Matrices et déterminants

Transcription

Matrices, déterminants
S2 Mathématiques Générales 1
11MM21
Les notes qui suivent sont très largement inspirées des sites :
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/calculmat1/calculmat1/co/calculmat1.html
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/determinant1/determinant1/co/determinant1.html
et du
cours de E. Royer consultable à l’adresse :
http://math.univ-bpclermont.fr/∼royer/enseignement.html
S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21)
1 / 38
1. Les matrices
1.1. Définition
Dans tout ce cours, on fixe un corps K : soit R, soit C. On appelle matrice à
coefficients dans K la donnée :
d’un nombre p de colonnes ; d’un nombre n de lignes ;
d’un ensemble de np coefficients de K rangés dans un tableau de n lignes
et p colonnes.
On numérote les coefficients avec deux indices : le premier indique le numéro
de la ligne (on les numérote du haut vers le bas), le second le numéro de la
colonne (on les numérote de gauche à droite). Ainsi, le coefficient aij est
l’intersection de la i ème ligne et de la j ème colonne.
On note alors (aij )1≤i≤n la matrice. On dit que la matrice est de taille n × p
1≤j≤p
(lire “n croix p” et respecter l’ordre de lecture).
2 / 38
1.2. Matrices particulières
1
 
a1
 a2 

Les matrices colonnes sont les matrices à une colonne : 
 ...  .
an
2
3
4
Les matrices lignes sont les matrices à une ligne : a1 a2 . . . ap .
La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls. On la
note 0np si elle a n lignes et p colonnes, 0 s’il n’y a pas d’ambiguı̈té.
Les matrices carrées sont les matrices dont les nombres de lignes et de
colonnes sont égaux. Ce nombre de lignes et de colonnes s’appelle l’ordre
de la matrice. Les coefficients ayant même indice de ligne et de colonne
s’appellent les coefficients diagonaux.
3 / 38
5
6
7
8
Les matrices triangulaires inférieures sont les matrices carrées dont tous les
coefficients strictement au dessus de la diagonale (c’est-à-dire d’indices ij
avec j > i) sont nuls.
Les matrices triangulaires supérieures sont les matrices carrées dont tous
les coefficients strictement au dessous de la diagonale (c’est-à-dire
d’indices ij avec j < i) sont nuls.
Les matrices diagonales sont les matrices carrées à la fois triangulaires
supérieures et triangulaires inférieures. Les seuls coefficients non nuls sont
donc ceux de la diagonale.
La matrice identité est la matrice diagonale dont tous les coefficients
diagonaux valent 1. On note In la matrice identité d’ordre n.
On note Mnp (K) l’ensemble des matrices de taille n × p à coefficients dans K
et Mn (K) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans K.
4 / 38
2. Calcul matriciel
2.1. Égalité des matrices
Deux matrices A et B sont égales, ce qu’on note A = B si
elles ont le même nombre de lignes ;
elles ont le même nombre de colonnes ;
les coefficients à la même position sont égaux.
Si A = (aij )1≤i≤n et B = (bij )1≤i≤n , la condition d’égalité des coefficients est :
1≤j≤p
1≤j≤p
∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , p},
aij = bij .
5 / 38
2.2. Addition des matrices
Soit A et B deux matrices de Mnp (K), la somme A + B est la matrice de
Mnp (K) dont chaque coefficient est somme des coefficients de même position
de A et de B : si A = (aij )1≤i≤n et B = (bij )1≤i≤n alors
1≤j≤p
1≤j≤p
A + B = (aij + bij )1≤i≤n .
1≤j≤p
6 / 38
Proposition
Si A, B et C sont trois matrices de Mnp (K),
l’addition est associative : (A + B) + C = A + (B + C ) ;
la matrice nulle à n lignes et p colonnes est un élément neutre pour
l’addition : A + 0np = A ;
toute matrice admet un symétrique.
En posant −A = (−aij )1≤i≤n , on a : A + (−A) = 0np ;
1≤j≤p
l’addition est commutative : A + B = B + A.
On note A − B la somme A + (−B).
7 / 38
2.3. Produit d’une matrice par un élément de K
Soit A une matrice de Mnp (K) et λ ∈ K. On appelle produit (externe) de λ
par A, et on note λA la matrice dont chaque coefficient est obtenu en
multipliant le coefficient de même position de A par λ : si A = (aij )1≤i≤n
1≤j≤p
λA = (λaij )1≤i≤n .
1≤j≤p
Proposition
Soit λ, µ des éléments de K, A et B des matrices de Mnp (K). Alors,
λ(A + B) = λA + λB
(λ + µ)A = λA + µA
(λµ)A = λ(µA)
1A = A.
8 / 38
2.4. Structure de Mnp (K)
Théorème
1
2
L’ensemble Mnp (K) muni de l’addition et du produit par un scalaire est un
espace vectoriel sur K.
Soit r ∈ {1, . . . , n} et s ∈ {1, . . . , p}. On désigne par Er ,s la matrice de
Mnp (K) dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la r ème ligne, s ème
colonne qui est égal à 1.
Les matrices (Er ,s )1≤r ≤n,1≤s≤p définissent une base de Mnp (K), appelée
base canonique de Mnp (K).
Théorème
Le K-espace vectoriel Mnp (K) est de type fini et sa dimension est égale à np.
9 / 38
2.5. Produit de deux matrices
Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne
Soit
A = a1 . . . ap une matrice ligne de M1p (K),
 
b1
B =  ...  une matrice colonne de Mp1 (K).
bp
Le produit de A par B, noté AB est la matrice 1 × 1 dont le coefficient est
a1 b1 + a2 b2 + · · · + ap bp .
On note que la matrice ligne et la matrice colonne ont même nombre
d’éléments.
10 / 38
Produit d’une matrice par une matrice colonne


a11
 ..
 .

 ai1
 .
 ..
an1
 
b
.1 
coefficient de a
 .. 
11 . . . a1p



bp 




..


. . . a1p
.






..  b

b1 
1
. 

. 
  ..  

. . . aip  . =  coefficient de ai1 . . . aip  ..  


.. 


b
p
.  bp


.


.
. . . anp
.






b

1 


coefficient de an1 . . . anp  ... 
bp
11 / 38
Autrement dit, pour A ∈ Mnp (K) une matrice et B ∈ Mp1 (K) une matrice
colonne, le produit de A par B, noté AB est la matrice colonne n × 1 dont la
ligne n◦ i est le produit de la ligne n◦ i de A avec B et ce pour chaque numéro
de ligne i :




a11 . . . a1p
a11 b1 + · · · + a1p bp
..  b  
..
 ..

1
. 
.
 .



  ..  

 ai1 . . . aip  . =  ai1 b1 + · · · + aip bp  .
 .


.. 
..
 ..


.  bp
.
an1 . . . anp
an1 b1 + · · · + anp bp
On note que A a autant de colonnes que B a de lignes.
12 / 38
Produit d’une matrice par une matrice
Soit A ∈ Mnp (K) et B ∈ Mpq (K) deux matrices.
Le produit de A par B est
la matrice n × q dont la
colonne n◦ j est le produit de
A par la colonne n◦ j de B et
ce pour chaque numéro de
colonne j :

×


 B1 B2 . . . Bq 
=


 A  AB1 AB2 . . . ABq 
On note que A a autant de colonnes que B a de lignes.
13 / 38
Attention !!!
Restriction de définition. Le produit des matrices A et B n’est défini que si
le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Défaut de commutativité. Le produit matriciel n’est pas commutatif. C’est
évident lorsqu’on peut calculer AB mais pas BA (ce qui arrive si le nombre
de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B mais que le nombre de
colonnes de B diffère du nombre de lignes de A) mais on peut aussi avoir
AB 6= BA lorsque A et B sont deux matrices carrées.
Produit nul. Le produit de deux matrices peut être nul alors qu’aucune des
matrices n’est nulle.
14 / 38
Propriétés ( Soient n, p, q, r ∈ N∗ .)
Associativité. Soit A ∈ Mnp (K), B ∈ Mpq (K) et C ∈ Mqr (K). Alors
(AB)C = A(BC ).
Rôle des matrices identité. Si A ∈ Mnp (K),
Distributivité par rapport à l’addition
I
AIp = A et In A = A.
Si A et B sont deux matrices de Mnp (K) et C ∈ Mpq (K). Alors
(A + B)C = AC + BC .
I
Si A ∈ Mnp (K) et si B et C sont deux matrices de Mpq (K). Alors
A(B + C ) = AB + AC .
Compatibilité avec le produit externe. Si A ∈ Mnp (K), B ∈ Mpq (K) et
λ ∈ K, alors
λ(AB) = (λA)B = A(λB).
15 / 38
Puissances d’une matrice carrée
Si k ≥ 0 est un entier et si A ∈ Mn (K), on définit la puissance k ème de A de
la façon suivante :

si k = 0
In
k
k−1
A = A A=
A
· · A}
si k ≥ 1.
| ·{z

produit de k copies de A
Proposition
Soit A et B deux matrices carrées telles que AB = BA et n ≥ 0 un entier.
Alors
n X
n
n
n!
.
(A + B)n =
An−k B k
où
=
k
k
k!(n − k)!
k=0
16 / 38
2.6. Transposée d’une matrice
Définition
Si A = (aij )1≤i≤n est une matrice à n lignes et p colonnes, on appelle
1≤j≤p
transposée de A et on note tA la matrice à p lignes et n colonnes dont le
coefficient de la ligne n◦ j et de la colonne n◦ i est aji . Ainsi,
t
A = (aji )1≤j≤p .
1≤i≤n
17 / 38
Proposition
Soit A et B deux matrices de Mnp (K) et λ ∈ K. Alors,
t t
( A) = A
t
(λA) = λtA
t
(A + B) = tA + tB
t
(AB) = tB tA
Attention !!!
Il faut prendre garde au changement de l’ordre de la multiplication lorsqu’on
prend la transposée d’un produit.
18 / 38
3. Matrices inversibles
3.1. Définition
Définition
Soit A ∈ Mn (K) une matrice carrée d’ordre n. On dit que la matrice A est
inversible si il existe une matrice B ∈ Mn (K) telle que
AB = BA = In .
Propriété-Définition
Soit A ∈ Mn (K) une matrice carrée d’ordre n. Si il existe une matrice
B ∈ Mn (K) telle que AB = BA = In , elle est unique.
Une telle matrice B s’appelle l’inverse de A. On la note A−1 .
19 / 38
3.2. Propriétés
Théorème
Soit A et B deux matrices carrées inversibles de même taille. Alors le produit
AB est inversible et son inverse est (AB)−1 = B −1 A−1 .
Attention !!!
Il faut prendre garde au changement de l’ordre de la multiplication lorsqu’on
prend l’inverse d’un produit.
Proposition
Si A est une matrice carrée inversible alors sa transposée est inversible et
t −1
A
= t A−1 .
20 / 38
3.3. Interprétation matricielle d’un système d’équations linéaires
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations d’inconnues
x1 , . . . , xp de la forme

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1p xp = b1




 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2p xp = b2
..
..

.
.




an1 x1 + an2 x2 + · · · + anp xp = bn
avec aij et bi des coefficients de K pour tout i et j.
21 / 38
Si on note


a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p 
A=
,
.. 
 ...
. 
an1 an2 . . . anp
 
x1
X =  ... 
xp
 
b1
b2 

et B = 
 ... 
bn
le système précédent équivaut à l’égalité matricielle AX = B où X est le
vecteur que l’on cherche à déterminer.
La matrice colonne B s’appelle le second membre du système. Si B = 0, on
dit que le système est un système d’équations linéaires homogènes.
Proposition
Si A est une matrice carrée inversible, le système AX = B a une solution
unique. Cette solution est X = A−1 B.
22 / 38
3.4. Calcul de l’inverse d’une matrice
Pour calculer l’inverse d’une matrice, une première étape consistera à la
transformer en une matrice en échelons.
Définition
Soit A une matrice non nulle ayant au moins deux lignes et une colonne. On
dit que A est en échelons lorsqu’elle a les propriétés suivantes :
chaque ligne non nulle a son premier coefficient non nul égal à 1 ;
toute ligne suivant une ligne nulle est nulle ;
si une ligne a son premier coefficient non nul sur une colonne n◦ j, alors la
ligne suivante, si elle n’est pas nulle, a son premier coefficient non nul sur
une colonne n◦ k > j.
Voilà la forme générale d’une matrice

0 1 ∗ ... ...

 0 0 0 1 ∗

 0 0 0 0 1

 . .
 .. ..


 0 0 0 ... ...

 0 0 0 ... ...


 .. ..
 . .
0 0 0 ... ...
23 / 38
en échelons.

... ... ... ... ∗

... ... ... ... ∗ 

∗ ... ... ... ∗ 





... 0 1 ∗ ∗ 

... 0 0 0 0 




... 0 0 0 0
où ∗ désigne n’importe quel élément de K.
24 / 38
Pour mettre une matrice en échelons, on va utiliser des opérations
élémentaires sur les lignes.
Définition
Les opérations élémentaires sur les lignes sont
multiplication d’une ligne par λ ∈ K, λ 6= 0 ;
échange de deux lignes ;
ajout à une ligne d’une autre ligne multipliée par λ ∈ K.
Théorème (admis)
Toute matrice non nulle ayant au moins deux lignes et une colonne peut être
transformée en matrice en échelons à l’aide d’une suite d’opérations
élémentaires sur les lignes.
25 / 38
Méthode pratique pour mettre une matrice en échelons
Soit A ∈ Mnp (K) avec n ≥ 2.
1 Si tous les éléments de la 1ère colonne de A sont nuls, on passe à l’étape 3.
2 Sinon, au moins un des coefficients de la 1ère colonne de A est non nul,
I
I
I
3
Si l’élément de la 1ère ligne de la 1ère colonne est nul, on échange cette ligne avec
une ligne dont l’élément situé dans la 1ère colonne est non-nul.
On multiplie la 1ère ligne par un coefficient α ∈ K, α 6= 0. Le coefficient α est
choisi de manière à se ramener à une matrice dont le coefficient sur la 1ère ligne,
1ère colonne vaut 1.
Pour chaque i ≥ 2, on ajoute à la i ème ligne Li la ligne L1 mutlipliée par un
coefficient λ ∈ K où λ est choisi de manière à annuler le coefficient de la 1ère
colonne de la i ème ligne.
On obtient une matrice dont les coefficients en dessous de la diagonale de
la 1ère colonne sont tous nuls et telle que le coefficient situé sur la 1ère
ligne, 1ère colonne soit 0 ou 1. On procède de même pour les colonnes
suivantes.
26 / 38
Méthode pratique du calcul de l’inverse
Soit A ∈ Mn (K) une matrice carrée.
On construit une matrice à n lignes et 2n colonnes (A|I ) en écrivant la
matrice identité d’ordre n à droite de A.
En appliquant des opérations élémentaires, on transforme la matrice A en
e et on applique les mêmes opérations à I .
une matrice en échelons A
e eI ).
On obtient (A|
e a une ligne nulle, elle n’est pas inversible.
Si A
Sinon, en appliquant de nouvelles opérations élémentaires, on transforme
e en I . Les mêmes opérations élémentaires transforment eI en A−1 .
A
27 / 38
4. Déterminants
4.1. Définition
On ne s’intéresse ici qu’aux matrices carrées.
Définition
Soit A ∈ Mn (K) une matrice carrée. Le déterminant de A, noté det(A), est
l’élément de K défini par récurrence de la façon suivante :
si n = 1 alors A = (a11 ) et det(A) = a11 ;
si n ≥ 2, alors A = (aij )1≤i,j≤n et
det(A) = a11 ∆11 − a21 ∆21 + a31 ∆31 − · · · + (−1)n−1 an1 ∆n1
où ∆i1 est le déterminant de la matrice de Mn−1 (K) obtenue en enlevant
à A la ligne n◦ i et la première colonne.
28 / 38
Quelques exemples
Si n = 2
det
x1 x2
y1 y2
= x1 y2 − y1 x2
Si n = 3

x1 x2 x3
det  y1 y2 y3  = x1 (y2 z3 − z2 y3 ) − y1 (x2 z3 − z2 x3 ) + z1 (x2 y3 − x3 y2 )
z1 z2 z3

On retrouve les formules introduites en TC math.
29 / 38
Proposition
Le déterminant de toute
éléments diagonaux :

a11

0
 .
det 
 ..
 ..
 .
0
matrice triangulaire supérieure est le produit de ses
∗
... ...
...
a22
... ...
...
... ...
∗
..
.
..
.




...
 = a11 a22 · · · ann .


...
∗
0 ann
30 / 38
4.2. Propriétés
Proposition
Si on multiplie l’une des lignes d’une matrice par un élément de K alors le
déterminant de cette matrice est multiplié par le même élément de K.
Corollaire
Le déterminant d’une matrice ayant une ligne nulle est 0.
Corollaire
Si A ∈ Mn (K) et λ ∈ K alors
det(λA) = λn det(A).
31 / 38
Proposition
Soit A ∈ Mn (K) une matrice carrée dont on note L1 , . . . , Ln les lignes. Soit
L0 ∈ M1n (K) une ligne. Alors






L1
L1
L1
 .. 
 .. 
 .. 
 . 
 . 
 . 






Li−1 
Li−1 
 Li−1 






det  Li  + det  L0  = det Li + L0 






Li+1 
Li+1 
 Li+1 
 . 
 . 
 . 
 .. 
 .. 
 .. 
Ln
Ln
Ln
32 / 38
Attention !!!
Dans l’énoncé précédent, on n’a changé qu’une ligne. Pour ajouter plusieurs
lignes, il faut donc appliquer la proposition plusieurs fois.
Proposition
Si on échange deux lignes d’une matrice carrée, le déterminant est multiplié
par −1.
Corollaire
Si une matrice carrée a deux lignes identiques, son déterminant est nul.
Si à une ligne d’une matrice on ajoute le produit d’un élément de K par
une autre ligne, le déterminant est inchangé.
33 / 38
Méthode pratique de calcul du déterminant
On connait maintenant l’action des opérations élémentaires sur le
déterminant :
Opérations élémentaires
Déterminant
Li ↔ Lj (i 6= j)
multiplié par −1
Li ← λLi (λ 6= 0)
multiplié parλ
Li ← Li + λLj
inchangé
Toute matrice peut être mise en échelons par une succession d’opérations
élémentaires.
On sait calculer le déterminant d’une matrice échelonnée.
On sait donc calculer tous les déterminants par mise en échelons.
34 / 38
Théorème (admis)
Une matrice carrée et sa transposée ont même déterminant.
Conséquence
On déduit alors l’action sur le déterminant des opérations élémentaires sur les
colonnes :
Opérations élémentaires
Déterminant
Ci ↔ Cj (i 6= j)
multiplié par −1
Ci ← λCi (λ 6= 0)
multiplié parλ
Ci ← Ci + λCj
inchangé
35 / 38
Revenons sur le choix fait dans la définition de privilégier la première colonne.
Proposition
Soit A = (aij )1≤i,j≤n une matrice carrée d’ordre n ≥ 2. On note ∆ij le
déterminant de la matrice carrée d’ordre n − 1 obtenue en enlevant à A sa
ligne n◦ i et sa colonne n◦ j. Alors,
det(A) = (−1)i+1 ai1 ∆i1 − ai2 ∆i2 + · · · + (−1)n+1 ain ∆in
(développement du déterminant par rapport à la ligne n◦ i)
det(A) = (−1)j+1 a1j ∆1j − a2j ∆2j + · · · + (−1)n+1 anj ∆nj
(développement du déterminant par rapport à la colonne n◦ j)
pour tout choix d’entiers i et j dans {1, . . . , n}.
36 / 38
Proposition (admis)
Si A et B sont deux matrices carrées de même taille, alors
det(AB) = det(A) det(B).
Théorème
Soit A une matrice carrée. Elle est inversible si et seulement si son
déterminant est non nul. Lorsque A est inversible, on a
det(A−1 ) =
1
.
det(A)
Corollaire
Un système linéaire ayant autant d’équations que d’inconnues a une solution
unique si et seulement si la matrice associée est de déterminant non nul.
37 / 38
Déterminant d’une famille de vecteurs
Soit E un K-espace vectoriel de type fini et n sa dimension. Soit BE une base
de E .
Définition
Soient V1 , V2 , . . . , Vn des vecteurs de E . Soit A la matrice de Mn (K) dont la
j ème colonne est formée des composantes du vecteur Vj par rapport la
base BE .
On appelle déterminant des vecteurs V1 , V2 , . . . , Vn par rapport à la base BE
et l’on note detBE (V1 , V2 , . . . , Vn ) le déterminant de la matrice A.
Théorème
Les vecteurs V1 , V2 , . . . Vn de E sont linéairement indépendants si et
seulement si detBE (V1 , V2 , . . . , Vn ) est non nul.
38 / 38

Matrices et déterminants

Transcription

Documents pareils

INVERSE D`UNE MATRICE

Le 22 septembre 2006 CAPES externe de Mathématiques Postes

D.M. 20 : niveau plus facile

Mathématiques pour le grand écran (what we do in the shadows)

Université My Ismail ESTK -Khénifra. A.U:2016

Université René Descartes - Paris5 licence de

Cours Spéciaux de lÈNS 2014 intitulée : Règles dàssociations

PCSI2 — TP Maple : matrices et déterminants Nous examinons

Matrices Calcul matriciel TI