Calcul de primitives

Calcul de primitives
Z
Dans ce document, la notation désigne
f (x) dx désigne une primitive de la fonction f ;
Z x
Cette notation désigne une fonction F (x) =
f (t) dt (où a est un réel )
a
1
1.1
Formules de bases
Voici les fonctions de base dont il faut connaitre les primitives:
Fonctions
xa
Primitives (C = constante d’intégration)
xa
+C
a+1
(a ∈ R+ , a 6= −1)
cos(αx)
(α ∈ R∗ )
sin(αx)
(α ∈ R∗ )
1
sin(αx) + C
α
−
1
(x + a)
1
cos(αx) + C
α
ln(|x + a|) + C
1
(x + a)α
(α 6= 1)
−1
+C
(1 − α)(x + a)1−α
1
a2 + x2
(a 6= 0)
1
x
arctan( ) + C
a
a
eαx
√
1
1 − x2
√
1
1 + x2
√
1 αx
e +C
α
(α ∈ R)
Arcsin(x) + C
argsh(x) + C = ln(x +
p
x2 + 1) + C
argch(x) + C = ln(|x +
p
1
x2
−1
1
x2 − 1|) + C
2
2.1
L’intégration par parties
On a :
R
u0 (x)v(x) dx = [uv] −
R
u(x)v 0 (x) dx
Cette technique permet de calculer des primitives de fonctions s’écrivant comme produit f (x)g(x).
Exemple:
h 2
i
R
R
x arctan(x) dx = x2 arctan(x) − 12
x2
1+x2
dx. (C’est la formule ci dessus avec u0 = x et v = arctan(x).)
Donc
Z
x arctan(x) dx =
=
3
Z
x2
1
1
dx
arctan(x) −
1−
2
2
1 + x2
x2
x arctan(x)
arctan(x) − +
2
2
2
Le changement de variable
Lorsqu’une expression semble se répéter dans une intégrale on peut prendre cette expression comme nouvelle
variable.
Exemple:
R 2
On cherche à calculer x3x+2 dx. Posons u = x3 ; on a donc du = 3x2 dx.
R
Donc
x2
x3 +2
dx =
R
1
3(u+2)
du =
1
3
ln(u + 2) .
D’où:
Z
1
x2
dx = ln(x3 + 2)
3
x +2
3
Attention, si on fait le changement de variable u à la place de x, il ne faut pas oublier d’exprimer du en
fonction de dx.
4
4.1
Primitives de fractions rationnelles
On décompose la fraction en éléments simples, et il nous reste 3 types d’éléments simples à intégrer:
(a)
1
, dont une primitive est ln(|x − a|)
x−a
(b)
1
, dont une primitive est
(x − a)n
(c)
px + q
(avec ∆ = b2 − 4ac < 0)
(ax2 + bx + c)n
−1
(1−n)(x−a)1−n
Ce dernier cas est plus épineux. On se limitera au cas où n = 1.
Il faut décomposer
px + q
en deux parties:
+ bx + c
ax2
2ax + b
(on fait apparaitre ce terme car il s’intégrera en ln(ax2 + bx + c))
ax2 + bx + c
K
• l’autre partie sera alors de la forme
(où K ∈ R)
ax2 + bx + c
• une qui s’écrira
2
Voyons la méthode sur un exemple:
Exemple:
Z
Une primitive de
x+2
dx =
x2 + 2x + 3
2x+2
x2 +2x+3
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 3
Z
dx +
1
dx
x2 + 2x + 3
est ln(x2 + 2x + 3); reste donc à calculer une primitive de
1
.
x2 +2x+3
La méthode que l’on emploie est d’écrire x2 + 2x + 3 sous forme (x + p)2 + α2 , ce qui est toujours possible
car le ∆ de x2 + 2x + 3 est < 0.
Z
Une primitive de
5
5.1
Z
1
dx =
2
x + 2x + 3
1
dx
(x + 1)2 + 2)
Z
1
=
du
(On a fait le chgt de variable u = x + 1)
u2 + 2
u
1
x+1
1
= √ arctan( √ ) = √ arctan( √ )
2
2
2
2
x2
x+2
x+1
1
1
est donc ln(x2 + 2x + 3) + √ arctan( √ )
+ 2x + 3
2
2
2
Primitives de fonctions du type cosn (x) sinp (x)
Si p est impair , p s’écrit p = 2k + 1. On a donc:
Z
n
Z
p
cos (x) sin (x) dx =
Z
=
cosn (x) sin2k (x) sin(x) dx
n
2
k
cos (x)(sin (x)) sin(x) dx =
Z
cosn (x)(1 − cos2 (x))k sin(x) dx
On pose dans ce cas u = cos(x). Comme du = − sin(x), on a donc:
Z
Z
cosn (x) sinp (x) dx = − (1 − u2 )k un du
Ce qui est une primitive simple à calculer ( un polynôme )
Exemple:
Z
2
Z
3
cos (x) sin (x) dx =
cos2 (x) sin2 (x) sin(x) dx
Z
cos2 (x)(1 − sin2 (x)) sin(x) dx
Z
Z
u3 u5
2
2
= − u (1 − u ) du = −u2 + u4 du = − +
3
5
cos3 (x) cos5 (x)
= −
+
3
5
=
5.2
(où u = cos(x))
Si q est impair : on fait le même raisonnement mais avec cos(x) à la place de sin(x). On sera amené à
poser u = sin(x).
3
5.3
Si p et q sont pairs :
On linéarise la fonction (à l’aide des formules d’Euler ou des formules de trigo).
Exemple:
Z
2
Z
2
1
2
+ 21 cos(2x).
et cos4 (x) =
Donc:
1
2
+ 12 cos(2x)
Z
2
1
2
+ 12 cos(2x) =
=
6.1
1
4
1 1
+ cos(2x) dx −
2 2
1
x
−
sin(4x)
8 32
Z
Z
2
cos (x) dx −
+ 12 cos(2x) + 41 cos2 (2x) =
Z
2
cos (x) sin (x) dx =
6
Z
2
cos (x)(1 − cos (x)) dx
cos (x) sin (x) dx =
Or cos2 (x) =
2
3
8
cos4 (x) dx
+ 12 cos(2x) + 81 cos(4x).
3 1
1
+ cos(2x) + cos(4x) dx
8 2
8
Primitives de fonctions du type cos(ax) sin(bx)
On utilise des formules de trigo suivantes qui permettent de transformer ce produit en somme:
cos(a)cos(b) = 21 (cos(a − b) + cos(a + b))
sin(a)sin(b) = 12 (cos(a − b) − cos(a + b))
sin(a)cos(b) = 12 (sin(a + b) + sin(a − b))
Exemple:
Z
sin(4x) cos(5x) dx =
1
2
= −
7
Z
sin(9x) + sin(−x) dx =
1
2
Z
sin(9x) dx −
1
2
Z
sin(x) dx
cos(9x) 1
+ cos(x)
18
2
Primitives de fractions rationnelles en cos(x) et sin(x)
On suppose que l’on doit intégrer une fonction du type F (x), où F est une fraction rationnelle (quotient de
deux polynômes) comportantZ uniquement des cos(x) et des sin(x).
cos(x)
Exemple: On doit calculer
dx.
2
sin (x) − cos2 (x)
7.1
On applique les règles de Bioche. Ce sont des techniques qui nous suggèrent des changements de variables
qui ramenent le calcul au calcul d’une primitive de fraction rationnelle.
• On tranforme x en −x. Si F (x) dx ne change pas de valeur, alors on fait le changement de variable
u = cos(x) et on sera ramené à primitiver une fraction rationnelle.
ATTENTION! si x devient −x, dx devient −dx !
• On tranforme x en π − x. Si F (x) dx ne change pas de valeur, alors on fait le changement de variable
u = sin(x)
• On tranforme x en x + π. Si F (x) dx ne change pas de valeur, alors on fait le changement de variable
u = tan(x)
• Si les 3 changements précédents ne donnent rien, on fait le changement de variable u = tan( x2 )
4
Exemple:
Z
On doit calculer
cos(x)
dx.
sin2 (x) − cos2 (x)
• Si x devient −x, la fraction
cos(x)
sin2 (x)−cos2 (x)
dx devient
cos(−x)
sin2 (−x)−cos2 (−x)
cos(x)
(−dx) = − sin2 (x)−cos
2 (x) dx.
Ainsi F (x)dx change de valeur; on ne peut conclure
• Si x devient π − x, la fraction
cos(x)
sin2 (x)−cos2 (x)
dx devient
cos(π−x)
sin2 (π−x)−cos2 (π−x)
(d(π − x)) =
cos(x)
sin2 (x)−cos2 (x)
dx.
Ainsi F (x)dx ne change pas de valeur. On fait le chgt de variable u = sin(x).
Z
On décompose ensuite la fraction
1
(u− √1 )(u+ √1 )
2
on obtient:
1
1
(u − √2 )(u +
Z
Ainsi
√1 )
2
=
− √12
u+
√1
2
+
√1
2
u−
Z
8.1
√1
2
1
1
1
1
− √ ln(|u + √ |) + √ ln(|u − √ |)
2
2
2
2
!
1
u − √2
1
√ ln
u + √12
2 2
cos(x)
dx =
2
sin (x) − cos2 (x)
D’où
en éléments simples:
2
1
2
=
8
Z
Z
1
1
du =
du
2
2
2
u − (1 − u )
2u − 1
Z
1
1
du
=
1
2 (u − √ )(u + √1 )
2
2
cos(x)
dx =
2
sin (x) − cos2 (x)
sin(x) −
cos(x)
1
√
dx
=
ln
sin2 (x) − cos2 (x)
2 2 sin(x) +
√1
2
√1
2
Primitives de fractions rationnelles en ex
On fait le changement de variable u = ex , et on est ramené au calcul d’une primitive de fractions rationnelle.
5