers f sur I, alors pour toute suite (xn ) d’éléments de I
∀n ∈ N
|fn (xn ) − f (xn )| ≤ sup |fn − f |
I
et donc fn (xn ) − f (xn ) converge vers 0.
3) En l’absence de convergence uniforme sur I (par exemple si les fn ne sont pas bornées), on peut
parfois établir la convergence uniforme sur certaines parties de I (en mettant à l’écart les points qui
posent problème. . . Voir les exemples).
Exemples :
nx
;
1 + nx
0 si x = 0
(voir la suite numérique fn (x)
1 si x > 0
1) Sur I = R+ soit, pour tout n de N, fn : x →
∗ (fn ) CVS sur R+ vers f : x →
pour x fixé).
∗ (fn ) ne converge pas uniformément sur R+ , ni sur R+∗ : s’il y avait CVU, ce serait vers f ; or,
1
1
pour xn = , |fn (xn ) − f (xn )| = .
n
2
∗ Pour a > 0, (fn ) converge uniformément vers 1 sur [a, +∞[ : en effet, pour n fixé
1
1
∀x ∈ [a, +∞[ |fn (x) − 1| =
≤
1 + nx
1 + na
1
et δn =
est un majorant indépendant de x qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.
1 + na
2) Soit α ∈ R et, sur I = R+ soit, pour tout n de N, fn : x → nα xe−nx ;
∗ (fn ) CVS sur R+ vers 0 ;
∗ Pour étudier la convergence uniforme, je fixe n et j’essaie de trouver un majorant de fn (x)
indépendant de x : une majoration banale est improbable (produit d’une fonction croissante par
une fonction décroissante) d’où l’idée d’étudier les variations de fn ; il vient :
sup |fn | = fn
R+
1
n
=
nα−1
.
e
Conclusion : (fn ) converge uniformément vers 0 sur R+ si et seulement si α < 1.
∗ Pour a > 0, (fn ) converge uniformément vers 0 sur [a, +∞[ : en effet, pour n suffisamment grand,
1
a > et alors fn décroît sur [a, +∞[ d’où
n
∀x ∈ [a, +∞[ |fn (x)| ≤ fn (a)
or fn (a) est indépendant de x et tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini, cela quel que soit α.
5. Suites et séries de fonctions
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Attention ! Certaines propriétés à caractère ponctuel (comme positive, paire, périodique, croissante. . . )
se transmettent à la limite par convergence simple (par exemple : “si la suite de fonctions
(fn ) converge simplement vers f sur un intervalle I de R et si les fn sont croissantes sur
I, alors f est croissante sur I”).
Mais une suite de fonctions continues peut converger simplement vers une fonction discontinue (ça s’arrange avec la convergence uniforme : voir § II).
2) Convergence simple, uniforme, normale d’une série de fonctions
Notations : comme pour définir les séries numériques, à toute suite (fn ) de fonctions de I dans K on
associe la série de fonctions
fn et la suite des sommes partielles (Sp ) associée, qui est
la suite de fonctions définie par
p
∀p ∈ N ∀x ∈ I
Sp (x) =
fn (x) .
n=0
Définition : soit (fn ) une suite d’applications de I dans K. On dit que la série de fonctions
fn
converge simplement ( resp. uniformément) sur I si et seulement si la suite (Sp ) des
sommes partielles converge simplement (resp. uniformément) sur I.
En cas de convergence, la fonction somme S de la série de fonctions
∞
∀x ∈ I
S (x) =
fn (x)
et l’on écrit S =
= lim Sp (x)
p→∞
n=0
fn est définie par
∞
fn .
n=0
Propriété : si
fn converge simplement sur I, alors on dispose de la suite des restes (Rp ), suite de
fonctions définie par
∞
∀p ∈ N ∀x ∈ I
Rp (x) =
fn (x)
n=p+1
et la série de fonctions
fn converge uniformément sur I si et seulement si la suite des
restes (Rp ) converge uniformément vers 0 sur I.
Dém. Si
fn converge simplement sur I, soit S la fonction somme, alors
fn converge uniformément
sur I si et seulement si la suite de fonctions (Sp ) converge uniformément vers S sur I, or
∀p ∈ N
sup |Sp − S| = sup |Rp |
I
I
et donc (Sp ) converge uniformément vers S sur I si et seulement si la suite de fonctions (Rp ) converge
uniformément vers 0 sur I.
Théorème et définition : soit (fn ) une suite de fonctions de B (I, K).
• On dit que la série de fonctions
fn converge normalement (CVN) sur I si et seulement si la série
numérique
sup |fn | converge (i.e.
N∞ (fn ) converge, d’où le nom de convergence normale).
I
• Si la série de fonctions
fn converge normalement sur I, alors elle converge uniformément sur I.
Attention ! Réciproque fausse ! (voir ci-dessous
n≥1
(−1)n−1 n
· x sur [0, 1])
n
Dém. Supposons que
fn converge normalement sur I ; alors
fn converge simplement sur I, car
pour tout x de I, la série numérique
fn (x) est absolument convergente (|fn (x)| ≤ sup |fn |).
I
Pour montrer la convergence uniforme, je considère la suite (de fonctions) (Rp ) des restes de la série de
fonctions
fn et la suite (numérique) (rp ) des restes de la série numérique
sup |fn |.
I
(rp ) converge vers 0 par hypothèse, or
N
∀p ∈ N ∀x ∈ I
∀N > p
N
fn (x) ≤
n=p+1
N
|fn (x)| ≤
n=p+1
d’où, par passage à la limite pour N → ∞ : ∀p ∈ N ∀x ∈ I
sup |fn | ≤ rp
n=p+1 I
|Rp (x)| ≤ rp , d’où sup |Rp | ≤ rp .
I
Il en résulte que la suite de fonctions (Rp ) converge uniformément vers 0 sur I et la propriété précédente
s’applique.
5. Suites et séries de fonctions
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Remarques pratiques
1) Plan d’étude standard pour étudier une série de fonctions
fn sur I
∗ Étudier d’abord la CVN : fixer n dans N et chercher un majorant de |fn (x)| indépendant de
x, un , tel que la série numérique
un converge (étudier éventuellement les variations de fn ).
∗ En cas d’échec, étudier la CVS (fixer x dans I et étudier la série numérique fn (x)) puis la CVU
(chercher un majorant de |Rp (x)| indépendant de x, δ n , tel que la suite numérique (δn ) converge vers 0 — penser au théorème spécial des séries alternées !).
2) Pour nier la CVU, il suffit de montrer que la suite de fonctions (fn ) ne converge pas uniformément
vers 0 (en effet, si la série de fonctions
fn CVU, alors la suite de fonctions (fn ) CVU vers 0,
puisque fn = Rn−1 − Rn . . . ).
Attention ! Réciproque fausse, voir exemple 3) ci-dessous.
Exemples :
1) Soit α > 0 et, sur I = [0, 1] soit, pour tout n de N∗ , fn : x →
∗ Pour α > 1,
fn CVN sur [0, 1] (donc CVU et CVS !).
(−1)n−1 n
1
· x ; sup |fn | = α .
nα
n
[0,1]
∗ Pour 0 < α ≤ 1, pas de CVN sur [0, 1], mais pour x fixé dans [0, 1] la série numérique
fn (x)
vérifie le théorème spécial des séries alternées, d’où la convergence simple de la série de fonctions
fn et la majoration du reste :
xp+1
1
;
α ≤
(p + 1)
(p + 1)α
ce majorant est indépendant de x et tend vers 0 lorsque p tend vers l’infini, donc la suite de
fonctions (Rp ) converge uniformément vers 0 sur [0, 1] : ainsi la série de fonctions
fn converge
uniformément sur [0, 1] (alors qu’ici elle ne converge pas normalement. . . ).
∀p ∈ N∗
∀x ∈ [0, 1]
|Rp (x)| ≤ |fp+1 (x)| =
nx2
.
n3 + x2
n3
1
fn , ni
∗ Déjà, pour tout n ≥ 1, sup |fn | ≥ fn (n) = 3
≥ : il n’y a donc, pour la série
2
+
n +n
2
R
CVN sur R+ ( sup |fn | DV grossièrement) ni même CVU sur R+ (la suite de fonctions (fn ) ne
2) Sur I = R+ soit, pour tout n de N, fn : x →
R+
converge pas uniformément vers 0, cf. la remarque 2) ci-dessus).
∗ Toutefois (et cela peut être bien utile, voir § II), pour tout M > 0,
fn converge normalement
sur [0, M], puisque
M2
∀n ∈ N∗ ∀x ∈ [0, M ] |fn (x)| ≤ 2
n
d’où la convergence de
sup |fn | ; a fortiori,
fn converge uniformément et simplement sur
[0,M]
[0, M], cela pour tout M > 0.
∗ Du résultat précédent, je déduis que
fn CVS sur R+
(pour x fixé, choisir M tel que x ∈ [0, M]. . . ) mais. . .
Attention ! La convergence uniforme sur [0, M] pour tout M > 0 n’entraîne pas la convergence uniforme sur R+ (voir contre-exemple ci-dessus !).
x
.
1 + n2 x2
∗ L’étude des variations de fn montre que, pour tout n ≥ 1,
1
1
sup |fn | = fn
=
;
n
2n
R+
3) Sur I = R+ soit, pour tout n de N∗ , fn : x →
il n’y a donc pas CVN pour
fn sur R+ (
sup |fn | DV par comparaison à une série de Riemann).
R+
5. Suites et séries de fonctions
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∗ Toutefois, toujours dans le même esprit, pour 0 < a < M,
puisque
fn converge normalement sur [a, M],
M
1 + a2 n2
sup |fn |. J’en déduis comme ci-dessus la convergence simple sur R+∗ ,
∀n ∈ N∗
d’où la convergence de
∀x ∈ [a, M ]
|fn (x)| ≤
[a,M]
donc sur R+ puisque la série
fn (0) converge trivialement.
∗ L’étude de la convergence uniforme de
fn sur R+ est ici plus délicate ; je montre qu’il n’y a
pas CVU en minorant les restes : fixons p ∈ N∗ et x ∈ R+ ,
N
N
∀N > p Rp (x) ≥
fn (x) = x
n=p+1
n=p+1
N −p
1
≥x·
2
2
1+n x
1 + N 2 x2
d’où
1
N −p
, cela pour tout N > p ;
≥
N
2N
R+
il en résulte (en faisant tendre N vers l’infini) que :
1
sup |Rp | ≥
2
R+
donc la suite de fonctions (Rp ) ne converge pas uniformément vers 0.
sup |Rp | ≥ Rp
On a donc ici un exemple où la série de fonctions fn ne converge pas uniformément tandis que
la suite de fonctions (fn ) converge uniformément vers 0.
II - Transmission (ou pas) de la régularité
1) Interversion de limites
Attention ! C’est un vrai problème ! ! lim
<
lim xn = 0 alors que
x→1
n→∞
lim
n→∞
lim xn
<
=1
x→1
Théorème : soient a ∈ I et (fn ) une suite de fonctions de I dans K, toutes continues en a.
a) Si la suite de fonctions (fn ) converge uniformément vers f sur I, alors f est continue
en a.
b) Si la série de fonctions
est continue en a.
fn converge uniformément sur I, alors la fonction somme S
Théorème de la double limite
Soient a un point adhérent à I (a réel ou a = ±∞ lorsque I est une demi-droite ou R tout entier) et
(fn ) une suite de fonctions de I dans K telle que, pour tout n, fn admet en a une limite finie bn ∈ K.
1) Si la suite de fonctions (fn ) converge uniformément vers f sur I, alors la suite numérique (bn )
converge dans K vers une limite b et f admet b pour limite en a.
2) Si la série de fonctions
fn converge uniformément sur I, alors la série numérique
∞
et la fonction somme S =
∞
fn admet
n=0
bn converge
bn pour limite en a.
n=0
NB : les résultats ci-dessus correspondent bien à une interversion de deux limites (ou à l’interversion
d’une limite et d’une somme de série), puisqu’ils s’écrivent
∞
lim
x→a
lim fn (x) = lim
n→∞
n→∞
lim fn (x)
x→a
et
lim
x→a
∞
fn (x)
n=0
=
lim fn (x) .
n=0
x→a
Attention ! Bien justifier la CVU (généralement obtenue dans le cas des séries par CVN ou grâce à la
majoration du reste associée au TSSA).
5. Suites et séries de fonctions
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2) Transmission de la continuité par convergence uniforme
Théorème : soit (fn ) une suite de fonctions de I dans K, toutes continues sur I.
a) Si la suite de fonctions (fn ) converge uniformément vers f sur I, alors f est continue
sur I.
b) Si la série de fonctions
est continue sur I.
fn converge uniformément sur I, alors la fonction somme S
NB : penser, s’il n’y a pas CVU sur I, à utiliser la CVU sur certains sous-intervalles de I (noter que
la continuité est une notion locale, donc si par exemple f est continue sur tout segment [a, M],
avec 0 < a < M, on en déduit que f est continue sur R+∗ ; attention en 0 dans ce cas. . . ).
Exemples :
1) Les résultats précédents peuvent permettre de nier rapidement la CVU : si une suite de fonctions
continues CVS vers une fonction discontinue, il ne peut pas y avoir CVU ! (voir par exemple
fn : x → xn sur [0, 1]. . . ).
2) Fonction exponentielle : x → ex est la fonction somme d’une série de fonctions continues qui
converge normalement sur tout segment de R ; elle est donc continue sur R (on peut montrer que
la fonction exponentielle est continue de C dans C, cf. le chapitre 6. . . ).
3) Intégration sur un segment des suites et séries de fonctions continues
Théorème : soit (fn ) une suite de fonctions de C 0 ([a, b] , K).
1) Si la suite de fonctions (fn ) converge uniformément vers f sur [a, b], alors la suite numérique
fn
converge et
[a,b]
lim
n→∞
fn (t) dt
=
[a,b]
2) Si la série de fonctions
f (t) dt =
[a,b]
lim fn (t) dt.
[a,b]
n→∞
fn converge uniformément sur [a, b], alors la série numérique
fn
[a,b]
converge et
∞
∞
fn (t) dt
=
[a,b]
n=0
fn (t) dt (intégration terme à terme).
[a,b]
n=0
Attention ! La convergence simple n’est pas suffisante, la convergence uniforme est suffisante mais pas
nécessaire (voir selon les valeurs de α la suite des (fn ) où fn : x → nα xn (1 − x) sur [0, 1]).
Exemples
1
1) Calculer I =
ln x. ln (1 − x) dx en écrivant
0
f :x→
ln x. ln (1 − x) si x ∈ ]0, 1[
0
si x ∈ {0, 1}
comme somme d’une série de fonctions :
∞
∀x ∈ [0, 1]
f (x) =
un (x)
n=1
∞
1
2) Établir :
xx dx =
0
(−1)n−1
.
nn
n=1
où ∀n ≥ 1 un : x →
−xn
· ln x si x ∈ ]0, 1] .
n
0
si x = 0
5. Suites et séries de fonctions
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4) Suites et séries de fonctions de classe C 1
Attention ! On peut avoir une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers une fonction non dérivable : cf. le théorème de Weierstrass (hors programme), qui fournit une suite
de polynômes (de classe C ∞ !) convergeant uniformément vers n’importe quelle fonction
continue sur un segment.
On peut aussi avoir une suite (fn ) de fonctions dérivables qui converge uniformément
vers une fonction dérivable f alors que (fn′ ) ne converge pas vers f ′ (voir par exemple
1
fn : x → sin nx).
n
Théorème : soit (fn ) une suite de fonctions de C 1 (I, K) telle que :
∗ (fn ) converge simplement vers f sur I ;
∗ (fn′ ) converge uniformément vers g sur I ;
alors f est de classe C 1 sur I et f ′ = g (i.e.
′
lim fn
n→∞
= lim (fn′ )).
n→∞
NB : sous ces mêmes hypothèses, (fn ) converge uniformément vers f sur tout segment de I.
Théorème : soit (fn ) une suite de fonctions de C 1 (I, K) telle que :
∗
fn converge simplement sur I ;
fn′ converge uniformément sur I ;
∗
∞
fn est de classe
alors
′
∞
C1
sur I et
fn
n=0
∞
fn′ (dérivation terme à terme).
=
n=0
n=0
NB : penser, s’il n’y a pas CVU sur I, à utiliser la CVU sur certains sous-intervalles de I (noter que
la continuité et la dérivabilité sont des notions locales, donc si par exemple f est C 1 sur toute
demi-droite [a, +∞[, avec a > 0, on en déduit que f est C 1 sur R+∗ ; attention en 0. . . ).
Exemples :
1) Pour z dans C, la fonction ez : t → etz est de classe C ∞ sur R et Dez = z.ez ; i.e.
d zt
e = z.ezt .
dt
∞
2) Montrer que f : x →
1
· cosn x · sin nx est définie sur R, de classe C 1 sur ]kπ, (k + 1) π[ pour tout
n
n=1
k dans Z ; déterminer f ′ , en déduire f.
5) Suites et séries de fonctions de classe C k (k entier, k ≥ 2)
Théorème : soit (fn ) une suite de fonctions de C k (I, K) telle que :
(j)
∗ pour tout j tel que 0 ≤ j ≤ k − 1, fn
converge simplement sur I vers gj ;
∗
(k)
converge uniformément sur I vers gk ;
fn
alors f = g0 est de classe C k sur I et : ∀j ∈ [[1, k]]
∀j ∈ [[1, k]]
∀x ∈ I
f (j) = gj , autrement dit
f (j) (x) = lim fn(j) (x) .
n→∞
Théorème : soit (fn ) une suite de fonctions de
(I, K) telle que :
(j)
∗ pour tout j tel que 0 ≤ j ≤ k − 1,
fn converge simplement sur I ;
Ck
∗
(k)
fn
converge uniformément sur I ;
∞
alors
fn est de classe
n=0
(j)
∞
Ck
sur I et : ∀j ∈ [[1, k]]
fn
n=0
NB : là encore penser à utiliser une famille de sous-intervalles de I. . .
∞
(j)
fn .
=
n=0
5. Suites et séries de fonctions
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6) La fonction ζ (zeta) de Riemann (hors programme mais très classique)
Le résultat classique sur les séries de Riemann montre que la série de fonctions
fn , où fn : x →
n≥1
1
,
nx
converge simplement sur ]1, +∞[ ; la fonction somme est notée ζ.
∞ 1
∀x ∈ ]1, +∞[ ζ (x) =
.
x
n=1 n
1
sup |fn | = : il n’y a donc pas CVN sur ]1, +∞[ ; il n’y a pas non plus CVU sur ]1, +∞[ :
n
]1,+∞[
1
1
diverge !
cela découle du théorème de la double limite, puisque pour tout n lim fn = et
1
n
n
Pour montrer la continuité de ζ sur ]1, +∞[, je constate que
fn CVN, donc CVU sur [a, +∞[, cela
1
1
pour tout a > 1 (en effet sup |fn | = a et la série numérique
converge). Comme les fn sont
a
n
n
[a,+∞[
continues et que
fn CVU sur [a, +∞[, la fonction somme ζ est continue sur [a, +∞[, cela pour tout
a > 1. Il en résulte que ζ est continue sur ]1, +∞[ (tout point x de ]1, +∞[ se trouve dans [a, +∞[ si
je choisis a tel que 1 < a < x).
Le théorème de la double limite fournit la limite de ζ en +∞ : en effet,
fn CVN donc CVU sur
[2, +∞[ et, pour tout n, fn admet une limite bn en +∞ (qui est une extrémité de [2, +∞[ !) ; précisément
b1 = 1 et bn = 0 pour n ≥ 2 ; la conclusion apportée par le théorème de la double limite est la suivante :
la série numérique
bn converge (ici ce n’est pas une grande nouvelle) et la fonction somme ζ admet
∞
bn pour limite en +∞ ; ainsi lim ζ = 1.
+∞
n=1
∞
(−1)n−1
et η =
gn ; la
x
n
n=1
majoration du reste dans le cadre du TSSA permet de montrer que
gn CVU sur [a, +∞[, cela pour
tout a > 0 ; en effet, pour x fixé dans [a, +∞[, |gn (x)| décroît et tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini,
donc, avec les notations habituelles,
1
∀p ∈ N∗ |Rp (x)| ≤ |gp+1 (x)| ≤
(p + 1)a
1
or la suite numérique
converge vers 0, donc la suite de fonctions (Rp ) CVU vers 0 sur
(p + 1)a
[a, +∞[. J’en déduis que η est continue sur [a, +∞[ pour tout a > 0, donc sur ]0, +∞[.
Or ζ et η sont liées par une relation classique, obtenue en séparant les termes d’indices pairs et impair :
Pour préciser le comportement de ζ au voisinage de 1, j’introduis gn : x →
∞
∀x > 1 ζ (x) − η (x) = 2
p=1
1
= 21−x · ζ (x)
(2p)x
d’où ζ (x) =
η (x)
,
1 − 21−x
1
.
x→1 x − 1
Montrons enfin que ζ est de classe C ∞ sur ]1, +∞[ : pour tout n dans N∗ , en vertu des théorèmes
opératoires classiques, fn : x → e−x ln n est C ∞ sur R+∗ et
or η est continue en 1 et η (1) = ln 2 (classique. . . ), d’où : ζ (x) ∼ +
(ln n)j
.
nx
Connaissant les séries de Bertrand, je fixe a > 1, k ∈ N∗ et j’applique le théorème sur les séries de
fonctions de classe C k sur la demi-droite [a, +∞[ :
∀j ∈ N ∀x > 0 fn(j) (x) = (− ln n)j e−x ln n = (−1)j
• les fn sont de classe C k sur [a, +∞[
• pour tout j tel que 0 ≤ j ≤ k − 1,
•
(k)
fn
(j)
fn converge simplement sur [a, +∞[ ;
converge uniformément sur [a, +∞[.
En effet, pour tout j,
(j)
fn
(j)
converge normalement sur [a, +∞[ puisque sup fn
[a,+∞[
=
(ln n)j
, or le
na
(ln n)j
converge puisque a > 1.
résultat (classique) sur les séries de Bertrand montre que
na
En conclusion, ζ est de classe C k sur [a, +∞[, cela pour tout k dans N∗ , donc de classe C ∞ sur [a, +∞[,
cela pour tout a > 1, donc ζ est de classe C ∞ sur ]1, +∞[.