Matrices de Bertin - Huma-Num

Matrices de Bertin
graphique pour lire l’information
contenue dans une matrice rectangulaire
Jean-Hugues CHAUCHAT
Labo ERIC
Université de Lyon – Lyon2
Et Alban RISSON & Pham Nguyen KHANG
Jacques Bertin (1918 – 2010) cartographe français,
père de la « Sémiologie graphique » (aussi appelée « la graphique ».
Un graphique doit se lire d’un coup d’œil
alors qu’un tableau se lit case par case.
Le graphique doit montrer à voir la structure de l’information
•
•
Un exemple pédagogique de Jacques
Bertin
Les colonnes
: lesde
communes,
par ordre
alphabétique
Matrice
«Présence
/ Absence »
Les lignes : des caractéristiques
On réordonne les lignes
Puis les colonnes
La structure apparait
« O/1 table »,
Optimal Scaling,
Correspondance Factorial
Analysis
and Blocks Model
Block Model
W7
W13
W3
W11
W9
W1
W4
W10
W12
W6
W8
W14
W5
W2
0/1 table
a6 a17 a12 a2 a18 a22 a24 a19 a13 a8 a11 a3 a23 a9 a20 a1 a15 a25 a5 a16 a14 a7 a21 a4 a10
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1
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Block Model
Amado Graph
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1
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1
1
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1
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W1
W4
W10
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W8
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W11
W12
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W3
W9
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W7
W13
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1
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1
1
0
1
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1
0
W14
W5
W2
Block Model = Amado Graph
after ranking rows and columns
along the first Correspondance Analysis
Axis
a17a12a18a22a24a19a13a11a23a20a15a25a16a14a21a9a10a6 a8 a7 a2 a3 a1 a5 a4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1
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0
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1
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1
1
1
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1
1
1
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1
1
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1
1
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1
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1
1
1
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1
1
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1
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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0
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0
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
W14
W13
W11
W12
W10
W7
W9
W8
W3
W1
W4
W6
W5
W2
Les liens entre :
* Matrices de Bertin
* Analyse Factorielle des
Correspondances
* Optimal Scaling (Dual Scaling)
Les mêmes techniques portent des
noms différents selon les
16 personnes : Le tableau croisé des
couleurs des yeux et des cheveux
fair Hair black Hair red Hair
X \ Y
fair Hair black Hair red Hair
3
1
blue eyes
3
0
1
4
blue eyes
0
2
brown eyes
1
1
2
4
1
1
brown eyes
4
black eyes
0
4
0
4
0
0
black eyes
3
green eyes
0
1
3
4
1
0
4
6
6
16
green eyes
Les 16 personnes : la Base de
Données
Individu alpha
X
Y
1
brown eyes
red Hair
2
green eyes
red Hair
3
green eyes
black Hair
4
black eyes
black Hair
5
black eyes
black Hair
6
blue eyes
fair Hair
7
brown eyes
red Hair
8
brown eyes
fair Hair
9
brown eyes
black Hair
10
black eyes
black Hair
11
green eyes
red Hair
12
green eyes
red Hair
13
blue eyes
fair Hair
14
black eyes
black Hair
15
blue eyes
red Hair
16
blue eyes
fair Hair
On cherche les codages X et Y qui maximisent R²
Codage optimal
Individu
X
Y
codage X
codage Y
1
brown eyes
red Hair
0,24
0,33
2
green eyes
red Hair
-0,06
0,33
3
green eyes
black Hair
-0,06
-1,20
4
black eyes
black Hair
-1,50
-1,20
5
black eyes
black Hair
-1,50
-1,20
6
blue eyes
fair Hair
1,25
1,24
7
brown eyes
red Hair
0,24
0,33
8
brown eyes
fair Hair
0,24
1,31
9
brown eyes
black Hair
0,24
-1,20
10
black eyes
black Hair
-1,50
-1,20
11
green eyes
red Hair
-0,06
0,33
12
green eyes
red Hair
-0,06
0,33
13
blue eyes
fair Hair
1,32
1,31
14
black eyes
black Hair
-1,50
-1,20
15
blue eyes
red Hair
1,32
0,33
16
blue eyes
fair Hair
1,32
1,31
0,00
0,00
1
1
ro=
0,80
ro²=
0,64
Moyenne =
Sigma =
On cherche deux ensembles de nombres
Xi = valeur pour la modalité « i »
Yeux marrons => 0,24 …..
Yj = valeur pour la modalité « j »
Cheveux roux => 0,33 ….
Tels que :
R2 soit maximum
avec moyenne de X = 0
moyenne de Y = 0
et
variance X = 1
variance de Y = 1
Codage optimal avec (SPSS)
2000
Fair
Hair
Red
Hair
CODAGE_Y
Blac
k
Hair
1000
0
-1000
-2000
-2000
COGAGE_X
Black
Eyes
-1000
Green
Eyes
0
1000
Brow
n
Eyes
Blue
Eyes
2000
Optimal Scaling (SPSS)
Optimal Ranking (AMADO)
2000
black eyes
green eyes brown eyes
blue eyes
3
1000
1
0
fair Hair
0
3
0
2
1
red Hair
0
4
CODAGE_Y
-1000
1
-2000
-2000
COGAGE_X
-1000
0
1000
2000
1
0
black Hair
Fair
Hair
Optimal Scaling
gives the first factor of Correspondence
Analysis
Fair Hair
Red
Hair
Black
Hair
Green
Blue
BlackEyes Brown Eyes
Eyes
Eyes
Red Hair
Green
Black EyesEyes Brown
Eyes
Blue
Eyes
Black Hair
Black
Hair
Green
Black Eyes
Eyes
Red
Hair
Brown
Eyes
Fair Hair
Blue
Eyes
Second Optimal Scaling
gives the Second factor of Correspondence Analysis
and so on …
Let X1 and Y1 the first Optimal Scalling solution.
Now we are looking for a second Optimal Coding solution, non correlated to the first
one:
X2i = value for modality « i »
Y2j = value for modality « j »
So that: R2 is Maximized
Looking for 2 sets of numbers X2 and Y
X2 average = 0
Y2 average = 0
X2 variance = 1
black eyes
green eyes
brown eyes
blue eyes
3
1
0
fair Hair
0
3
2
1
red Hair
0
4
1
1
0
black Hair