gustave eiffel armentieres

Transcription

maths
,,
Seconde 2013-2014
Une année de
mathématiques
en 2de
au lycée Gustave Eiffel
Jérôme HERBAUT
une année de
mathématiques en
2de
cours
TA B L E D E S M AT I È R E S
1 Algorithmique
1.1 Premiers pas en algorithmique . . . . . . . . . .
1.1.1 La recette de cuisine . . . . . . . . . . .
1.1.2 Algorithme Magique . . . . . . . . . . .
1.1.3 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Structure si . . . alors . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Programmation avec la calculatrice . . .
1.2.3 Programmation avec XCAS . . . . . . .
1.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Les boucles Pour . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Les boucles conditionnelles . . . . . . . . . . .
1.4.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 TP info . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Le Problème de l’automate . . . . . . . .
1.5.2 Des images dans des paquets de céréales
1.5.3 Problème du Duc de Toscane . . . . . .
1.6 Recherche d’une valeur approchée de π . . . .
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2 FONCTIONS-Parte oane
2.1 Exemples de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Fonction définie par une courbe . . . . . . . .
2.1.2 Fonction définie par un tableau de valeurs . .
2.1.3 Fonction définie par un algorithme . . . . . .
2.2 vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Les intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Représentation graphique d’une fonction . . . . . . .
2.4 Lire graphiquement une image, un antécédent . . . .
2.5 Résolution graphique d’équations et d’inéquations .
2.5.1 Equation f (x) = k . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Inéquation f (x) ≤ k, f (x) > k . . . . . . . . . . .
2.5.3 Equation f (x) = g(x), inéquation f (x) ≤ g(x). . .
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3 Repérage dans le plan
3.1 Repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Notion de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1.2 Coordonnées de points
3.2 Milieu d’un segment . . . . .
3.2.1 Exemple . . . . . . . .
3.2.2 Propriété . . . . . . . .
3.2.3 Applications . . . . . .
3.2.4 Avec un algorithme . .
3.3 Distance entre deux points . .
3.3.1 Exemple . . . . . . . .
3.3.2 Théorème . . . . . . .
3.3.3 Avec un algorithme . .
3.3.4 Applications . . . . . .
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4 Études statistiques
4.1 Etude statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Effectif, fréquence . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Représentation graphique d’une série statistique
4.2.1 Nuage de points . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Diagramme en bâton . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Diagramme circulaire . . . . . . . . . . . .
4.3 Caractéristiques d’une série. . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Mesures de position . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Mesures de dispersion . . . . . . . . . . .
4.4 Effectifs et fréquences cumulés . . . . . . . . . .
4.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Courbe des fréquences cumulées . . . . .
4.5 Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . .
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5 FONCTIONS-LE RETOUR
5.1 Activité d’introduction . . . . . . . . .
5.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Synthèse du vocabulaire utilisé
5.2 Sens de variation d’une fonction . . . .
5.2.1 Définition . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . .
5.3 Extremum d’une fonction . . . . . . .
5.3.1 Définition . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Exemple . . . . . . . . . . . . .
6 Les vecteurs
6.1 Translation et vecteur . . . . . . . .
6.1.1 Activités d’introduction . .
6.1.2 Définitions . . . . . . . . . .
6.1.3 Caractérisation d’un vecteur
6.1.4 Vecteurs égaux . . . . . . . .
6.2 Vecteurs et coordonnées . . . . . .
6.2.1 Exemples . . . . . . . . . . .
#»
6.2.2 Coordonnées du vecteur AB
6.2.3 Vecteur nul . . . . . . . . . .
6.2.4 Vecteurs égaux . . . . . . . .
6.2.5 Milieu d’un segment . . . .
6.3 Somme de deux vecteurs . . . . . .
6.3.1 Exemple . . . . . . . . . . .
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Jérôme Herbaut - Lycée Gustave Eiffel - 2de - année - 2013/2014
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6.3.2 Addition vectorielle . . . . . . . . . . .
6.4 Opposé d’un vecteur, différence de 2 vecteurs
6.4.1 Opposé d’un vecteur . . . . . . . . . .
6.4.2 Différence de deux vecteurs . . . . . .
6.4.3 Coordonnées de −~
u et de u
~ − v~ . . . . .
6.5 Calcul de distance, de norme . . . . . . . . . .
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7 Probabilités
7.1 Epreuve aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Événement contraire, intersection et réunion d’événements
7.5 Utilisation d’un diagramme,d’un tableau ou d’un arbre . .
7.5.1 Utilisation d’un diagramme . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Utilisation d’un tableau . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Utilisation d’un arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Intervalle de fluctuation
8.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Loi des grands nombres et intervalle de fluctuation
8.3 Retour à notre exemple d’introduction . . . . . . .
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11Géométrie dans l’espace
11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Les fonctions de références
9.1 Les fonctions polynômes du 2nd degré . . . . . . . . . . .
9.1.1 La fonction carré : x 7→ x2 . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Fonctions polynômes de degré 2 : x 7→ ax2 + bx + c.
9.2 Fonction inverse et fonctions homographiques . . . . . . .
9.2.1 La fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Fonction homographiques . . . . . . . . . . . . . .
10Equations de droites
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Equation d’une droite . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Ensemble de points . . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Equation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Equation réduite d’une droite . . . . . . . .
10.2.2 Tracer une droite dont on connaît l’équation
10.2.3 Un point appartient-il à une droite donnée
10.2.4 Déterminer l’équation réduite d’une droite
10.3 Position relative de 2 droites . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Droites sécantes . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Résoudre graphiquement un système . . . .
10.4.3 Résolution par le calcul . . . . . . . . . . . .
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11.2 Perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Axiomes d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Calculs de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Volume d’une pyramide, d’un cône . . . . .
11.4.2 Volume d’un prisme, d’un cylindre . . . . .
11.4.3 Volume d’une sphère . . . . . . . . . . . . .
11.5 Positions relatives de droites et de plans . . . . . .
11.5.1 Positions relatives de deux droites . . . . .
11.5.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan
11.5.3 Positions relatives de 2 plans . . . . . . . .
11.6 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.1 Parallélisme entre droites . . . . . . . . . .
11.6.2 Parallélisme entre droite et plan . . . . . . .
11.6.3 Parallélisme entre plans . . . . . . . . . . .
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12Trigonométrie
12.1 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Correspondance entre les nombres réels et les points du cercle
12.1.2 Mesure d’un angle orienté en radians . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Les fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 cosinus et sinus d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 cosinus et sinus d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.4 Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13Xcas : un logiciel qui calcule à ma place
13.1 Calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Quelques calculs pour commencer . . . . . . . . .
13.2.1 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Géométrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Programmation des algorithmes . . . . . . . . . . .
13.5.1 Calcul de l’indice de masse corporel (IMC)
13.5.2 Programmation avec Xcas . . . . . . . . . .
13.5.3 À vous de jouer . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6 Recherche d’un minimum . . . . . . . . . . . . . .
13.6.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6.2 Construction de la figure . . . . . . . . . . .
13.6.3 Résolution du problème . . . . . . . . . . .
13.7 Les statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7.1 Création des listes . . . . . . . . . . . . . . .
13.7.2 Obtention des paramètres statistiques . . .
13.7.3 Représentations graphiques . . . . . . . . .
13.7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.8 La tortue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.8.1 Programmation avec Xcas . . . . . . . . . .
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88
90
91
91
91
91
92
92
92
92
93
93
94
94
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95
96
96
97
98
98
98
99
99
100
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101
102
103
103
105
107
108
109
109
109
109
110
111
111
111
111
112
112
112
113
115
116
116
1
CHAPITRE
Algorithmique
10
1.1. PREMIERS PAS EN ALGORITHMIQUE
1
Premiers pas en algorithmique
1 1 La recette de cuisine
Une recette de cuisine comporte trois étapes :
• Réunir les ingrédients
• Préparer
• Déguster
La préparation consiste à exécuter une suite d’instructions : par exemple, plonger les
tomates dans une casserole d’eau bouillante pendant quelques instants avant de les
peler. On ne sait pas pourquoi il faut procéder de la sorte et d’ailleurs, ça n’a aucune
importance : la recette a été écrite par quelqu’un qui sait. Elle marche.
En comparant avec les algorithmes de mathématiques, on pourrait dire que les ingrédients de la recette sont les entrées du processus auxquelles on applique le traitement
(la préparation) pour obtenir, en sortie, un plat que l’on dégustera avec plaisir (ou pas
!)
Ce n’est pas très mathématique mais c’est un algorithme et pour affronter tous ceux
qui nous attendent, il va nous falloir des forces....
Exemple
Algorithme : algorithme breton pur beurre
Entrées : masse m totale
Initialisation :
beurre ← m/4
sucre ← m/4
farine ← m/4
œuf ← m/4
Traitement
Couper le beurre en petits moreaux et le mettre à fondre doucement au
bain-marie de préférence. Dès qu’il est fondu arrêter. Laisser refroidir mais
attention : le beurre doit être encore liquide ! Il ne doit pas redevenir solide
Mettre le four à préchauffer à 160° (th 5)
Mettre les oeufs entiers avec le sucre dans un saladier. Battre longuement le
mélange pour qu’il blanchisse et devienne bien mousseux
Y ajouter le beurre fondu ET FROID
Rajouter progressivement à l’appareil la farine en l’incoporant bien. Cela doit
donner une pâte élastique et un peu épaisse
Verser la préparation dans un moule à manqué ou à cake bien beurré
Laisser cuire environ une heure. Il faut surveiller le gâteau régulièrement.
si il semble brunir trop vite alors
il faut baisser un peu le four et mettre une feuille d’aluminium sur le
dessus.
fin
Il faut que le dessus du gâteau soit blond foncé, mais pas trop coloré.
si lorsqu’une pique plantée en son milieu ressort sèche alors
le gâteau est cuit
fin
Fin
CHAPITRE 1. ALGORITHMIQUE
11
1 2 Algorithme Magique
1 2 a En langage naturel
Lors d’un spectacle, Algor le magicien choisit une personne au hasard et lui
demande d’effectuer mentalement les procédures suivantes :
• Choisir un nombre sans le dire.
• Lui ajouter 3 .
• Multiplier le résultat par le nombre choisi au départ.
Exemple
• Soustraire au nombre obtenu le carré du nombre choisi au départ.
• Donner le nombre obtenu.
Algor dit abracadabra et donne le nombre choisi au départ par la personne.
1. Repérer les 3 étapes de l’algorithme (entrée, traitement, sortie).
2. Tester cet algorithme sur 3 nombres choisis au hasard.
3. Comment procède Algor pour deviner le nombre de départ ?
1 2 b Langage formalisé
L’intéret d’un algorithme est qu’il peut
être programmé sur une calculatrice ou un
ordinateur. On traduit alors l’algorithme
en "langage machine".
Voici la traduction de l’algorithme précédent dans un langage semi-naturel qui se
rapproche du "langage machine" :
Algorithme : Magie
Variables : n, p
Entrées : nombre n
Traitement
p ← n+3
p ← p×n
p ← p − n2
Fin
Sorties : Afficher p
1 3 Variables
Pour commencer un algorithme, il faut
stocker les entrées dans la mémoire de la
calculatrice ou de l’ordinateur, à un emplacement appelé variable. On peut considérer une variable comme une boite qui
peut contenir une valeur (un nombre, un
mot, une liste de nombres . . .).
Une affectation est l’attribution d’une valeur à la variable. Si la variable s’appelle
A, l’affectation peut s’écrire de différentes
manières :
• Affecter à A la valeur 3
• A prend la valeur 3 ;
• A←3
Algorithme : Affectation
Variables : a, b
Entrées : a,b
Traitement
a ← a+2
b ← 2b − 3
a ← a+b+5
b ← a−6
Fin
Sorties : Afficher a et b
Tester l’algorithme ci dessus avec les nombres 4 et -5 puis avec les nombres de votre
choix. On pourra remplir un tableau de la forme :
12
1.2. STRUCTURE SI . . . ALORS . . .
Variables
a
b
Entrées
4
-5
a
b
a ← a+2
b ← 2b − 3
a ← a+b+5
b ← a−6
Sorties
1 4 Exercices
1 -1
Tester sur plusieurs nombres l’ algorithme Algorithme : Qui suis-je ?
suivant.
Variables : a, b, c
Quelle est sa finalité ?
Entrées : a,b
Traitement
c←a
a←b
b←c
Fin
Sorties : Afficher a et b
1 -2
Écrire un algorithme prenant comme arguments les mesures de la longueur et de la
largeur d’un rectangle exprimées en centimétre et affichant l’aire de ce rectangle en
cm2.
1 -3
1. Écrire un algorithme qui lorsque l’on entre le prix hors taxe d’un article, renvoie
le prix TTC correspondant. On prendra un taux de TVA de 19,6%.
2. Modifier cet algorithme en y incluant en entrée supplémentaire le taux de TVA.
1 -4
Ecrire un algorithme prenant comme arguments le prix d’un article et le pourcentage
de réduction à appliquer et renvoyant le prix soldé.
1 -5
La consommation d’un véhicule est proportionnelle au carré de sa vitesse. Sachant
qu’un certain véhicule consomme 5 litres aux 100 km s’il roule à 90 km/h, écrire un
algorithme qui calcule sa consommation à partir de sa vitesse.
2
Structure si . . . alors . . .
2 1 Un exemple
On mesure l’obésité, c’est-à-dire l’excès de masse grasse à l’aide de l’indice de masse
corporelle, noté I, évalué à partir du poids (en kg) et de la taille (en m) d’un individu :
P
I = 2 . I est une fonction des deux variables P et T.
T
Suivant une classification établie par l’Organisation Mondiale de la Santé, un individu
13
est en surpoids lorsque I > 25.
Voici un algorithme qui demande à l’utilisateur son poids en kilogrammes et sa taille
en mètres, puis calcule l’indice I et affiche s’il est en surpoids ou non :
1. Faire fonctionner l’algorithme pour
:
Algorithme : Calcul de l’IMC
Variables : P, T, I
Entrées : nombres P, T
Traitement
I ← TP2
si I > 25 alors
Afficher "l’individu est en
surpoids."
sinon
Afficher "l’individu n’est pas
en surpoids."
fin
Fin
(a) P = 80 kg et T = 1,75 m.
(b) P = 70 kg et T = 1,70 m.
2. Suivant la classification de l’OMS,
un individu est en état de maigreur
si I < 18, 5.
Transformer l’algorithme précédent
de manière à classer un individu suivant qu’il est de constitution maigre,
moyenne ou en surpoids.
2 2 Programmation avec la calculatrice
TI-82 Stats.fr
Casio Graph 35
:If condition
If condition↵
:Then
Then tâche↵
:tâche
Else tâche↵
:Else
IfEnd↵
:tâche
:End
2 3 Programmation avec XCAS
Dans Xcas on utilisera la syntaxe suivante :
si condition ;
alors tâche ;
sinon tâche ;
fsi ;
2 4 Exercices
1 -1
Écrire un algorithme prenant comme argument l’âge de l’utilisateur et renvoyant
le tarif du billet de cinéma, à savoir : 5 A
C
s’il a moins de 18 ans, 7,60 A
C sinon.
1 -2
Ecrire un algorithme donnant le montant
à payer en fonction du nombre n de photocopies.
Tarif des photocopies :
• De 1 à 30 : 0,12 A
C pièce
• De 31 à 60 : 0,10 A
C pièce
• Au-delà de 60 : 0,08 A
C pièce.
1 -3
Ecrire un algorithme qui, lorsque l’on
entre les coordonnées de 4 points A, B,
C et D du plan, indique si le quadrilatère
ABCD est un parallélogramme ou non.
1 -4
Ecrire un algorithme qui, lorsque l’on
entre les coordonnées de 3 points A, B,
C du plan, indique si le triangle ABC est
équilatéral ou isocèle ou ni équilatéral ni
isocèle.
14
1.3. LES BOUCLES POUR
3
Les boucles Pour
Pour effectuer un programme, il est parfois nécessaire d’exécuter plusieurs fois de
suite la même tâche.
En algorithmique, on dit alors qu’on exécute une boucle et on utilise les instructions
ci-dessous :
Pour k allant de 1 jusque N faire
tâche
FinPour
Avec cette instruction, on répète un nombre connu de fois la même tâche : ici de 1 à
N, donc N fois.
La variable k est un compteur. Elle augmente automatiquement de 1 à chaque tour.
3 1 Exemples
3 1 a Une somme
1. Faire fonctionner cet algorithme
pour N=3.
Algorithme : Qui suis-je ?
Variables : N, k, S
Entrées : N
Traitement
S←0
pour k allant de 1 jusque N
faire
S ← S+k
fin
Fin
Sorties : Afficher S
2. De même pour N=5.
3. Quel est le rôle de cet algorithme
dans le cas général ?
3 1 b Un produit
pour N=5.
Variables : N, k, S
Entrées : N
Traitement
S←1
pour k allant de 1 jusque N
faire
S ← S×k
fin
Fin
Sorties : Afficher S
2. Quel est le rôle de cet algorithme
dans le cas général ?
TI-82 Stats.fr
Casio Graph 35
:For(K,1,N)
For 1 → K To N ↵
:tâche
tâche ↵
:End
Next↵
15
pour k de 1 jusque N faire
tâche ;
fpour ;
3 4 Exercices
L’appliquer, à la main, dans le repère ci1 -1
Écrire un algorithme prenant comme ar- contre.
gument un nombre entier n et affichant
tous les nombres entiers de 0 à n.
10
9
1 -2
8
Ecrire un algorithme qui calcule la somme
7
des N premiers nombres pairs (zéro exclu),
6
où N est un entier strictement positif.
5
4
1 -3
3
Écrire un algorithme prenant comme ar2
gument un nombre entier n et affichant
1
tous les diviseurs de n.
0
1 -4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Écrire un algorithme prenant comme argument un nombre entier n et affichant le
1 -7
nombre de diviseurs de n.
La tortue est un instrument de dessin qui
ne connaît que quelques commandes dont
1 -5
Compléter l’algorithme suivant pour qu’il :
affiche la table de multiplication (de 0 jus• baisse_crayon
qu’à 12) d’un nombre entier naturel N
saisi par l’utilisateur.
• leve_crayon
Algorithme : Table de multiplication
Variables : N, . . ., R
Entrées : N
Traitement
pour . . . allant de . . . jusque . . .
faire
··· ← ...
Afficher(. . .)
fin
Fin
1 -6
On donne l’algorithme :
VARIABLES
k EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
POUR k ALLANT_DE 1 A 10
DEBUT_POUR
TRACER_SEGMENT (0,k)->(k,k)
FIN_POUR
• avance d : pour avancer d’une longueur d
• tourne_droite a : pour tourner à
droite d’un angle de a degrés
• tourne_gauche a : pour tourner à
gauche d’un angle de a degrés
Algorithme : Tortue
Variables : n
Traitement
Efface
Baisse_crayon
pour n allant de 1 jusque 3
faire
Avance 50
Tourne_gauche 120
fin
Leve_crayon
Fin
FIN_ALGORITHME
16
1.3. LES BOUCLES POUR
1. Quel est le résultat de l’algorithme
ci-dessus ? (On prendra pour unité 1
mm)
tortue.
1 -8
On met en culture une population de 2
2. Ecrire un algorithme permettant le 000 bactéries. On suppose que chaque
tracé d’un carré dans le langage Tor- heure la population augmente de 10 %.
tue.
Ecrire un algorithme de calcul du nombre
3. De même pour un pentagone, un de bactéries en fonction du nombre
d’heures écoulées.
hexagone régulier.
1 -9
4. On pourra programmer cet algorithme avec xcas. Pour cela on se Ecrire un algorithme qui permet de calcuplacera en mode tortue dans le ler la moyenne pondérée d’une série de N
menu Tortue en selectionnant Dessin notes données par l’utilisateur.
1 - 10
Écrire des algorithmes qui permettent de faire les dessins ci-dessous.
Dessin 1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Dessin 3
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
Dessin 2
Dessin 4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
Dessin 5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
17
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
Dessin 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
Dessin 6
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
Dessin 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
Dessin 7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
. ........................................
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18
1.4. LES BOUCLES CONDITIONNELLES
4
Les boucles conditionnelles
Pour effectuer un programme, il est parfois nécessaire d’exécuter plusieurs fois de
suite la même tâche lorsqu’une condition est remplie.
En algorithmique, on dit alors qu’on exécute une boucle tant que et on utilise les
instructions ci-dessous :
tant que condition faire
tâche
Fintantque
Avec cette instruction, on répète la même tâche tant que la condition est vérifiée
Il faut donc avec une telle structure s’assurer qu’à un moment donné la condition n’est
plus vérifiée pour être sur de pouvoir sortir de la boucle sans quoi le programme ne
s’arretera jamais.
4 1 Exemples
4 1 a Première approche
On donne ci-dessous un algorithme et sa programmation dans le langage Texas instrument.
Algorithme : Le juste prix
Variables : N,P
Traitement
P ← alea(1,100)
N←0
tant que N,P faire
Afficher "Entrer un nombre entier entre 0 et 100"
Saisir N
si N=P alors Afficher"Vous avez gagné !"
si N>P alors Afficher"le prix est inférieur"
si N<P alors Afficher"le prix est supérieur"
fin
Fin
1. Programmer cet algorithme sur votre calculatrice.
2. Comment peut-on modifier cet algorithme afin de compter le nombre d’essais
pour obtenir le juste prix ?
19
TI-82 Stats.fr
:EntAleat(1,100)→ P
:0 → N
:While N , P
:Input "Nombre ?",N
:If N = P
:Then
:Disp "Gagne"
:End
:If N > P
:Then
:Disp "Inferieur"
:End
:If N < P
:Then
:Disp "Superieur"
:End
:End
4 1 b Un exemple célèbre
Dans l’algorithme ci-contre on note
reste(a,b) le reste de la division euclidienne de a par b.
Variables : a,b,r
Entrées : a,b deux nombres
entiers strictements
positifs
Traitement
tant que b,0 faire
r←reste(a,b)
a←b
b←r
fin
Fin
Sorties : Afficher a
pour a=70 et b=42.
2. De même pour a=372 et b=1644.
3. Quel est le rôle de cet algorithme ?
Comment s’appelle-t-il ?
tantque condition faire
tâche ;
ftantque ;
TI-82 Stats.fr
Casio Graph 35
:While condition
While condition↵
:End
WhileEnd↵
20
1.4. LES BOUCLES CONDITIONNELLES
4 4 Exercices
1 -1
Écrire un algorithme convertissant un
nombre d’heures donné en nombres de
jours et d’heures.
Tester votre algorithme pour 52 heures,
92 heures et 11 heures.
1 -4
On dispose d’un dé cubique. On le lance.
Si un six sort, le lièvre gagne sinon la tortue avance d’une case. La tortue a gagné
lorsqu’elle a avancé six fois de suite.
Faire un programme prenant comme argument un entier n non nul, simulant n
parties et renvoyant le pourcentage de parties gagnées par la tortue.
1 -2
On considère le problème suivant :
• On lance une balle d’une hauteur initiale de 300 cm.
1 -5
• On suppose qu’à chaque rebond, la Dans une fête forraine, on propose le jeu
de dés suivant :
balle perd 10 % de sa hauteur
On cherche à savoir le nombre de rebonds
• Triplez votre mise en obtenant les six
nécessaire pour que la hauteur de la balle
numéros en six lancers ;
soit inférieure ou égale à 10 cm.
• Doublez votre mise en obtenant les
Écrire un algorithme permettant de résix numéros en dix lancers ;
soudre ce problème.
• Gagnez votre mise en obtenant les
Le programmer sur votre calculatrice et
six numéros en douze lancers ;
répondre au problème posé.
1 -3
Combien faut-il,en moyenne, lancer de
fois un dé avant que le 6 soit obtenu pour
la première fois ?
Faire un programme donnant, à partir de
10 000 expériences aléatoires, une estimation de cette valeur moyenne.
• Au delà de douze lancers vous perdez votre mise.
Faire un programme évaluant le nombre
moyen de lancers successifs d’un dé à
effectuer jusqu’à ce que toutes les faces
soient sorties.
Que pensez-vous alors de ce jeu ?
5
21
TP info
5 1 Le Problème de l’automate
Un distributeur de billets doit donner une somme S
avec des billets de 10, 20 ou 50 euros et avec le moins
de billets possibles. La somme doit être un multiple
de 10 et ne doit pas dépasser 1000 euros.
1. Comment faire pour savoir combien de billets de chaque sorte seront donnés par
le distributeur si S = 330 ?
2. Écrire un algorithme qui demande à l’utilisateur la somme S, lui dit si la somme
n’est pas un multiple de 10 ou est supérieure à 1000 et renvoie le nombre de
billets de chaque sorte.
Appeler le professeur
3. Écrire le programme sur la calculatrice. Le tester avec différentes sommes.
4. Écrire le programme sur Xcas. Le tester.
5. Écrire le programme sur Algobox. Le tester.
5 1 a Instructions
TI 82fr-stats
• quotient de la division D par Q : ≤ NUM 4 : partEnt(D/Q)
• reste de la division de D par Q : D-Q∗partEnt(D/Q)
Sous XACS
• quotient de la division D par Q : iquo(D,Q)
• reste de la division de D par Q : irem(D,Q)
Sous Algobox
• quotient de la division D par Q : floor(D/Q)
• reste de la division de D par Q : D%Q
5 2 Des images dans des paquets de céréales
Dans certains paquets de céréales, on trouve les
images des joueurs d’une collection, une par paquet.
On suppose que les images ont été disposées au hasard dans les paquets. On se propose d’étudier le
nombre de paquets à acheter pour obtenir la collection complète.
Dans un premier temps, on suppose que la collection
comporte 11 images. On suppose que les images sont
numérotées de 1 à 11.
22
1.5. TP INFO
On créé une liste contenant 11 zéros. Lorsqu’une image est obtenue pour la première
fois, l’élément de la liste portant ce numéro passe de zéro à un. Dans la liste ci-dessous
les images 1, 3, 8 et 11 ont déjà été obtenues
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1. Comment reconnaît-on que la collection est complète ?
2. Simuler l’obtention aléatoire d’images obtenues jusqu’à avoir la collection complète, afficher le nombre de paquets qu’il a fallu acheter lors de la simulation.
3. Renouveler 1000 fois l’expérience et calculer le nombre moyen de paquets nécessaires pour obtenir une équipe complète.
4. Généralisation : on note maintenant n le nombre d’images différentes de la
collection.
Reprendre les questions 1 et 2 en remplaçant 11 par n, où n pourra être choisi
par l’utilisateur.
Pour chaque valeur de n, on note f (n) le nombre moyen d’images nécessaires
pour obtenir la collection complète.
En utilisant des valeurs approchées obtenues par simulation pour plusieurs
valeurs de n, que pensez-vous de l’affirmation : la fonction f est affine ?
5 2 a Programmation avec XCAS
Programme
f(n) :={
local c,k,joueurs ;
joueurs :=[0$n] ;
c :=0 ;
tantque joueurs !=[1$n] faire
k :=alea(n) ;
joueurs[k] :=1 ;
c :=c+1 ;
ftantque ;
return c ;
} :;
Utilisation
evalf(moyenne(seq(f(11),k,1,1000)),3)
33.225
Sur 1000 expériences il faut en moyenne acheter 33 paquets de céréales pour obtenir
la collection.
5 2 b Généralisation
seq(evalf(moyenne(seq(f(n),k,1,1000)),0),n,1,20)
[1.0, 3.0, 5.0, 8.0, 11.0, 15.0, 18.0, 22.0, 25.0, 29.0, 33.0, 37.0, 42.0, 46.0, 51.0, 55.0, 60.0, 64.0, 66.0
23
5 3 Problème du Duc de Toscane
5 3 a Un peu de (petite) histoire
Cosme II de Médicis (Florence 1590-1621), Duc de Toscane, fut
le protecteur de l’illustre Gallilée (né à Pise le 15 février 1564 et
mort à Florence le 8 janvier 1642) son ancien précepteur. Profitant
d’un moment de répit du savant entre l’écriture d’un théorème
sur la chute des corps et la création de la lunette astronomique,
le Grand Duc lui soumet le problème suivant : il a observé qu’en
lançant trois dés cubiques et en faisant la somme des numéros
des faces, on obtient plus souvent 10 que 9, alors qu’il y a autant
de façons d’obtenir 9 que 10, à savoir six.
Après quelques réflexions, Galilée rédigea un petit mémoire sur
les jeux de hasard en 1620 expliquant le phénomène.
5 3 b Simulation de l’expérience
N’ayant pas la même expérience du jeu que le bon Cosme, nous allons utiliser notre logiciel favori, XCAS, pour simuler un grand nombre de parties et étudier statistiquement
les résultats obtenus.
1. Nous utiliserons en premier lieu alea(n) qui renvoie un entier appartenant à
l’intervalle [0; n[.
Comment utiliser cette commande pour obtenir le résultat du lancer d’un dé ?
De trois dés ?
2. Plutôt que d’appuyer 100 000 fois sur la touche Entrée, nous allons utiliser une
commande plus pratique, randMat(1,nombre d’expériences,’expérience’) qui
renvoie une liste de nombre d’expériences résultats de l’expérience.
Par exemple randMat(1,10000,’alea(3)’) renverra 10 000 nombres entiers égaux
à 0, 1 ou 2.
Construisez alors une liste T de 100 000 tirages de notre problème.
3. On utilisera également count_eq(n,liste) qui compte le nombre d’apparitions
de n dans la liste liste.
Comptez maintenant le nombre d’apparitions de 9 et 10 dans T puis renouvelez
plusieurs fois l’expérience.
5 3 c Simulation à grande échelle
Observez et commentez ce programme :
toscane(taille,essais) :={
local neuf,dix,T,n,d,s,k,mn,md ;
neuf :=NULL ; dix :=NULL ;/ / on c r é e 2 s é q u e n c e s v i d e s au d é p a r t
pour k de 1 jusque essais faire / / on f a i t p l u s i e u r s e s s a i s
T :=randMat(1,taille,’alea(6)+alea(6)+alea(6)+3’) ;
neuf :=neuf,count_eq(9,T) ;
dix :=dix,count_eq(10,T) ;
fpour ;
n :=evalf(moyenne([neuf])/taille)*100 ;
d :=evalf(moyenne([dix])/taille)*100 ;
s :=taille*essais ;
mn :=couleur(moustache([neuf]),jaune+rempli+line_width_3) ;
md :=couleur(moustache([dix]),bleu+rempli+line_width_3) ;
afficher("Sur "+s+" essais, la fréquence de sortie de 9 est de "+n+", et
celle de 10 est de "+d) ;mn,md ;
} :;
24
1.6. RECHERCHE D’UNE VALEUR APPROCHÉE DE π
5 3 d Résolution
Comment expliquez ce phénomène ?
6
Recherche d’une valeur approchée de π
Alexandre, Julie et Coralie passent l’après midi chez Coralie. Julie veut faire un gâteau
de semoule et Alexandre s’amuse avec Google Earth. Il montre à ses amies sur sa
tablette numérique le lycée Eiffel et le lac des Près du Hem d’Armentières.
Julie est surprise de la taille du lac :
« Quelle est son aire ? »
« Je ne sais pas ! »
C’est alors que Coralie renverse le paquet de semoule sur la photo (attention, ne pas
reproduire l’expérience !)
En regardant les dégâts, elle s’exclame :
« J’ai trouvé comment obtenir une bonne approximation de l’aire du lac ! . »
A quoi Coralie a-t-elle pensé ?
On se propose d’utiliser la même méthode pour trouver une valeur approchée du
nombre π (sans semoule !)
1. Dans un repère d’origine O, construire le carré de centre O, dont les côtés de
longueur 2 sont parallèles aux axes. (on pourra choisir 4 cm pour unité)
2. Construire le cercle de centre O et de rayon 1
3. En considérant les aires du disque et du carré, comment retrouver π ?
4. En utilisant la méthode de Coralie, proposer une méthode pour approcher π
25
5. Pour écrire l’algorithme qui simule le placement de points dans le carré, deux
questions :
(a) Comment placer un point au hasard dans le carré ?
(b) Comment vérifier si ce point est dans le cercle ou non ?
6. Écrire l’algorithme simulant le placement de n points dans le carré, vérifiant
leur appartenance ou non au disque, calculant les fréquences correspondantes et
affichant 4 fois celles-ci.
7. Écrire cet algorithme avec Algobox. On demandera au logiciel de construire les
points de couleur différents suivants qu’ils sont dans le disque ou à l’extérieur
du disque. Le faire tourner.
2
CHAPITRE
FONCTIONS-Parte
oane
CHAPITRE 2. FONCTIONS-PARTE OANE
1
27
Exemples de fonctions
1 1 Fonction définie par une courbe
Un capteur a relevé la température sous un abri, de façon continue entre 6h et 22h.
Le relevé est donné sous forme d’un graphique :
6
5
4
3
2
1
0
−1
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
−2
−3
−4
1. Indiquer la légende sur chacun des axes.
2. Donner la température à 8h, à 18h.
•
•
3. A quel moment de la journée, la température était-elle de 4°C, de 0°C ?
•
•
4. Comment la machine construit-elle le graphique ?
5. A quels moments de la journée, les relevés ont-ils été effectués ?
Résumé :
T:
Temps (h)
−→
Temprature (°C)
x
7−→
y
• x est un antécédent de y
• y est l’image de x
• se lit sur l’axe des abscisses
• se lit sur l’axe des ordonnées
28
2.1. EXEMPLES DE FONCTIONS
1 2 Fonction définie par un tableau de valeurs
Un parc d’attraction propose les tarifs suivants :
nombre de places achetées
1
2
3
4 et plus
prix unitaire en A
C
21
20
18,5
17
Ici le prix unitaire est une fonction du nombre de places achetées.
Quelles est la variables ? Quelles valeurs peut-elle prendre ?
La variable est le nombre de places achetées, elle peut prendre les valeurs 1 ;2 ;3 ;4 ;5
etc · · ·
On dit que l’ensemble {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;· · · } est l’ensemble de définition de la fonction.
P:
x
y
7−→
• nbre de places
• prix unitaire
Par lecture du tableau on peut en déduire des images ou des antécédents.
On peut représenter cette fonction à l’aide d’un graphique.
1 3 Fonction définie par un algorithme
On considère l’algorithme suivant :
• Choisir un nombre compis entre -2 et 4 inclus.
• Elever ce nombre au carré.
• soustraire 3 au résultat obtenu.
• Afficher le résultat.
1. Appliquer cet algorithme aux nombres 2 ; 4 ;
1
3
√
; 2 et x.
2. Déterminer en fonction de x l’expression de la fonction notée f associée à cet
algorithme.
3. En calculant des images compléter le tableau suivant :
x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
f (x)
4. On peut représenter cet fonction par une courbe appelée courbe représentative
de f .
29
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−2 −1
−1
1
2
3
4
−2
−3
2
vocabulaire
2 1 Définition
Définir une fonction sur un ensemble D c’est associer à chaque nombre x de D un
nombre y que l’on note f (x).
f : x
Définition 2 - 1
7−→
• x est la variable.
y = f (x)
f.
• x décrit D.
• x est un antécédent de y par f .
• D est l’ensemble de définition de
• f (x) est l’image de x par f .
2 2 Les intervalles de R
2 2 a Définition
Définition 2 - 2
R est l’ensemble des nombres réels représenté graphiquement par les abscisses de
tous les points d’une droite graduée.
Remarque
Parmis les nombres réels on retrouve les nombres entiers, décimaux et rationnels.
30
2.3. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION
2 2 b Notions d’intervalle
L’ensemble des nombres réels R peut se noter sous la forme d’un intervalle :
R =] − ∞; +∞[
On appelle intervalle de R l’un des cas suivants :
Soit a et b deux nombres réels tels que a < b.
Définition 2 - 3
L’intervalle noté
est l’ensemble des
nombres réels qui
vérifient :
Il est représenté par
[a; b]
a6x6b
a
]a; b[
a<x<b
0 a
]a; b]
a<x6b
] − ∞; a]
x6a
]a; +∞]
a<x
0
b
b
a
b
0
0
0
a
a
2 2 c Réunion d’intervalles
Soient I et J deux intervalles de R, on appelle réunion des intervalles I et J et on
note I ∪ J l’ensemble des nombres réels qui appartiennent à I ou J.
Définition 2 - 4
0
I
J
x ∈]3; 5[∪[7; 10] signifie 3 < x < 5 ou 7 6 x 6 10.
Exemple
0
3
3
5
7
10
Représentation graphique d’une fonction
Définition 2 - 5
Soit f une fonction définie sur un ensemble I et (O, I, J) un repère du plan.
La représentation graphique de la fonction f est l’ensemble des points M du plan
de coordonnées (x, y) avec x ∈ I et y = f (x).
Cet ensemble est souvent noté Cf .
On réalise donc un tableau de valeurs pour placer des points.
31
images
f (x)
b
x; f (x)
J
O
antécédents
Exemple
4
x
I
Représenter graphiquement sur [−5; 2] la fonction f définie par f (x) = x2 − 2x − 3.
Lire graphiquement une image, un antécédent
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Cf
Lecture graphique
des antécédents de 5
~
−2
5
−1
0
−1
−2
−3
−4
~ı
1
2
3
4
5
Lecture graphique
de l’image de 2
Résolution graphique d’équations et d’inéquations
5 1 Equation f (x) = k
On a tracé ci-dessous la courbe d’une fonction f .
32
2.5. RÉSOLUTION GRAPHIQUE D’ÉQUATIONS ET D’INÉQUATIONS
×
Quel est son ensemble de définition ?
5
×
4
× 3
2
×1
×
×
−5 −4 −3 −2 −1
×
1 2 3 4 5
×
−2
−3
Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles
f (x) = 1 ?
Résoudre graphiquement les équations :
1. f (x) = 4
2. f (x) = 0
3. f (x) = −3
5 2 Inéquation f (x) ≤ k, f (x) > k . . .
×
f (x) ≥ 3 ?
5
×
4
× 3
2
×1
×
×
−5 −4 −3 −2 −1
×
1 2 3 4 5
×
−2
−3
Résoudre graphiquement les inéquations
:
1. f (x) < 1
2. f (x) ≤ −3
3. f (x) ≥ 0
5 3 Equation f (x) = g(x), inéquation f (x) ≤ g(x). . .
×
f (x) = g(x) ?
5
×
4
× 3
2
×1
×
×
−5 −4 −3 −2 −1
−2
−3
f (x) ≤ g(x) ?
×
1 2 3 4 5
×
Résoudre graphiquement l’inéquation
f (x) > g(x).
On a tracé en pointillés la courbe représentative d’une fonction g définie sur R.
3
CHAPITRE
Repérage dans le
plan
34
3.1. REPÉRAGE DANS LE PLAN
1
Repérage dans le plan
1 1 Notion de repère
Repère
Définition 3 - 1
Soient O, I, J trois points distincts et non alignés du plan. Ces trois points définissent deux directions, les droites (OI) et (OJ), et deux unités, les distances OI et
OJ. Le triplet (O, I, J) constitue alors un repère cartésien du plan.
• le point O est appelé origine du repère ;
• la droite (OI) est appelée axe des abscisses ;
• la droite (OJ) est appelée axe des ordonnées.
Repère orthogonal - Orthonormal
Définition 3 - 2
Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors le repère est dit orthogonal.
Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et si en plus OI=OJ, alors le repère
est dit orthonormal.
J
b
J
b
I
J
b
b
O
O
Repère quelconque
I
Repère orthogonal
b
b
O
I
Repère orthonormé
1 2 Coordonnées de points
Coordonnée dun point
Définition 3 - 3
Dans un repère, tout point M du plan est repéré par un couple de nombres réels
(x, y) qu’on appelle ses coordonnées.
Le nombre x est l’abscisse du point M. On le note souvent xM .
Le nombre y est l’ordonnée du point M. On le note souvent yM .
On note M(xM ; yM ).
1. Lire les coordonnées de A, B, I, J
et O.
2
1
b
Exemple
b
b
−3 −2 −1
−1
−2
A
J
O
b
I
1
b
2. Placer les points C(−2; 1) et
D(−3; −2)
2
3
4
B
CHAPITRE 3. REPÉRAGE DANS LE PLAN
Remarque
2
35
On écrit toujours l’abscisse en premier et l’ordonnée en second. Sur la figure, on
peut voir que le point repéré par les coordonnées (−2, 1), qui est le point C, n’est
pas le même que le point repéré par les coordonnées (1, −2), qui est le point B.
Milieu d’un segment
2 1 Exemple
Sur le graphique précédent placer les points K et L milieux respectifs des segments
[AB] et [CD]. Lire leur coordonnées.
Existe-t-il un lien entre les coordonnées de K et celles de [AB] ?
2 2 Propriété
Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété 3 - 1
Exemple
Dans le plan muni d’un repère quelconque (O, I, J), on considère les points
A(xA ; yA ), et B(xB ; yB ) Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :
x + xB yA + yB
I A
;
2
2
Soit R(5; 7) et S(3; 9). Les coordonnées du point I milieu de [RS] sont
x + xS yR + yS
I R
;
2
2
5+3 7+9
;
I
2
2
I(4; 8)
Remarque
Le milieu du segment [AB] est en quelque sorte la moyenne des deux points. Ses
coordonnées sont les moyennes des coordonnées des extrémités du segment.
2 3 Applications
Exemple
Dans un repère (O, I, J) on place les points D(−2; 1), E(3; 3), F(1; −1) et G(−4; −3).
Quelle est la nature du quadrilatère DEFG?
Exemple
Soit A(−3; 4) et B(2; 1). Calculer les coordonnées de A0 symétrique de A par rapport
à B.
36
3.3. DISTANCE ENTRE DEUX POINTS
2 4 Avec un algorithme
Algorithme 1 : Milieu d’un segment.
Variables : xA , yA , xB , yB , xI , yI
Entrées : xA , yA , xB , yB
Traitement
xI ← xA 2+xB
y +y
yI ← A 2 B
Fin
Sorties : On affiche les valeurs de xI et de yI
3
Distance entre deux points
3 1 Exemple
Soit A(2; 3) et B(5; 4). Calculer la distance AB.
3 2 Théorème
Longueur d’un segment
Théorème 3 - 1
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points
A(xA ; yA ), et B(xB ; yB ) La longueur du segment [AB] est
q
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
Démonstration.
On suppose pour simplifier la démonstration que xB > xA > 0 et yB > yA > 0.
Considérons le point C de coordonnées
(xA ; yB ). Le repère étant orthonormé, le
triangle ABC est alors rectangle en C,
et il est clair que les côtés [AC] et [BC]
vérifient AC = xB − xA et BC = yB − yA .
Or d’après la théorème de Pythagore, on
sait que AB2 = AC2 + BC2 . On en déduit
2
2
2
que AB
p = (xB − xA ) + (yB − yA ) et donc
2
2
AB = (xB − xA ) + (yB − yA ) .
Exemple
A
b
b
b
B
J
b
O
Dans un repère orthonormé, soient R(5; 7) et S(3; 9).
La distance RS est égale à :
q
RS =
(xS − xR )2 + (yS − yR )2
q
RS =
(3 − 5)2 + (9 − 7)2
q
RS =
(−2)2 + (2)2
√
RS =
8
√
RS = 2 2
C
b
b
I
CHAPITRE 3. REPÉRAGE DANS LE PLAN
37
3 3 Avec un algorithme
Algorithme 2 : Distance AB.
Variables : xA , yA , xB , yB , D
Entrées : xA , yA , xB , yB
Traitement
p
D ← (xB − xA )2 + (yB − yA )2
Fin
Sorties : On affiche la valeur de D
Et la procédure pour le programmer dans votre calculatrice :
Casio Graph 35
TI-82 Stats.fr
Préparation :
Appuyer sur "programme" PRGM
Préparation :
Appuyer sur "Menu" MENU
Sélectionner "nouveau" NOUV
Donner un nom au programme : DISTANCE
Sélectionner "Programme" PRGM
Saisie :
:Input ”XA = ”, X
:Input ”YA = ”, Y
:Input ”XB = ”, Z
:Input ”YB = ”, T
√
.((Z − X) ∧ 2 + (T − Y) ∧ 2) → D
Disp ”D = ”, D
Utilisation :
Sélectionner "Exécuter" EXEC
Sélectionner le programme
Entrer les données ... et laisser faire ...
Exemple
Sélectionner "nouveau" NEW
Donner un nom au programme : DISTANCE
Saisie :
”XA” : ? → X ↵
”YA” : ? → Y ↵
”XB” : ? → Z ↵
”YB” : ? → T ↵
√
.((Z − X) ∧ 2 + (T − Y) ∧ 2) → D ↵
”D = ” : D
Utilisation :
Sélectionner le programme
Entrer les données ... et laisser faire ...
Étant donnés les points A(2; 6), B(2; 1) et C(6; 3). Vérifier à l’aide de votre programme que ABC est isocèle.
3 4 Applications
Soit A(−2; 1), B(2; 2) et C(−1; −3)
Exemple
1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit à ABC.
Soit Ω(−2; 3) et A(−4; 8). On note C le cercle de centre Ω et de rayon [ΩA].
Exemple
1. Calculer le rayon de C .
2. Les points B(−7; 4) et C(−4; 8) appartiennent-ils à C .
4
CHAPITRE
Études statistiques
CHAPITRE 4. ÉTUDES STATISTIQUES
39
• Faire des statistiques, c’est recueillir, organiser, synthétiser, représenter et exploiter des données, numériques ou non, dans un but de comparaison, de prévision,
de constat...
• Les plus gros « consommateurs » de statistiques sont les assureurs (risques d’accidents, de maladie des assurés), les médecins (épidémiologie), les démographes
(populations et leur dynamique), les économistes (emploi, conjoncture économique), les météorologues . . .
1
Etude statistique
1 1 Vocabulaire
La population est l’ensemble des individus sur lesquels portent l’étude statistique.
(Par exemple classe de seconde, habitants de la France . . .)
Le caractère (ou variable) d’une série statistique est une propriété étudiée sur chaque
individu :
í Lorsque le caractère ne prend que des valeurs (ou modalités) numériques, il est
quantitatif :
• discret s’il ne peut prendre que des valeurs isolées (notes, âge . . .)
• continu dans le cas contraire (poids, taille . . .). Dans ce cas on effectue
souvent un regroupement des valeurs par classes.
í Sinon, on dit qu’il est qualitatif (couleur des yeux, sport pratiqué . . .) : les modalités ne sont pas des nombres.
1 2 Effectif, fréquence
Voici les notes obtenues à un contrôle dans une classe de 30 élèves : (Série A :)
2 − 3 − 3 − 4 − 5 − 6 − 6 − 7 − 7 − 7 − 8 − 8 − 8 − 8 − 8 − 9 − 9 − 9 − 9 − 9 − 9 − 10 − 10 −
11 − 11 − 11 − 13 − 13 − 15 − 16
Exemple
Représenter cette série par un tableau d’effectifs, et calculer les fréquences
(arrondir à 0,1 près) :
Notes
total
Effectif
Fréquence
On peut regrouper les valeurs de cette série en classes d’amplitude 4 :
Notes
[0; 4[
Effectif
Fréquence en %
La fréquence d’une valeur est égale à :
Définition 4 - 1
l0 effectif de la valeur
.
effectif total
Pour l’exprimer en pourcentage, on multiplie par 100.
total
40
4.2. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE SÉRIE STATISTIQUE
La somme des fréquences est égale à 1. La somme des fréquences exprimées en
pourcentages est égale à 100 %.
Remarque
2
Représentation graphique d’une série statistique
2 1 Nuage de points
Effectifs
b
6
b
5
4
b
3
b
2
b
1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Notes
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Notes
2 2 Diagramme en bâton
Effectifs
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
2 3 Histogramme
Lorsque le caractère étudié est quantitatif, et lorsque les valeurs sont regroupées en
classes, on peut représenter la série par un histogramme : l’aire de chaque rectangle
est alors proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) associée à chaque classe.
41
Exemple d’un histogramme représentant la répartition des salaires dans une
entreprise, les classes n’ayant pas la même amplitude :
5 salariés
Exemple
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
On obtient le tableau suivant :
Salaires
Effectif
Remarque
Lorsque les classes ont la même amplitude, c’est la hauteur qui est proportionnelle
à l’effectif.
Construire l’histogramme de la série A, dont les valeurs sont regroupées par classes :
1 note
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Notes
2 4 Diagramme circulaire
Lorsque le caractère est qualitatif, on représente souvent la série par un diagramme
circulaire ou semi-circulaire ("camemberts") : l’angle de chaque secteur angulaire est
proportionnel à l’effectif associé (ainsi qu’à la fréquence).
42
4.3. CARACTÉRISTIQUES D’UNE SÉRIE.
Exemple
Voici le diagramme circulaire représen- Tennis : 25%
tant la répartition des adhérents à un
club sportif :
Sachant que ce club compte 240 adhérents, combien d’adhérents jouent au
tennis ?
Quel est l’angle du secteur représentant
les joueurs de foot ?
Handball : 16,7%
Football :
3
%
Caractéristiques d’une série.
3 1 Mesures de position
3 1 a La moyenne
Calculer la moyenne de la série A :
Exemple
Notes
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
15
16
total
Effectif
1
2
1
1
2
3
5
6
2
3
2
1
1
30
0, 03
0, 07
0, 03
0, 03
0, 07
0, 10
0, 17
0, 20
0, 07
0, 10
0, 07
0, 03
0, 03
1
Fréquence
m=
Définition 4 - 2
2 × 1 + 3 × 2 + · · · + 16 × 1 254
=
≈ 8, 47
30
30
Soit une série statistique à caractère quantitatif, dont les p valeurs sont données
par x1 , x2 , . . ., xp d’effectifs associés n1 , n2 , . . ., np avec n1 + n2 + ... + np = N (effectif
total).
La moyenne pondérée de cette série est le nombre noté x qui vaut :
x=
n1 x1 + n2 x2 + ... + np xp
n1 + n2 + ... + np
p
=
1X
n i xi .
N
i=1
ä On peut aussi calculer une moyenne à partir des fréquences :
ä Lorsque la série est regroupée en classes, on calcule la moyenne en prenant
pour valeurs xi le centre de chaque classe ; ce centre est obtenu en faisant
la moyenne des deux extrémités de la classe.
Remarque
Notes
[0; 4[
[4; 8[
[ 8 ; 12 [
[ 12 ; 16 [
[ 16 ; 20 [
3
7
16
3
1
Centres des classes
Effectif
Si on regroupe par classe d’amplitude 4, une estimation de la moyenne est :
m=
2, 5 × 4 + 7.5 × 17 + · · · + 17, 5 × 2 260
=
≈ 8, 67.
30
30
43
3 1 b La médiane
On divise la série en deux groupes de même effectif.
Soit une série statistique ordonnée dont les n valeurs sont x1 6 x2 6 x3 6 · · · 6 xn .
La médiane est un nombre M qui permet de diviser cette série en deux sousgroupes de même effectif.
Définition 4 - 3
ä Si n est impair, n est la valeur de cette série qui est située au milieu.
ä Si n est pair, n est le centre l’intervalle médian, qui est l’intervalle formé par
les deux nombres
situés « au milieu » de la série.
Ô La médiane de la série « 2 − 5 − 6 − 8 − 9 − 9 − 10 » est 8.
Exemple
Ô La médiane de la série « 2 − 5 − 6 − 8 − 9 − 9 » est 7.
Ô La médiane de la série « 2 − 5 − 6 − 6 − 9 − 10 » est 6.
Exemple
Déterminer la médiane de la série A.
3 1 c Quartiles
On divise la série en quatre groupes d’effectifs égaux (ou presque).
Définition 4 - 4
Exemple
Le premier quartile d’une série statistique est la plus petite valeur Q1 telle qu’au
moins un quart des valeurs sont inférieures ou égales à Q1 .
Le troisième quartile d’une série statistique est la plus petite valeur Q3 telle
qu’au moins trois quarts des valeurs sont inférieures ou égales à Q3 .
Déterminer les quartiles de la série A.
3 2 Mesures de dispersion
3 2 a Etendue
Définition 4 - 5
Exemple
On appelle étendue d’une série l’écart entre les deux valeurs extrêmes de la série.
L’étendue de la série A est de E(A) = 16 − 2 = 14.
3 2 b Intervalle inter-quartiles
Définition 4 - 6
Exemple
On appelle intervalle inter-quartiles l’intervalle [ Q1 ; Q3 ].
L’amplitude de cet intervalle est appelée écart inter-quartiles.
Dans la série A, l’intervalle inter-quartile est l’intervalle [ 7 ; 10 ], l’écart interquartiles vaut 10 − 7 = 3.
44
4.4. EFFECTIFS ET FRÉQUENCES CUMULÉS
4
Effectifs et fréquences cumulés
4 1 Définitions
Quand les valeurs d’un caractère quantitatif sont rangées dans l’ordre croissant,
Définition 4 - 7
• L’effectif cumulé croissant ( respectivement décroissant ) d’une valeur est
la somme des effectifs des valeurs inférieures ( respectivement supérieures )
ou égales à cette valeur,
• la fréquence cumulée croissante ( respectivement décroissante ) d’une
valeur est la somme des fréquences des valeurs inférieures ( respectivement
supérieures ) ou égales à cette valeur.
Pour l’exemple de la série A de notes, calculer les effectifs cumulés croissants :
Notes
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
15
16
Effectif
1
2
1
1
2
3
5
6
2
3
2
1
1
Effectif cumulé croissant
Remarque
Ce tableau permet de retrouver la médiane et les quartiles de la série :
L’effectif étant de 30, on choisit la moyenne entre la 15e et la 16e note, lues dans la
ligne des E.C.C.
8+9
On obtient M =
= 8, 5.
2
Pour l’exemple de la série A dont les valeurs sont regroupées par classes, calculer les
fréquences cumulées :
Notes
[0; 4[
[4; 8[
[ 8 ; 12 [
[ 12 ; 16 [
[ 16 ; 20 ]
Effectif
3
7
16
3
1
Fréquence en %
Fréquence cumulée croissante en %
4 2 Courbe des fréquences cumulées
Enfin, lorsque le caractère étudié est quantitatif et lorsque les valeurs sont regroupées
en classes, on peut effectuer la courbe des fréquences cumulées (croissantes ou
décroissantes) appelée aussi polygone des fréquences cumulées.
Exemple
Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes et décroissante de la
série A, puis retrouver graphiquement une valeur approchée de la médiane de la
série.
45
Fréquences cumulées en %
100
b
b
F.c.d.
F.c.c.
b
b
80
b
60
50
40
b
b
20
b
b
b
0
5
4
8
Med ≈ 9, 3
12
16
Notes
Utilisation de la calculatrice
Les calculatrices savent calculer directement les paramètres statistiques habituels
(moyenne,médiane, quartiles . . .).
Pour cela, on entre les données dans une liste statistique et les effectifs ou les fréquences (s’il y en a) dans une autre, puis on lance les calculs statistiques à une variable
en précisant à la machine dans quelle liste sont les données et dans quelle liste sont
les effectifs. La machine affiche alors simultanément tous les paramètres statistiques.
Attention : Les quartiles donnés par la calculatrice ne correspondent pas exactement
à ceux du cours.
Pour les « TI »
Pour les « casio GRAPH 35+ »
Entrée de la série : Appuyer sur la touche
STAT, puis sur 1 :EDIT. Dans la colonne
L1, saisir les valeurs de la série et dans
la colonne L2 les effectifs correspondants.
Appuyer à nouveau sur STAT.
Entrée de la série : Sélectionner le menu (2)
STAT et entrer dans la colonne LIST1 les
valeurs de la série, puis dans la colonne
LIST2 les effectifs correspondants.
Obtention des paramètres :
• Sélectionner l’onglet CALC (avec la
flèche droite) et appuyer sur la
touche 1 :1-VarStats. Appuyer sur
2ND puis 1 pour afficher L1, puis
,2ND 2 pour afficher L2 (ne pas oublier la « , » entre L1 et L2)
• Appuyer sur ENTER pour obtenir les
paramètres : x (moyenne), Q1 , Med,
Q3 etc . . ..
Exemple
Obtention des paramètres :
• Appuyer sur F2(CALC), puis sur
F6(SET) (ou F4 sur la graph25).
• Sur la ligne 1VAR XLIST, indiquer
LIST1 avec les touches de fonctions ;
sur la ligne 1VAR FREQ, indiquer
LIST2. Terminer en appuyant sur
EXIT.
• En appuyant sur la touche de fonction correspondant à 1VAR, (F1) on
obtient les paramètres de la série :
x (moyenne), Q1 , Med, Q3 etc . . ..
Déterminez, à l’aide de la calculatrice, la moyenne, l’effectif, l’étendue, la médiane
et les quartiles de chacune des séries statistiques suivantes :
1. 18 ; 25 ; 7 ; 9 ; 4 ; 13 ; 12 ; 11 ; 13 ; 15 ; 18 ; 19 ; 7 ; 9 ; 54
2.
données
5
9
10
11
13
effectifs
1
3
7
6
2
46
4.5. UTILISATION DE LA CALCULATRICE
3.
Modalité
[0; 2[
[2; 4[
[4; 6[
[6; 8[
Effectif
17
25
9
2
5
CHAPITRE
FONCTIONS-LE
RETOUR
48
5.1. ACTIVITÉ D’INTRODUCTION
1
Activité d’introduction
1 1 Exemple
Un capteur a relevé la température sous un abri, de façon continue entre 6h et 22h.
Le relevé est donné sous forme d’un graphique :
6
5
4
3
2
1
0
−1
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
−2
−3
−4
On considère la fonction f , qui à chaque instant x associe la température en degrés.
1. Indiquer la légende sur les axes.
Quelle est la variable ? L’ensemble de définition de f ?
2. Décrire l’évolution de la température au cours de la journée.
3. (a) Au cours de cette journée, quelle a été la température maximale ?
A quelle heure ?
(b) Au cours de cette journée, quelle a été la température minimale ?
A quelle heure ?
1. La variable est le temps. L’ensemble de définition de f est [6; 22].
2. La température décroit de 6h à 8h, puis elle croit de 8h à 15h, puis elle décroit
de jusqu’à 22h.
On dit que la fonction f est croissante sur [6; 8] et décroisssante sur [8; 15] ∪
[15; 22].
On peut résumer ses variations dans le tableau suivant appelé tableau de variations de f
x
Variations de
g
6
8
22
6
−2
−3
4.
15
−2
(a) La température maximale était 6˚à 15h, On dit que le maximum de f est 6
atteint en 15.
(b) La température minimale était -3˚à 8h, On dit que le minimum de f est -3
atteint en 8.
CHAPITRE 5. FONCTIONS-LE RETOUR
49
1 2 Synthèse du vocabulaire utilisé
Voici la courbe d’une fonction f .
4
Cf
1. Déterminer l’ensemble de définition
de f .
3
2
2. Enoncer les variations de f .
1
3. Dresser le tableau de variation de f .
4. Déterminer le minimum et le maximum de f et préciser en quelles valeurs ils sont atteints.
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
−4
−5
1. L’ensemble de définition de f est [−5; 7].
2. f est croissante sur [−5; −3] ∪ [2; 5] et décroissante sur [−3; 2] ∪ [5; 7] son tableau
de variation est :
x
−5
−3
5
2
2
−1
Variations de
f
−4
7
0
−4
3. Le maximum de f sur [−5; 7] est 2 atteint en 5
Le minimum de f sur [−5; 7] est -4 atteint en -5 et 2.
2
Sens de variation d’une fonction
2 1 Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que :
Cette fonction est strictement croissante sur I si « f conserve l’ordre » sur cet
intervalle.
y
f (x)
f (b)
Définition 5 - 1
Pour tout a et b de I, si a < b alors f (a) < f (b).
f (a)
a b
x
7
50
5.2. SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION
Cette fonction est strictement décroissante sur I si « f inverse l’ordre » sur cet
intervalle.
y
f (a)
Définition 5 - 2
Pour tout a et b de I, si a < b alors f (a) > f (b).
f (b)
x
f (x)
a b
Définition 5 - 3
On dit qu’une fonction est strictement monotone sur I si elle est soit strictement
croissante soit strictement décroissante sur I.
2 2 Exemples
Une fonction f est strictement croissante sur ] − ∞; 4] et strictement décroissante
sur ]4; +∞[.
Comparer :
Exemple
1. f (−2) et f (3).
2. f (2, 7) et f (−1, 52).
3. f (6, 7) et f (8, 2).
Le tableau de variation d’une fonction g est donné ci-dessous.
x
−4
−1
2
3
5
1
Variations de
g
−2
Exemple
−6
1. Comparer si possible :
(a) g(−2, 1) et g(−3, 4).
(b) g(1, 5) et g(−0, 5).
(c) g(−0, 5) et g(2, 4).
2. Encadrer g(x) sur chacun des intervalles [−4; −1], [−1; 2] et [2; 3].
CHAPITRE 5. FONCTIONS-LE RETOUR
3
51
Extremum d’une fonction
3 1 Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que :
• le maximum de f sur I est M atteint en a si
pour tout x de I on a f (x) 6 M et
M = f (a).
• le minimum de f sur I est m atteint en a si
pour tout x de I on a f (x) > m et
m = f (a)
y
y
f (a) = M
Définition 5 - 4
a
x
3 2 Exemple
Soit f définie sur R par f (x) = (x − 1)2 − 3.
Exemple
1. Tracer la courbe de f sur la calculatrice.
2. f admet-elle un extremum sur R ?
3. Démontrer le résultat précédent.
f (a) = m
x
a
6
CHAPITRE
Les vecteurs
CHAPITRE 6. LES VECTEURS
1
53
Translation et vecteur
1 1 Activités d’introduction
1 1 a Activité 1
On considère A et B deux points du plan.
Nous allons découvrir une nouvelle transformation du plan transformant A en B,
appelée translation.
Pour transformer un point M en son image M0 , on applique l’algorithme suivant :
Algorithme : Translation
Entrées : Un point M du plan
Traitement
Construire le milieu I de [BM] ;
Construire le point M0 tel que I soit aussi le
milieu de [AM0 ].
Fin
Sorties : le point M’
1. Construire ci-contre le point M0 ,
image de M par la translation.
Que peut-on dire du quadrilatère
AMBM0 ?
2. Construire de même le point N 0 ,
image de N par la translation.
3. Tracer en rouge les flèches allant de
A vers B, de M vers M0 et de N vers
N0 .
Que remarque-t-on ?
b
M
b
B
b
A
b
N
1 1 b Activité 2
La figure ci-dessous représente un pavage : c’est un motif qui recouvre entièrement
une surface. Ici, le pavage est constitué d’un unique motif : un poisson.
1. Représenter sur la figure le vecteur
u
~ de la translation qui transforme le
poisson 21 en 22.
47
55
40
48
33
41
2. De même pour celle de vecteur v~
transformant le poisson 22 en 42.
34
42
27
3. On enchaîne maitenant les deux
translations et on note u
~ + v~ le vecteur de la translation transformant
le poisson 21 en 42.
Représenter u
~ + v~ et en déduire
une méthode de construction de la
somme de deux vecteurs.
35
20
28
21
29
14
22
7
15
8
1
-6
16
9
54
6.1. TRANSLATION ET VECTEUR
1 2 Définitions
Définition 6 - 1
• Soient A et B deux points distincts du plan.
A tout point M du plan, on associe le point M0 tel que ABM0 M soit un
parallélogramme.
#»
Ce point M0 est appelé image de M par la translation de vecteurs AB
Tous les couples (M; M0 ) ainsi obtenus représentent le même vecteur du
plan.
#» # » # »
On note u
~ = AB = MM0 = PP0 = . . . .
• Si A et B sont confondus, le vecteur obtenu est le vecteur nul.
# » #» # »
On note ~0 = AA = BB = MM = . . . .
b
b
b
B
u
~
M′
b
u
~
N′
u
~
P′
b
N
u
~
b
M
b
b
A
P
1 3 Caractérisation d’un vecteur
#»
Si u
~ est un vecteur non nul du plan et AB un représentant du vecteur u
~ , alors u
~ est
caractérisé par :
• sa direction, celle de (AB),
• son sens celui de A vers B,
# »
• sa norme ou sa longueur notée AB.
1 4 Vecteurs égaux
Propriété 6 - 1
• Des vecteurs sont égaux si et seulement
si ils ont la même direction, le même
sens et la même norme.
#»
# »
• Deux vecteurs AB et CD du plan sont
égaux si et seulement si ABDC est un
parallélogramme.
B
b
A
b
b
b
C
D
2
55
Vecteurs et coordonnées
2 1 Exemples
Exemple
Dans un repère orthogonal on place les
points A(1; 2) et B(4; 6) et on trace le vecteur
#»
AB.
Comment peut-on lire les coordonnées du
#»
vecteur AB ?
5
4
3
2
1
−1
Exemple
1 2 3 4 5
4
3
2
v~
1
Lire les coordonnées des vecteurs représentés
ci-contre.
−4 −3 −2 −1
u
~
1 2 3
w
~
−2
−3
#»
2 2 Coordonnées du vecteur AB
Propriété 6 - 2
Exemple
Dans un repère (O, I, J), on considère
A(xA ; yA ), et B(xB ; yB )
 les points



#»
x − xA 
.
Alors les coordonnées de AB sont  B

yB − yA
Placer dans un repère les points M(−3, −1),
N(2; −4) et R(4; 3)
# »
Calculer les coordonnées des vecteurs MN ;
# » # » # »
RN ; ON et MM.
4
3
2
1
−3 −2 −1
1 2 3 4
−2
−3
2 3 Vecteur nul
Définition 6 - 2
 
0
#»
On appelle vecteur nul et on note 0 le vecteur de coordonnées  
0
56
6.2. VECTEURS ET COORDONNÉES
2 4 Vecteurs égaux
   
x x0 
Soient u
~  , v~   deux vecteurs et leurs coordonnées dans un repère.
y
y0
Propriété 6 - 3
• Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont
u
~ = v~ ⇐⇒ x = x0 et y = y 0
Exemple
Exemple
 


5
 5x 



.
Soient v~   et w
~ 

3
x+y
Déterminer x et y pour que v~ = w.
~
6
5
4
3
2
1
Soit P(−1; 6), démontrer que MNRP est un
parallèlogramme
−3 −2 −1
1 2 3 4
−2
−3
−4
Exemple
Soit A(2; 2), B(2; −1) et C(6; 1). Déterminer les
coordonneés du point D tel que ABCD est un
parallèlogramme.
6
5
4
3
2
1
−1
1 2 3 4 5 6
2 5 Milieu d’un segment
Propriété 6 - 4
# » #»
Soit A, B et I trois points alors I est le milieu de [AB] si et seulement si AI = IB.
3
57
Somme de deux vecteurs
3 1 Exemple
Exemple
 
 
3
 2 
#»
#»


Soit u   , v   et A(1; 4).
1
−4
Placer A dans un repère et construire le point
B image de A par t #»
u.
Construire le point C image de B par t #»
v.
#» + #»
En déduire le vecteur noté u
v de la translation qui transforme A en C.
5
4
3
2
1
−1
1 2 3 4 5 6
3 2 Addition vectorielle
Définition 6 - 3
#» et
En enchainant la translation de vecteur u
#»
celle de vecteur v on obtient une nouvelle
#» + #»
translation dont le vecteur est noté u
v.
v~
u
~
Relation de Chasles
Propriété 6 - 5
Propriété 6 - 6
Pour tout point A, B et C du plan on a :
#» #» # »
AB + BC = AC.
 
 
x
x0 
#» et #»
#»   et #»
#» #»
 
Si dans un repère u
v ont pour coordonnées u
  v  0  alors u + v a pour
y
y


x + x0 
#» + #»

coordonnées u
v 

y + y0
Quels que soient les vecteurs u
~ , v~ et w
~ du plan, on a :
Propriété 6 - 7
Exemple
• u
~ + v~ = v~ + u
~ (commutativité) ;
• (~
u + v~) + w
~ =u
~ + (~
v + w)
~ (transitivité) ;
~
• u
~ +0 = u
~.
   
 
−1
 4  −2
#»
#»
#»




Soit u  , v   et w  .
−5
3
1
#» + #»
#» et u
#» + #»
#»
Calculer les coordonnées des vecteurs u
v , #»
v +w
v + w.
58
6.4. OPPOSÉ D’UN VECTEUR, DIFFÉRENCE DE 2 VECTEURS
u
~
A
v~
b
w
~
B
b
Exemple
C
b
D
b
Construire les points M, N, P et Q tels que :
−−−→ − →
• AM = →
u + −v
−−→ →
−
−
• BN = v +→
w
−−→ − →
• CP = →
w + −u
−−→ − →
−
• DQ = →
u + −v +→
w
On fera apparaître les traits de construction.
Compléter en utilisant la relation de Chasles.
Exemple
4
1.
2.
3.
4.
#» #»
AB + BD = . . .
#» # » # »
EF + FG + GH = . . .
#»
#»
EK + · · · = EL
# » # » # »
. . . C + C. . . = OP
# » #»
5. CA + LC = . . .
#» #» # »
6. PR + KP + MK = . . .
# » #» # »
7. IM + IJ + MC = . . .
Opposé d’un vecteur, différence de 2 vecteurs
4 1 Opposé d’un vecteur
#» #»
#»
AB et BA ont même direction, même norme mais son de sens opposé. On dit que BA
#»
est l’opposé du vecteur AB.
# » # » #»
#»
#»
De plus BA + AB = 0 on note donc BA = −AB.
Définition 6 - 4
#»
#» + #»
#» et on note #»
#».
Si u
v = 0 alors #»
v est l’opposé de u
v = −u
#»
#»
− u a la même norme et la même direction que u mais ils sont de sens contraire.
59
4 2 Différence de deux vecteurs
Définition 6 - 5
Exemple
#» − #»
#» + (− #»
Le vecteur u
v est défini par u
v ).
v~
# » #» #»
Construire le point M tel que AM = u
− v.
u
~
b
A
Simplifier en utilisant la relation de Chasles.
Exemple
#» #»
1. AB − CB = . . .
# » #» # »
2. −MK + PC − PM = . . .
#» # » # » # »
3. LB − LC + KC − KB = . . .
4 3 Coordonnées de −~
u et de u
~ − v~
Propriété 6 - 8
Exemple
5
 
 
x
x0 
#» et #»
#»   et #»
# » #» #»
 
Si dans un repère u
v ont pour coordonnées u
  v  0  alors −u et u − v
y
y
ont pour coordonnées :

 

x − x0 
 
#» + #»
#−u
» −x et u


v 

 
0
y −y
−y
   
 
 3  7
 5 
#»
#»
#»




Soit u  , v   et w  .
−2
1
−4
#» − #»
#» et − u
#» + #»
#»
Calculer les coordonnées des vecteurs u
v , #»
v −w
v − w.
Calcul de distance, de norme
Propriété 6 - 9
Dans le repère orthonormé (O, I, J), on
 considère les points
x
A(xA ; yA ), et B(xB ; yB ) et le vecteur u
~  . Alors :
y
p
• La distance AB vaut AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
p
• La norme de u
~ vaut k~
u k = x2 + y 2
60
6.5. CALCUL DE DISTANCE, DE NORME
Exemple
Soient M(2, 1), N(5, 2) et P(6, 5).
Déterminer les coordonnées de R pour que
MNPR soit un parallélogramme.
Quelle est sa particularité ?
5
4
3
2
1
−1
1 2 3 4 5
7
CHAPITRE
Probabilités
62
7.1. EPREUVE ALÉATOIRE
1
Epreuve aléatoire
Lors d’un jeu télévisé, les candidats font tourner cette roue :
200
B an
qu e
50
500
rou
te
200
200
0
50
• Il s’agit d’un jeu où le hasard intervient mais dont on peut prévoir les
résultats : on dit qu’il s’agit d’une épreuve aléatoire.
Exemple
• Les résultats possibles sont appelés issues et l’ensemble de toutes les isssues
est appelé univers, il est noté Ω.
Dans cet exemple, Ω=
• Un événement est une partie de l’univers, par exemple :
– A : « Ne rien gagner » A =
– C : « Gagner plus de 100 A
C» C=
– D : « Le résultat est un nombre inférieur à 400 » D =
• Lorsqu’un événement ne comporte qu’une seule issue, on dit que c’est un
événement élémentaire, par exemple :
– B : « Tomber sur banqueroute »
– E :«
• L’univers Ω est appelé événement certain et l’ensemble vide ∅ est appelé
événement impossible.
CHAPITRE 7. PROBABILITÉS
2
63
Probabilités
2 1 Loi des grands nombres
Propriété 7 - 1
Si on répète une expérience aléatoire d’univers Ω = {x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xr } un grand
nombre n de fois, alors la fréquence de réalisation de toute issue xi se stabilise
autour d’un nombre noté P(xi ) appelé probabilité de cet événement.
Exemple
On jette un dé à six faces non truqué. Si le nombre de lancers devient grand, les
fréquences se stabilisent autour de 16 qui est la probabilité d’apparition de chaque
face.
2 2 Loi de probabilité
Définition 7 - 1
On considère une expérience aléatoire d’univers Ω constitué de r issues xi pour i
allant de 1 à r, Ω = {x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xr }.
Une Loi de probabilité sur Ω est une fonction qui à toute éventualité xi de l’univers
des possibles Ω associe un nombre réel positif pi de telle manière que p1 + p2 +
. . . + pr = 1.
On a " chance sur
" de gagner 500A
C. On dit que la probabilité de gagner
500A
C est
On peut ainsi associer à chaque événement élémentaire une probabilité :
Exemple
issue xi
probabilité pi
2 3 Probabilité d’un événement
• Pour tout événement A, on a 0 6 P(A) 6 1 ;
Propriété 7 - 2
• la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui
le réalise ;
• P(∅) = 0 ;
• P(Ω) = 1 ;
du jeu télévisé
Exemple
P(A) =
P(C) =
P(D) =
64
7.3. ÉQUIPROBABILITÉ
3
Équiprobabilité
On lance un dé à six faces équilibré. Ω =
La loi de probabilité est :
Exemple
issue xi
probabilité pi
On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque
Lorsque les r issues d’une expérience aléatoire ont la même probabilité p de se
réaliser, on parle de loi équirépartie ou de situation d’équiprobabilité. On a alors
Définition 7 - 2
p=
1
r
cas d’une loi équirépartie
Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un événement A est :
Propriété 7 - 3
P(A) =
nombre d’issues favorables à A
nombre d’issues possibles dans Ω
La tableau suivant montre la répartition des personnels d’une usine :
Exemple
Cadres
Ouvriers
Total
Hommes
100
200
300
Femmes
50
150
200
Total
150
350
500
On rencontre une personne au hasard. On note H l’événement « la personne
rencontrée est un homme » et C l’événement « la personne rencontrée est un
cadre ».
Déterminer P(H) et P(C).
CHAPITRE 7. PROBABILITÉS
4
65
Événement contraire, intersection et réunion d’événements
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
On note T :« La carte est un trèfle. », F :« La carte est une figure. » et R :« La carte est
un rouge ».
1. On note T l’événement contraire de T. Représenter à l’aide d’un diagramme T
et T et calculer P(T) et P(T)
Ω
P(T) =
P(T) =
T
T
2. On appelle intersection des événements T et F, notée T ∩ F, l’événement : « T et
F se produisent en même temps ».
Représenter à l’aide d’un diagramme T ∩ F et calculer P(T ∩ F)
Ω
F
T ∩F
T
3. On appelle réunion des événements T et F, notée T ∪ F, l’événement :« T ou F
se produit ou les deux ».
Représenter à l’aide d’un diagramme T ∪ F et calculer P(T ∪ F)
Ω
T ∪F
4. Calculer P(T) et P(F). Comment peut-on retrouver P(T ∪ F) ?
5. Déterminer l’ensemble T ∩ R et calculer P(T ∩ R).
• Pour tout événement A, P(A) = 1 − P(A)
Propriété 7 - 4
• Pour tous événements A et B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Si A et B sont incompatibles alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
66
7.5. UTILISATION D’UN DIAGRAMME,D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE
5
Utilisation d’un diagramme,d’un tableau ou d’un arbre
5 1 Utilisation d’un diagramme
Une classe de première compte 28 elèves. 12 d’entre eux pratiquent la natation, 7 le
volley-ball et 13 ne pratiquent ni la natation, ni le volley-ball.
On désigne au hasard un élève de la classe. Calculer la probabilité qu’il pratique :
1. les deux sports
2. l’un au moins des deux sports.
5 2 Utilisation d’un tableau
Dans une mercerie, le stock de pelotes à tricoter comporte trois qualités : pure laine,
laine mélangée et coton.
On s’intéresse aux couleurs écru et bleu, on constate qu’il y a au total 2 000 pelotes.
• La moitié de ces pelotes est en laine mélangée et 40 % des pelotes en laine
mélangée sont écrues.
• Il y a 1 200 pelotes écrues au total.
• 20 % des 2 000 pelotes sont en coton et il n’y a pas de coton bleu.
1. Complétez le tableau suivant :
pure laine
laine mélangée
coton
total
écru
bleu
total
2. Un enfant choisit au hasard une pelote parmi les 2 000 pelotes. Toutes les pelotes
ont la même probabilité d’être choisies.
On considère les événements suivants :
B : « la pelote est bleue » et L : « la pelote est en pure laine »
(a) Calculer P(B) et P(L).
(b) Définir par une phrase en français les événements B, B ∩ L et B ∪ L. Calculer
leurs probabilités.
5 3 Utilisation d’un arbre
Un paquet de 4 cartes contient un as de coeur, un roi de carreau, une dame de pique et
un valet de coeur. On tire une carte dans le paquet puis, sans la remettre, on en tire
une deuxième.
1. Représenter la situation par un arbre. Combien y a-t-il de tirages (de deux cartes)
possibles ?
2. Calculer la probabilité des événements suivants :
• A : Tirer une dame puis un roi.
• C : Tirer deux coeurs.
• B : Tirer deux figures masculines.
• D : Tirer deux cartes noires.
8
CHAPITRE
Intervalle de
fluctuation
68
8.1. UN EXEMPLE
1
Un exemple
Dans la classe de Seconde E pour l’année scolaire 2011–2012, il y avait 24 garçons et
10 filles, ce qui paraît disproportionné.
On peut se demander toutefois si, lorsqu’on choisit 34 élèves au hasard dans une population constituée d’une moitié de filles et d’une moitié de garçons, cette distribution
est rare.
1. Quelle était la fréquence des garçons dans la classe de Seconde E ?
2. Expliquer comment simuler le choix de 34 élèves au hasard dans une population
d’une moitié de filles et d’une moitié de garçons à l’aide de la fonction random
de la calculatrice.
3. Procéder à cette simulation en notant le nombre de filles et de garçons obtenus et
calculer la fréquence des garçons dans votre simulation (arrondie au centième).
4. Écrire cette fréquence au tableau et noter les résultats des simulations de la
classe dans le tableau ci-dessous :
5. Déterminer, pour cette série statistique :
(a) les valeurs extrêmes, les premier et troisième quartiles,la médiane et la
moyenne ;
(b) représenter le diagramme en boite correspondant ;
(c) déterminer l’intervalle interquartile et interpréter le résultat ;
6. D’après ces résultats, peut-il arriver que le hasard produise une distribution
comparable à celle de la Seconde E ? Si oui, est-ce fréquent ?
2
Loi des grands nombres et intervalle de fluctuation
Nous avons vu dans le chapitre de probabilité que, lorsque qu’on répète une expérience
aléatoire un grand nombre de fois, les différentes fréquences d’apparition ont tendance
à se stabiliser.
Ce constat est un résultat mathématique appelé La loi des grands nombres :
Loi des grands nombres
Théorème 8 - 1
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité, les
distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de
la loi de probabilité quand n devient grand.
Nous l’admettrons.
CHAPITRE 8. INTERVALLE DE FLUCTUATION
69
Les mathématiciens ont obtenu des règles assez précises sur la façon dont les fréquences se rapprochent de la probabilité et une première approximation de ces règles,
la seule au programme de la Seconde, est la suivante, qu’on admettra :
Intervalle de fluctuation en statistiques
Propriété 8 - 1
Dans une population, la proportion d’un caractère est p.
On produit un échantillon de taille n de cette population et on détermine la
fréquence f du caractère dans cet échantillon.
Si p est compris entre 0,2 et 0,8 et si n est supérieur
ou égal à 25, alors, dans
environ 95 % des cas, f appartient à l’intervalle p − √1n ; p + √1n , que l’on appelle
intervalle de fluctuation au seuil de 95 % (ou au risque de 5 %)
On peut aussi reformuler la propriété en termes de probabilités :
Intervalle de fluctuation en probabilité
Propriété 8 - 2
Soit une expérience aléatoire où la probabilité d’un évènement A est p. On reproduit cette expérience n fois et on détermine la fréquence f d’apparition de
l’évènement A.
Si p est compris entre 0,2 et 0,8 et si n est supérieur
ou égal à 25, alors, dans
environ 95 % des cas, f appartient à l’intervalle p − √1n ; p + √1n , que l’on appelle
intervalle de fluctuation au seuil de 95 % (ou au risque de 5 %)
On remarquera que plus n est grand et plus l’intervalle de fluctuation est petit.
En effet :
• avec n = 25, l’intervalle de fluctuation est de la forme [p − 0, 2 ; p + 0, 2]
(soit p ± 20%)
(soit p ± 10%)
(soit p ± 5%)
Remarque
(soit p ± 1%)
• etc.
Cela est cohérent avec la loi de grands nombres : plus n est grand et plus la
fréquence d’un évènement tend vers la probabilité de cet événement.
3
Retour à notre exemple d’introduction
Essayons de répondre à la question suivante :
« Dans le cas de la classe de Seconde E, peut-on avancer, au risque de 5 % de se tromper,
que l’échantillon (la classe) est représentatif d’une population (le lycée) comportant
une moitié de filles et d’une moitié de garçons ?
Et si ce n’est pas le cas, quelles peuvent être les raisons ? »
1.
(a) Dans notre population de référence, quelle est la valeur de p qu’on a supposée ?
(b) Quelle est la valeur de n ?
70
8.4. EXERCICES
(c) Déterminer alors l’intervalle de fluctuation correspondant à cette éxpérience.
(d) Quel pourcentage des fréquences obtenues par les simulations de la classe
appartient à cet intervalle ?
(e) Répondre à la question.
2. Et si notre supposition, pour p, était fausse ?
À l’administration du lycée, on pouvait obtenir l’information suivante : « Au
Lycée Gustave Eiffel, pour l’année scolaire 2011–2012, il y a en Seconde 214
élèves, dont 80 filles et 134 garçons ».
(a) Déterminer l’intervalle de fluctuation (toujours pour un échantillon de
taille 34).
(b) La fréquence des garçons de la Seconde E appartient-elle à cet intervalle ?
Qu’en conclure ?
4
Exercices
8 -1
Une urne contient 10 boules : cinq rouges, trois noires et deux blanches. On tire une
boule et on note sa couleur et on la remet dans l’urne.
1. Avec la table de nombres aléatoires entiers de 0 à 9 donnée ci-dessous, simuler
25 tirages en expliquant votre méthode.
6
9
3
0
7
0
4
3
1
6
1
5
8
8
2
9
7
3
9
5
1
7
2
7
5
3
6
5
1
3
0
7
1
2
7
3
3
4
7
1
3
6
5
7
0
4
1
8
9
4
7
9
7
6
0
4
5
9
3
7
3
0
0
6
9
5
4
1
2
1
1
5
3
1
1
4
8
5
4
3
2
7
1
0
2
7
0
7
4
6
0
9
7
5
5
1
8
7
9
4
2. Calculer les fréquences obtenues pour chaque couleur.
3. Déterminer pour chacune des couleurs l’intervalle de fluctuation pour un échantillon de taille 25.
Vos fréquences sont-elles dans ces intervalles ?
Conclure.
8 -2
D’après le site de l’IREM de Paris 13.
L’ensemble des faits évoqués ci-dessous est réel.
En novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida était condamné
à huit ans de prison pour cambriolage d’une résidence et tentative de viol.
Il attaqua ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté était discriminante à l’égard des Américains d’origine mexicaine. Alors que 79,1 % de la population
de comté était d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoquées pour être jurés lors d’une certaine période de référence, il n’y eût que 339 personnes d’origine
mexicaine.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation correspondant à la proportion d’origine
mexicaine pour un échantillon de taille 870.
2. La fréquence des personnes d’origine mexicaine dans les personnes convoquées
est-elle dans cet intervalle ?
3. Qu’en conclure ?
CHAPITRE 8. INTERVALLE DE FLUCTUATION
71
8 -3
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. À Gustave Eiffel, pour la session 2009 du baccaulauréat , il y a eu 154 reçus pour
170 candidats se présentant à l’épreuve. Les fréquences des reçus en Série STI,
STL et S étaient, respectivement, 0,766, 0,896 et 0,963.
Déterminer si les différences de réussite entre les filières peuvent être dues aux
fluctuations d’échantillonage.
2. Dans le village chinois de Xicun en 2000, il est né 20 enfants dont 16 garçons. On
suppose que la proportion de garçons et de filles est la même à la naissance dans
toute l’espèce humaine.
Déterminer si la fréquence des naissances de garçons dans le village de Xicun en
2009 peut être due aux fluctuations d’échantillonage.
3. Avez-vous vérifié que toutes les conditions étaient remplies pour appliquer les
intervalles de fluctuation dans les deux questions précédentes ?
8 -4
Au premier tour de l’élection présidentielle française de mai 2007, parmi les suffrages
exprimés, les proportions, en pourcentage, pour les candidats ayant obtenu plus de
2 % des suffrages, étaient les suivantes :
Bayrou Besancenot De Villiers Le Pen Royal Sarkozy
18,57
4,08
2,23
10,44
25,87
31,18
Cinq mois plus tôt, le 13 décembre 2006, l’institut de sondage BVA faisait paraître
un sondage effectué sur un échantillon de 797 personnes dont voici les résultats, en
pourcentage, concernant les candidats précédemment cités :
Bayrou Besancenot De Villiers Le Pen Royal Sarkozy
7
4
2
10
34
32
1. Pour quels candidats peut-on appliquer les intervalles de fluctuation parmi ceux
présents au premier tour ?
2. Pour ces candidats déterminer les intervalles de fluctuation pour un échantillon
de taille 797.
3. Les résultats du sondage donnent-ils des fréquences appartenant à ces intervalles
?
4. Qu’en conclure ?
8 -5
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. On considère que la proportion de femmes dans la population française est 12 . À
l’assemblée nationale, il y a 577 députés, dont 108 femmes.
Peut-on considérer que cette répartition est un effet de la fluctuation d’échantillonage ou bien dire que la parité des sexes n’est pas respectée à l’assemblée
nationale ?
2. En 1990, les employés et ouvriers constituaient 58,7 % de la population française
(d’après le recensement de l’INSEE). Suite à l’élection législative de 1993 on
recensait 1,6 % de députés dont l’ancien métier était employé ou ouvrier.
Peut-on considérer que cette répartition est un effet de la fluctuation d’échantillonage ?
8 -6
Dans une région où il y a autant de femmes que d’hommes, les entreprises sont tenues
de respecter la parité.
L’entreprise A a un effectif de 100 personnes dont 43 femmes. L’entreprise B a un
effectif de 2 500 personnes dont 1 150 femmes.
1. Calculer le pourcentage de femmes dans ces deux entreprises. Qu’en conclure ?
72
8.4. EXERCICES
2. Si respecter la parité revient à ne pas tenir compte du caractère homme-femme,
on peut alors considérer l’ensemble des salariés d’une entreprise comme un
échantillon prélevé au hasard dans la population de la région.
(a) Déterminer les intervalles de fluctuation relatifs aux deux échantillons.
(b) Les résultats confirment-ils la conclusion de la première question ?
9
CHAPITRE
Les fonctions de
références
74
9.1. LES FONCTIONS POLYNÔMES DU 2ND DEGRÉ
1
Les fonctions polynômes du 2nd degré
1 1 La fonction carré : x 7→ x2
1 1 a Définitions
Définition 9 - 1
On appelle fonction carré la fonction f définie sur R par f (x) = x2 .
1 1 b Représentation graphique
x
−3.0 −2.5 −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0
f (x) 9.0
6.25 4.0
2.25 1.0
0.25 0.0
0.5
1.0
0.25 1.0
1.5
2.0
2.25 4.0
2.5
3.0
6.25 9.0
La courbe représentative de la fonction carré est donnée ci-dessous.
C’est une parabole. Elle est constituée des points M(x, x2 ).
On dit que l’équation de cette parabole P est y = x2 .
~
O
~ı
1 1 c Symétrie
Propriété 9 - 1
Dans un repère orthogonal, la parabole d’équation y = x2 admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
Démonstration.
Pour tout réel x, f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x). La fonction carré est donc paire.
1 1 d Sens de variation
La fonction carré est décroissante sur ] − ∞; 0] et croissante sur [0; +∞[.
Son minimum est 0, atteint pour x = 0.
Le point S(0, 0) est appelé sommet de la parabole.
Son tableau de variations est donc le suivant :
Propriété 9 - 2
x
−∞
0
Variations de
f
0
+∞
CHAPITRE 9. LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCES
75
Démonstration.
Cette fonction étant paire, il suffit d’étudier son sens de variation d’un côté de 0, par
exemple sur l’intervalle [0; +∞[. Soient x1 et x2 deux réels dans cet intervalle tels que
x1 < x2 . Alors f (x2 ) − f (x1 ) = x22 − x12 = (x2 − x1 )(x2 + x1 ). Puisque x1 < x2 , (x2 − x1 ) > 0.
D’autre part, x1 ≥ 0 et x2 > 0 donc (x2 + x1 ) > 0. Par conséquent f (x2 ) − f (x1 ) =
(x2 − x1 )(x2 + x1 ) > 0, c’est à dire f (x2 ) > f (x1 ), ce qui prouve que la fonction carré est
croissante sur l’intervalle [0; +∞[. Par symétrie, elle est donc décroissante sur ] − ∞; 0]
et atteint donc son minimum en x = 0, minimum qui est égal à f (0) = 0.
1 1 e Equations x2 = k où k est un réel
Exemple
En utilisant les représentations graphiques de la fonction carré ci-dessous résoudre
les équations suivantes :
1. x2 = 7
3. x2 = −1, 5
10
9
10
9
10
9
8
7
6
5
8
7
6
5
8
7
6
5
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
−1
Propriété 9 - 3
2. x2 = 0
1 2 3 4
−4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4
−4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4
√
√
L’équation x2 = k admet exactement deux solutions, x = k et x = − k quand
k > 0, une solution unique, x = 0 quand k = 0 et aucune solution quand k < 0.
Démonstration.
On peut observer cette propriété graphiquement. Algébriquement, le résultat est clair
quand k = 0 ou k < 0. Si k > 0, l’équation équivaut
à x√2 − k = 0 c’est à dire, en utilisant
√
une égalité remarquable vue au collège, (x − k)(x + k) = 0. On trouve alors les deux
solutions annoncées.
Résoudre les équations suivantes :
Exemple
1. 5x2 + 2 = 0
3. 6(x − 3)2 + 2 = 2
2. 9x2 − 2x − 1 = −2x + 4
1 1 f Inéquations x2 6 k, x2 > k où k est un réel
Exemple
En utilisant les représentations graphiques de la fonction carré ci-dessous résoudre
les équations suivantes :
1. x2 6 5
2. x2 > 3
3. x2 6 −1
76
9.1. LES FONCTIONS POLYNÔMES DU 2ND DEGRÉ
10
9
10
9
10
9
8
7
6
5
8
7
6
5
8
7
6
5
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
−1
Exemple
−4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4
1 2 3 4
−4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4
Résoudre les inéquations :
1. 4x2 − 1 6 0
2. 2x2 − 6 > 0
1 1 g Comparaisons de carrés
Exemple
Comparer les nombres suivants sans calculatrice :
1. (2, 73)2 et (2, 9)2 .
2. (1 − π)2 et (−2)2 .
Encadrer f (x) dans chacun des cas suivants :
Exemple
1. f (x) = x2 si x ∈] − 4; −1].
2. f (x) = −4x2 + 3 si x ∈ [ 12 ; 2].
3. f (x) = (x − 2)2 − 3 si x ∈ [0; 2]
1 2 Fonctions polynômes de degré 2 : x 7→ ax2 + bx + c.
1 2 a Définition
Définition 9 - 2
On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction définie sur R par une
expression de la forme
f (x) = ax2 + bx + c,
où a, b et c sont trois réels, avec a , 0.
Exemple
Les fonctions suivantes sont-elles des polynômes de degré 2 ?
2
1. f (x) = 4x − 7x3 .
2. g(x) =
2
x2
− 1.
3. h(x) = 3(x − 2)2 + 4.
Propriété 9 - 4
La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole,
ouverte vers le haut si a > 0 et ouverte vers le bas si a < 0.
9
77
y = −x2 − 6x − 3 S
y = 0, 5x2 − 2x + 3
6
b
8
5
7
4
6
3
5
2
4
1
3
Exemple
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
2
1
−2 −1
−1
x
−2
b
S
1
2
1
−3
3
−∞
Variations de
f
4
xS
yS
5
6
−4
+∞
x
−∞
xS
yS
+∞
Variations de
f
Soit f une fonction polynôme de degré 2 et P la parabole qui la représente :
• La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
• Le point S de la parabole situé sur l’axe de symétrie est appelé sommet de la
b
.
parabole, son abscisse est x = − 2a
Propriété 9 - 5
• Si a > 0 il s’agit d’un minimum et si a < 0 d’un maximum.
Une fonction définie par f (x) = ax2 + bx + c atteint son point extremal quand
b
x = − 2a
. En fonction du signe de a, il s’agit d’un minimum ou d’un maximum.
De plus, la parabole représentative de la fonction est symétrique par rapport à la
b
.
droite d’équation x = − 2a
Exemple
La fonction definie par f (x) = −3x2 + x + 6 est une fonction polynôme de degré
2 sa parabole est ouverte vers le bas. Son sommet se trouve au point d’abscisse
1
x = − 2×(−3)
= 16 .
La fonction est donc croissante qur ] − ∞; 16 ] et décroissante sur [ 16 ; +∞[.
1 2 c Forme canonique
Exemple
Soit f la fonction du 2nd degré définie par f (x) = 2x2 − 4x + 5.
Montrer que f (x) peut s’écrire sous la forme f (x) = 2(x − 1)2 + 3.
2(x − 1)2 + 3 est appelé la forme canonique de f .
78
9.2. FONCTION INVERSE ET FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
• Toute fonction polynôme de degré 2 peut s’écrire sous la forme :
f (x) = a(x − α)2 + β
Propriété 9 - 6
où a, α, et β sont des réels avec a , 0.
Cette écriture est appelée forme canonique de f .
• Le sommet de la parabole P représentant f a alors pour coordonnées S(α, β)
Les paraboles ci-contres représentent les fonctions f et g définies par :
f (x) = 0, 5(x − u)2 + v et g(x) = −(x − t)2 + w
Exemple
1. Associer à chaque fonction sa parabole.
2. Lire graphiquement les coordonnées des sommets des paraboles.
En déduire les expressions de f (x) et g(x).
7
10
6
9
5
8
4
7
3
6
2
5
1
4
3
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
−2
1
−3
−2 −1
−1
−4
2
1
2
3
4
5
6
Fonction inverse et fonctions homographiques
2 1 La fonction inverse
2 1 a Définition
Définition 9 - 3
On appelle fonction inverse la fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x .
x
−5
−4
−2
−1
−1
2
−1
4
1
4
1
2
1
2
4
5
f (x)
−1
5
−1
4
−1
2
−1
−2
−4
4
2
1
1
2
1
4
1
5
La courbe représentative de la fonction inverse est donnée ci-dessous.
C’est une hyperbole centrée en l’origine du repère. Elle est constituée de tous les points
M(x, 1x ).
On dit que l’équation de cette hyperbole est y = 1x .
79
~
O
~ı
2 1 c Symétrie
Propriété 9 - 7
Dans un repère orthogonal, l’hyperbole d’équation y = 1x admet l’origine pour
centre de symétrie La fonction inverse est impaire. Sa courbe représentative est
symétrique par rapport à l’origine du repère.
Démonstration.
Pour tout réel x, g(−x) =
1
−x
= − 1x = −g(x). La fonction carré est donc impaire.
2 1 d Sens de variation
La fonction inverse est décroissante sur ] − ∞; 0] et sur ]0; +∞[. Elle n’admet pas
d’extremums sur ces deux intervalles. Son tableau de variations est donc le suivant
:
x
Propriété 9 - 8
−∞
0
+∞
Variations de
f
Démonstration.
Cette fonction étant impaire, il suffit d’étudier son sens de variation d’un côté de 0,
par exemple sur l’intervalle ]0; +∞[. Soient x1 et x2 deux réels dans cet intervalle tels
2
que x1 < x2 . Alors g(x2 ) − g(x1 ) = x1 − x1 = xx1 −x
. Puisque x1 < x2 , x1 − x2 < 0. D’autre
2
1
2 x1
2
part, x1 > 0 et x2 > 0 donc x2 x1 > 0. Par conséquent g(x2 ) − g(x1 ) = xx1 −x
< 0, c’est à
2 x1
dire g(x1 ) > f (x2 ), ce qui prouve que la fonction carré est décroissante sur l’intervalle
]0; +∞[. Par symétrie, elle est donc décroissante sur ] − ∞; 0[.
2 1 e Comparaisons d’inverses
Exemple
Propriété 9 - 9
Comparer les nombres suivants sans calcul, ni calculatrice :
1.
1
1,37
et
1
2,49 .
1
1
2. − 1,00001
et − 1,00101
.
Pour tout réel k non nul, l’équation 1x = k admet exactement une solution unique
égale à 1k . Elle n’admet aucune solution pour k = 0
80
9.2. FONCTION INVERSE ET FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
Démonstration.
Étudions d’abord le cas k = 0, c’est à dire l’équation 1x = 0. Cette équation implique
1 = 0, ce qui est évidemment impossible. Il n’y a donc pas de solution. Supposons
maintenant le cas k , 0. L’équation 1x = k équivaut alors à x = 1k . On trouve donc
bien une unique solution, comme annoncé dans la proposition. On peut vérifier ces
résultats graphiquement.
2 2 Fonction homographiques
Définition 9 - 4
Une fonction homographique est une fonction définie par une expression de la
forme
ax + b
,
k(x) =
cx + d
où a, b, c et d sont des réels avec c , 0.
L’ensemble de définition de la fonction homographique définie par k(x) =
Propriété 9 - 10
ax+b
cx+d
est
( ) #
"
" #
d
d
d
R− −
= −∞; − ∪ − ; +∞ .
c
c
c
Démonstration.
Avec la définition de la proposition, k(x) n’existe pas quand cx + d = 0, c’est à dire
quand x = − dc . L’ensemble de définition de la fonction k est donc l’ensemble de tous
les réels différents de − dc .
Exemple
Considérons la fonction definie par k(x) = 2x+3
3x−5 .
Sa valeur interdite est la solution de l’équation3x − 5 = 0, c’est à dire x = 53 .
n o
Donc son ensemble de définition est R − 35 .
10
CHAPITRE
Equations de
droites
82
10.1. INTRODUCTION
1
Introduction
1 1 Equation d’une droite
Dans un repère (O, I, J) on donne les points A(2; 1) et B(6; −1).
Soit M(x; y) un point de la droite (AB), en utilisant l’alignement des points A, B et M
trouver une relation entre x et y.
1 2 Ensemble de points
Réciproquement : On considère l’ensemble des points M(x; y) du plan tels que y = 2x−1
Quelle est la nature de cet ensemble ?
1 3 Cas particulier
Soit C(2; −3). Déterminer l’équation de la droite (AC).
2
Equation d’une droite
2 1 Equation réduite d’une droite
Propriété 10 - 1
Propriété 10 - 2
Une droite D du plan admet une équation de la forme y = ax + b ou x = c.
Cette équation est l’équation réduite de D.
a est le coefficient directeur de D et b l’ordonnée à l’origine.
• Réciproquement : L’ensemble des points M du plan de coordonnées (x; y)
vérifiant y = ax + b est une droite coupant l’axe des ordonnées.
• L’ensemble des points M du plan de coordonnées (x; y) vérifiant x = c est une
droite parallèle à l’axe des ordonnées.
2 2 Tracer une droite dont on connaît l’équation
Représenter graphiquement dans un même repère les droites suivantes :
1. D1 : y = −3x + 1
Exemple
2. D2 : x = 2
3. D3 : y = 4
4. D4 : y = 23 x − 2
2 3 Un point appartient-il à une droite donnée
Exemple
Les points A(5; 10, 3) et B(4, 3; 9) appartiennent-ils à la droite D d’équation y =
2x + 0, 4.
CHAPITRE 10. EQUATIONS DE DROITES
Exemple
83
Écrire un algorithme qui test l’appartenance d’un point (X; Y) donné à la droite
d’équation y = ax + b donnée.
2 4 Déterminer l’équation réduite d’une droite
2 4 a Graphiquement
Déterminer graphiquement l’équation réduite des droites tracées ci-dessous.
4
3
2
1
b
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
−2
−3
b
−4
−5
2 4 b Par le calcul
Soit A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) deux points distincts d’une même droite D non parallèle
à (0y) alors son coefficient directeur a est :
Propriété 10 - 3
a=
yB − yA
xB − xA
yB
B
b
b
yB − yA
yA
A
b
b
xB − xA
~
O
~ı
xA
xB
84
10.3. POSITION RELATIVE DE 2 DROITES
a = pente =
Exemple
3
y −y
variation verticale
= B A
variation horizontale xB − xA
Déterminer les équations réduites des droites (AB) et (CD) sachant que A(2; −1),
B(−4; −4), C(4; 2) et D(−2; −2).
Position relative de 2 droites
3 1 Droites parallèles
3 1 a Exemple
Soit A(1; −3) et B(−2; 3) et (d) la droite d’équation y = −2x + 3.
1. Tracer dans un même repère les droites (AB) et (d). Que remarque-t-on ?
2. Déterminer l’équation réduite de (AB).
3. Comment peut-on caractériser le parallèlisme de (AB) et de (d) ?
3 1 b Théorème
Théorème 10 - 1
Deux droites d’équations respectives y = ax + b et y = a0 x + b0 sont parallèles si et
seulement si a = a0 .
3 1 c Exercices
Exemple
Déterminer parmis les droites suivantes celles qui sont parallèles.
d1 : y = 2x + 4, d2 : y = −3x + 4, d3 : y = 5, d4 : y = 2x + 5 et d5 : y = −3x + 5
Exemple
Soit A(−2; 5) et d : y = 3x − 1.
Déterminer l’équation réduite de la droite d 0 parallèle à d passant par A.
3 2 Droites sécantes
3 2 a Exemple
Vérifier que les droites suivantes sont sécantes puis déterminer les coordonnées de
leur point d’intersection.
D1 : y = −x + 2, D2 : y = 3x − 1, et D3 : x = −1.
3 2 b Exercice
Soit A(1; 4), B(5; 2) et C(1; −2).
1. Calculer les coordonnées des points I et J milieux respectifs des segments [AB]
et [AC].
2. Déterminer l’équation réduite des droites (BJ) et (CI).
3. En déduire les coordonnées du point G centre de gravité du triangle ABC.
CHAPITRE 10. EQUATIONS DE DROITES
4
85
Systèmes linéaires
4 1 Définition
Définition 10 - 1
• Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est de la forme



 ax + by = c
(S) 

a0 x + b0 y = c0
• Résoudre un tel système c’est trouver tous les couples (x; y) qui vérifient en
même temps les 2 équations
Exemple



2x
Les couples (5; 2) et (−1; 6) sont-ils solutions du système (S) 

7x
+ 3y
−
=
4y
16
= −31
4 2 Résoudre graphiquement un système
Exemple
Résoudre
graphiquement les systèmes

 suivants :




 x + 2y = 4
 2x − 4y = 6
(S1 ) 
(S
)

2


3x − 2y = 8
−x + y = −1
4 3 Résolution par le calcul
4 3 a Méthode par substitution
Exemple
Résoudre
par substitution les systèmes suivants :



2x
+ 3y = 3

(S1 ) 

 x + 2y = −4



6x
(S2 ) 

 x
+ 5y
=
8
−
2y
=
7



 −4x
(S3 ) 

3, 2x



3x
(S4 ) 

7x
−
y
=
2
+ 3y
=
5
+
−
y
1, 5y
= −12
=
4
4 3 b Méthode par addition, soustraction
Exemple
Résoudre
par addition ou soustraction
sur les lignes les systèmes suivants :






5x + 3y = 12
 4x + y = 7
(S2 ) 
(S1 ) 


−3x − y = 2
5x − 3y = 4
86
10.4. SYSTÈMES LINÉAIRES
4 3 c Méthode par combinaisons
Exemple
Résoudre
par combinaisons les systèmes suivants :



5x + 3y = 2
(S1 ) 

2x + 7y = −5



 2x
(S3 ) 

−4x
+
4y
=
−7
+
2y
=
11



6x
(S2 ) 

7x



3x
(S4 ) 

7x
+
5y
=
2
−
2y
= −13
+
2y
= −2
+
4y
= −8
11
CHAPITRE
Géométrie dans
l’espace
88
11.1. GÉNÉRALITÉS
1
Généralités
La géométrie élémentaire de l’espace est née du souci d’étudier les propriétés de
l’espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette géométrie sont les
points, les droites et les plans. On considère ces notions comme des notions premières,
c’est-à-dire suffisamment familières pour ne pas les définir. Pour leur étude il sera
nécessaire d’admettre un certain nombre de propriétés de base.
Un plan est un ensemble de points. La feuille de papier est une bonne représentation
d’un plan. Lorsque l’on veut représenter plusieurs plans de l’espace, on représente
chacun d’entre eux par un parallélogramme, censé représenter un rectangle en "perspective". Il ne s’agit là que d’une représentation de l’objet théorique "plan" qui n’a pas
d’épaisseur et illimité dans tous les sens.
P
Les résultats de géométrie du plan sont applicables dans chaque plan de l’espace.
2
Perspective cavalière
ABCDEFGH est un cube de coté 3cm. I est le centre de la face DCGH.
H
b
b
b
b
D
C
E
b
b
b
A
G
b
B
F
CHAPITRE 11. GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
Dans la réalité
Exemple
89
Sur le dessin
L’arête [EH] est
L’arête [EH] est
I est
I est
[HC] et [EB] sont
[HC] et [EB] sont
D, I et G sont
D, I et G sont
[AB] et [BC] mesurent
[AB] et [BC] mesurent
[AB] et [BF] sont
[AB] et [BF]
[BF] mesure
[BF]
Règles de la perspective cavalière
• Les éléments visibles sont dessinés en pointillés ; les autres sont dessinés en
traits pleins.
• Dans un plan vu de face une figure est en vraie grandeur.
Propriété 11 - 1
• Si deux droites sont parallèles dans la réalité alors elles sont représentées
sur le dessin par deux droites parallèles
• Si des points sont alignés dans la réalité alors ils sont représentés sur le
dessin par des points alignés.
• Les proportions sont conservées.
Remarque
On peut rajouter d’autres conventions de dessin.
90
11.3. AXIOMES D’INCIDENCE
Construire un cube ABCDEFGH de 3 cm de côté dans les deux cas suivants :
• en multipliant les longueurs des
arêtes perpendiculaires au plan de
face par 0,7 et avec un angle de
45°.
• en multipliant les longueurs des
arêtes perpendiculaires au plan de
face par 0,5 et avec un angle de
30°
Exemple
3
Axiomes d’incidence
Les axiomes d’incidence de la géométrie dans l’espace sont des axiomes qui fournissent
des relations entre les points, les droites et les plans de cette géométrie.
• Par deux points distincts A et B de l’espace passe une et une seule droite.
Cette droite peut-être notée (AB).
• Par trois points non alignés, A, B et C passe un et un seul plan. Ce plan
peut-être noté (ABC).
Propriété 11 - 2
• Si A et B sont deux points d’un plan P, tous les points de la droite (AB)
appartiennent au plan.
• Dans un plan de l’espace, on peut appliquer les propriétés de la géométrie
plane.
Il en résulte qu’un plan peut être déterminé par l’une des conditions suivantes :
trois points non alignés
deux droites sécantes
A
une droite et un point extérieur à celle-ci
A
d
C
d
B
P
P
d′
P
91
ABCDEFGH est un cube de coté 5. Placer les points I et J milieux respectifs de
[AH] et [AF].
H
b
G
b
b
b
D
C
Exemple
E
b
F
b
b
b
B
A
1. Donner d’autres noms du plan (HID) :
2. Calculer AH.
3. Quelle est la nature du triangle AFH ? Justifier.
4. Démontrer que (IJ) est parallèle à (HF). Calculer IJ.
4
Calculs de volumes
4 1 Volume d’une pyramide, d’un cône
S
hauteur
hauteur
h
h
B
B
aire de base
O
V =
r
1
3
× Abase × hauteur
aire de base
4 2 Volume d’un prisme, d’un cylindre
aire de base
hauteur
hauteur
aire de base
V = Abase × hauteur
4 3 Volume d’une sphère
O
V = 43 πR3
92
11.5. POSITIONS RELATIVES DE DROITES ET DE PLANS
5
Positions relatives de droites et de plans
5 1 Positions relatives de deux droites
non coplanaires
coplanaires
D′
D
×I
D′
P
×
I
P
D ∩ D0 = ∅
Remarque
D
D
D′
P
D ∩ D0 = I
D ∩ D0 = ∅
Le fait que deux droites n’aient aucun point commun ne suffit pas pour conclure,
dans l’espace, qu’elles sont parallèles.
5 2 Positions relatives d’une droite et d’un plan
sécants
parallèles
D
D
×I
P
D
P
P ∩D = I
P
P ∩D = ∅
P ∩D = D
5 3 Positions relatives de 2 plans
sécants
parallèles
Q
P
P
D
P
Q
Q
P ∩Q = D
P ∩Q = ∅
93
ABCD est un tétraèdre. Les points I, J, K et L sont respectivement sur les arêtes
[DB], [DC], [AB] et [DB], la droite (IJ) étant parallèle à la droite (BC).
Indiquer les positions relatives des droites et plans suivants.
1. Les droites (IJ) et (DC) sont . . .
D
2. Les droites (IJ) et (LC) sont . . .
3. Les droites (IJ) et (AB) sont . . .
J
4. Les droites (IJ) et (KL) sont . . .
Exemple
I
5. Les droites (IK) et (DC) sont . . .
L
C
A
6. La droite (IJ) et le plan (ABC) sont . . .
7. La droite (IJ) et le plan (AKL) sont . . .
K
8. Les plans (DAB) et (LDK) sont . . .
B
9. Les plans (DAB) et (CIJ) sont . . .
D
ABCD est un tétraèdre.
B0 est un point de l’arête [BD] et C0 est un point de l’arête
[CD].
Exemple
2. Tracer l’intersection des plans (ABC) et (AB0 C0 ). Justifier
6
B’
A
1. Tracer l’intersection de la droite (B0 C0 ) et du plan
(ABC). Justifier
C’
B
C
Propriétés
6 1 Parallélisme entre droites
Propriété 11 - 3
Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
Propriété 11 - 4
Si P et Q sont deux plans parallèles, alors tout
plan qui coupe P coupe aussi Q et les droites
d’intersection sont parallèles.
d
P
d′
Q
94
11.6. PROPRIÉTÉS
Propriété 11 - 5
Si une droite est parallèle à deux plans sécants
alors elle est parallèle à leur droite d’intersection.
∆
P
d
Q
Théorème du toit
Propriété 11 - 6
d et d 0 sont deux droites parallèles.
P est un plan contenant d et P0 un plan contenant d 0 .
Si, en outre, les plans P et P0 sont sécants, alors
la droite ∆ d’intersection de ces plans est parallèle à d et d 0 .
∆
d′
d
6 2 Parallélisme entre droite et plan
Propriété 11 - 7
Une droite d est parallèle à un plan si et seulement si elle Si une droite d est parallèle à une
droite d 0 , alors la droite d est parallèle à tout
plan P contenant la droite d 0 .
d
d′
P
6 3 Parallélisme entre plans
Propriété 11 - 8
Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles entre eux.
Propriété 11 - 9
Si deux droites sécantes d’un plan P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes
d’un plan Q, alors les plans P et Q sont parallèles.
d
P
d1
Q
d′
d′1
12
CHAPITRE
Trigonométrie
96
12.1. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
1
Le cercle trigonométrique
1 1 Correspondance entre les nombres réels et les points du cercle
Définition 12 - 1
j), on
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;~i; ~
appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O
et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre, appelé sens direct ou sens positif.
On matérialise la droite des réels par une ficelle tendue
en plaçant le zéro sur le point A et les nombres positifs
"vers le haut".
Soit t un réel.
b
B
+
b
b
~
j
A’
~i
0
• Si t ≥ 0, on enroule la ficelle sur le cercle dans
le sens positif (quitte à faire plusieurs tours) et t
vient se positionner sur un point M du cercle.
A
b
b
B’
• Si t ≤ 0, on enroule la ficelle dans le sens négatif
et t vient aussi se positionner sur un point M du
cercle.
b
Déterminer les points du cercle associés aux nombres suivants :
Exemple
Nombre réel t
0
2π
π
3π
4π
π
2
3π
2
−2π
− 3π
2
- π2
−π
Point M associé
y
R
y
R
p
2
1
1
0.5
π
0, 5
0
O
p
2
5
2
0
x
O
x
−1
−1
2π
2π + 1
CHAPITRE 12. TRIGONOMÉTRIE
97
1 2 Mesure d’un angle orienté en radians
Le radian est une unité de mesure des angles définie de la façon suivante :
+
Définition 12 - 2
~
j
Soit M un point du cercle trigonométrique. Si t est
un nombre réel associé à M, on dit que t est une
# » # »
mesure en radian de l’angle orienté (OA, OM).
0
~i
A
A0
B0
A
Remplir le tableau de correspondance suivant :
Point M
# » # »
Mesure de (OA, OM) en degrés
# » # »
Mesure de (OA, OM) en radians
A
C
D
E
0°
30°
45°
60°
B
+
B
E
D
Exemple
C
~
j
A
A’
~i
0
B’
1. Dans le repère orthonormé ci-dessous, construire avec le compas et la règle
uniquement les points du tableau précédent.
2. Répéter la construction dans les trois autres quarts de cercle.
Exemple
3. Placer les points du tableau suivant :
Point M
F
G
H
I
J
K
Nombre réel t
3π
4
2π
3
− π3
− π6
− 5π
6
7π
4
4. Donner des réels correspondant aux points restants.
98
12.2. LES FONCTIONS COSINUS ET SINUS
V
O
2
U
Les fonctions cosinus et sinus
2 1 cosinus et sinus d’un angle
+
B
H’
A’
0
M
H
A
Soit M un point du cercle
tel que
trigonométrique
π
# » # »
(OA, OM) appartienne à 0; . Soit α la mesure de
2
\ en degrés.
l’angle HOM
Dans le triangle HOM, nous connaissons :
cos(α) =
sin(α) =
B’
Nous allons maintenant généraliser la notion de
cosinus et sinus à tous les nombres réels.
2 2 cosinus et sinus d’un réel
Définition 12 - 3
Remarque
Soit t un réel et M le point correspondant sur le cercle
trigonométrique.
On appelle cosinus de t et on note cos (t) l’abscisse du
point M.
On appelle sinus de t et on note sin(t) l’ordonnée du
point M.
On note parfois cos t à la place de cos(t) et sin t à la place
de sin(t).
+
B
~
j
M
A’
~i
0
B’
A
CHAPITRE 12. TRIGONOMÉTRIE
99
2 3 Propriétés
Propriété 12 - 1
• Pour tout réel t, on a −1 ≤ cos t ≤ 1 et −1 ≤ sin t ≤ 1
• Pour tout réel t, on a (cos t)2 + (sin t)2 = 1
2 4 Valeurs remarquables
B
E
D
C
A’
Point M
A
C
D
E
B
A0
B0
A
t
A
0
cos t
sin t
B’
Déterminer le cosinus et le sinus de x, à l’aide des points placés lors de l’exemple
page 97.
Exemple
Point M
F
G
H
I
J
K
x
3π
4
2π
3
− π3
− π6
− 5π
6
7π
4
cos x
sin x
100
3
12.3. RÉSUMÉ
Résumé
Retenez les valeurs particulières suivantes
π
2
2π
3
π
3
p
3
2
3π
4
π
4
p
2
2
5π
6
π
6
1
2
π
−
p
3
2
−
p
2
2
p
2
2
1
2
− 12
− 12
− 5π
6
− 3π
4
−
− 2π
3
p
3
2
−
p
3
2
− π6
p
2
2
− π4
− π3
− π2
0
13
CHAPITRE
Xcas : un logiciel
qui calcule à ma
place
102
13.1. CALCUL NUMÉRIQUE
Xcas est un logiciel multi-fonctions de mathématiques gratuit. Il permet d’effectuer
des calculs numériques, du calcul formel (par exemple développer, factoriser, résoudre
une équation...), de la géométrie, des représentations de courbes et surfaces, du tableur,
des statistiques mais aussi de programmer. Vous pouvez le télécharger sur http:
//www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/install_fr ou même le tester en ligne.
La plupart des commandes décrites ci-dessous sont accessible dans les menus CAS,Cmds
et Scolaire. Elles y sont rangées par thème, il suffit souvent de chercher dans ces
menus lorsqu’on cherche une commande particulière. En cas de doute, penser à l’aide
en recherchant un mot (touche F12) ou par l’index.
1
Calcul numérique
Xcas est capable d’effectuer toutes les opérations courantes, bien sûr en respectant les
priorités opératoires. Ainsi en saisissant 10-4*3, la réponse proposée est -2.
10-4*3
−2
Plus intéressant maintenant, Xcas calcule en valeur exacte ; par exemple en saisissant
dans une nouvelle ligne (1/3+5/4)/(7/4), le résultat donné est 19
21 .
(1/3+5/4)/(7/4)
19
21
Si on souhaite une valeur approchée de ce résultat, il faut saisir directement evalf
((1/3+5/4)/(7/4)) ou même plus simplement (1./3+5/4)/(7/4)) : la présence d’un
seul nombre décimal (le « 1. ») indique à Xcas qu’on souhaite une valeur approchée.
(1./3+5/4)/(7/4)
0.904762
Toujours plus intéressant, les calculs avec radicaux. Saisir (2*sqrt(2)+3)*(sqrt(2)-5)
(sqrt signifie square root : racine carrée).
(2*sqrt(2)+3)*(sqrt(2)-5)
√
√
(2 2 + 3)( 2 − 5)
√
La commande simplifier permet d’afficher la réponse sous la forme a b + c.
simplifier((2*sqrt(2)+3)*(sqrt(2)-5))
√
−7 2 − 11
Attention : le « * » situé entre les nombres et le sqrt est obligatoire : on ne peut pas
écrire 2sqrt(2).
CHAPITRE 13. XCAS : UN LOGICIEL QUI CALCULE À MA PLACE
2
103
Quelques calculs pour commencer
Taper chaque calcul dans une ligne. Appuyer sur la touche ENTRER pour obtenir les
résultats.
Remarque
On peut copier et coller des expressions d’une ligne dans une autre, déplacer des
lignes, les couper (Ctrl X). La plupart des instructions figurent dans le menu.
Saisie dans Xcas
Résultat affiché
Menu Xcas correspondant
1/3+4/5
Expression-Réel
evalf(1/3+4/5)
1./3+4/5
evalf(sqrt(2),20)
evalf(pi,5)
Scolaire-Seconde
simplifier(2*sqrt(2)-5*sqrt(8))
Pour terminer, la fonction ans(-1) donne le dernier résultat trouvé, ans(-2) l’avantdernier, . . . et ans(0), donne la première réponse depuis l’ouverture de la session,
ans(1) la deuxième, . . .
A l’aide du logiciel et sans justification répondre aux exercices suivants :
2 1 Exercice
13 - 1
On considère l’algorithme suivant :
Choisir un nombre
a) Calculer le carré de ce nombre.
b) Multiplier par 10.
c) Ajouter 25.
d)écrire le résultat.
1. Mathieu a choisi 2 comme nombre de départ et il a obtenu 65. Vérifier par un
calcul que son résultat est exact.
√
2. On choisit 2 comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat ?
3. Clémence affirme que si le nombre choisi au départ est un nombre entier pair
alors le résultat est pair. A-t-elle raison ? Justifier.
4. Margot affirme que le résultat est toujours positif quel que soit le nombre choisi
au départ. A-t-elle raison ? Justifier.
104
13.2. QUELQUES CALCULS POUR COMMENCER
13 - 2
Parmi les choix proposés, une seule réponse est correcte. Entoure la.
Expression
Réponse A
3 2
− est égal à
4 3
3 11 15
+
×
est égal à
2 5
2
√
Réponse B
Réponse C
1
2
1
12
1
111
4
18
35
2
−
√
18 − 8 est égal à
√
2
√
√
5 2
3 × 10−2
est égal à
6 × 10−3
5
0,000 005
0,2
14 × 107 × 27 × 10−3
est égal à
21 × 102
1 800
18 000 000
18 000
√ 2
Le nombre 30 2 est égal à
60
3 600
1 800
10
13 - 3
√
1+ 5
Le nombre d’or est le nombre
, on le désigne par la lettre grecque φ (prononcer
2
" phi "). Ce nombre est connu depuis l’antiquité. Il possède plusieurs propriétés
numériques mais il est aussi reconnu comme permettant d’obtenir des proportions
harmonieuses (architecture, peinture).
Propriétés numériques de φ.
1. Affecter la valeur de φ dans la variable φ puis donner une valeur arrondie de φ.
Pour obtenirla lettre grecque φ on pourra cliquer sur la touche abc puis α dans
la fenêtre de saisie en bas de l’écran.
Rappel : L’affection s’obtient avec la commande « := » de xcas et non pas le
symbole = réservé aux égalités.
2. Calculer et simplifier φ2 et 1 + φ. Comparer les résultats et faire une phrase pour
conclure.
3. Calculer et simplifier
conclure.
1
φ
et φ − 1. Comparer les résultats et faire une phrase pour
4. Calculer et simplifier φ3 et 2φ + 1. Comparer les résultats et faire une phrase pour
conclure.
Propriétés algébriques de φ
Il a été prouvé que φ est un irrationnel, c’est à dire que l’on ne peut pas l’écrire
sous forme d’une fraction. Dans cette partie, on va utiliser l’algorithme de Héron
d’Alexandrie qui fournit une suite de fraction qui tend vers φ.
1. Calculer la valeur exacte des quotients suivants :
A = 1 + 12
B= 1+
1
1+ 12
C= 1+
1
1+
1
1+ 1
2
D= 1+
1
1+
1
1+ 1 1
1+ 2
105
Conseil : Pour calculer la valeur de C, on peut s’aider de la valeur de B.
2. En utilisant l’expression ans(-1), taper une séquence permettant d’obtenir directement les valeurs de ces fractions.
Donner la 30e fraction de cette suite.
3. On pourra également retrouver le résultat avec une boucle pour :
A :=1+1/2
3
2
pour k de 1 jusque 29 faire
A :=1+1/A fpour
3524578
2178309
3
Calcul littéral
Dans cette partie nous allons exploiter les capacités de calcul formel du logiciel Xcas.
La première fonction à connaître est la fonction developper.
Par exemple si vous oubliez les identités remarquables, developper((a+b)^2) donne sa
forme développée.
developper((a+b)^2)
2ab + b2 + a2
developper((x+1)*(2x+5))
2x2 + 7x + 5
Attention : developper((x+1)(2x+5)) n’est pas une écriture correcte : il faut utiliser
le * entre les deux paires de parenthèses. Par contre le 2x est correct. Xcas peut aussi
factoriser :
factoriser(2x^2-12x+18)
2 (x − 3)2
Résoudre des équations :
resoudre(5x+2=2x-4)
[−2]
Résoudre des inéquations :
resoudre(3x-4<=1)
106
13.3. CALCUL LITTÉRAL
5
[x ≤ ( )]
3
On peut aussi définir une fonction en saisissant :
f(x) :=x^2-x-6
(x) → x2 − x − 6
Par la suite on peut calculer des images :
f(0) ;f(2) ;f(3.5)
−6, −4, 2.750000
Trouver des antécédents :
resoudre(f(x)=0)
[−2, 3]
Et obtenir la représentation graphique d’une fonction :
graphe(f(x),x=-4..5)
y
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
Attention :
• Pour définir une fonction, il faut utiliser le symbol d’affectation de xcas « := ».
• Les solutions d’une équation sont placées entre des crochets : il ne s’agit pas d’un
intervalle.
• On peut dans un même bandeau taper plusieurs instructions en les séparant par un
point virgule ; .
3 1 Exercices
13 - 1
Compléter le tableau suivant :
Saisie dans Xcas
Résultat affiché
developper((3x+1)*(x-4))
factoriser(6x^3+19x^2+8x-5)
simplifier((-3x+1)*(x+1)+(7x-3)*(-3x+1))
factoriser((-3x+1)*(x+1)+(7x-3)*(-3x+1))
resoudre(x^2+x-3=0)
resoudre_systeme_lineaire([x-2y=7,3x+y=7],[x,y])
A l’aide du logiciel et sans justification répondre aux exercices suivants :
13 - 2
Soit f la fonction définie sur [−5; 1] par f (x) = (x + 2)2 − 1
1. Déterminer l’image de
1
2
par f .
3
4
9
2. (a) est-t-il un antécédent de 16
par f ?
(b) Déterminer les antécédents éventuels de -1 ; 3 et -5 par f .
3. Compléter le tableau de valeurs suivant :
-5
x
-4
-3
-2
-1
0
1
f (x)
4. Construire dans le repère la représentation graphique de f .
Retrouver le graphe en utilisant le logiciel.
−5
−4
−3
−2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
0
−1
−2
1
2
13 - 3
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (x − 4)2 + 7.
√
1. Calculer l’image de 3 par f .
107
108
13.4. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
2. Calculer les antécédent(s) éventuel(s) de 16 par f .
13 - 4
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (2x + 3)(5x − 2) − (2x + 3)x (expression 1).
1. Développer f (x). (expression 2)
2. Factoriser f (x). (expression 3)
3. Utiliser l’une ou l’autre des expressions de f (x) pour déterminer :
(a) L’image de 0 par f .
(b) les antécédent(s) éventuel(s) de 0 par f .
(c) les antécédent(s) éventuel(s) de -6 par f .
4. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (2x + 3)(−4x + 1).
(a) Résoudre l’équation f (x) = g(x).
(b) En déduire les coordonnées des points d’intersection des courbes représentatives de f et g.
(c) Représenter sur le même graphique les fonctions f et g sur l’intervalle [−2; 2]
et vérifier les résultats.
4
Géométrie analytique
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(1; −1), B(3; 1) et
C(−1; 3).
La figure sera complétée au fur et mesure des questions.
1. Placer les points A, B et C.
Exemple
2. Déterminer la nature du triangle ABC.
3. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AC].
4. Calculer les coordonnes du point D symétrique de B par rapport M.
5. Déterminer la nature du quadrilatre ABCD.
Faire apparaître la console graphique : Menu Geo puis New figure 2d.
Répondre aux questions et réaliser la figure en utilisant les actions suivantes :
109
Action
Saisie dans Xcas
Menu Xcas
Placer A
A :=point(1,-1)
Geo Points
Tracer ABC
triangle(A,B,C)
Geo Triangles
Test la nature de ABC
est_isocele(A,B,C)
Geo Propriétés
Calcul AC
longueur(A,C)
Geo Mesure
Placer M milieu de [AC]
M :=milieu(A,C)
Geo Points
Place D
D :=symetrie(M,B)
Geo Transformations
Renvoie les coordonnées de D
coordonnees(D)
Geo Mesures
Trace ABCD
quadrilatere(A,B,C,D)
Geo Quadrilatères
Test la nature de ABCD
est_parallelogramme(A,B
,C,D)
Geo Propriétés
4 1 Exercices
13 - 1
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2; 1), B(4; 2) et C(−1; −1).
Soit D le symétrique de B par rapport A et E le symétrique de C par rapport A , M et
N sont les milieux respectifs des segments [CD] et [EB].
1. Placer les points dans le repère.
2. Déterminer les coordonnées des points D, E, M et N.
3. Démontrer que A est le milieu du segment [MN].
5
Programmation des algorithmes
5 1 Calcul de l’indice de masse corporel (IMC)
On mesure l’obésité, c’est-à-dire l’excès de
masse grasse à l’aide de l’indice de masse
corporelle, noté I, évalué à partir du poids
(en kg) et de la taille (en m) d’un individu
P
: I = 2.
T
I est une fonction des deux variables P et
T.
Suivant une classification établie par l’Organisation Mondiale de la Santé, un individu est en surpoids lorsque I > 25.
Voici un algorithme qui demande à l’utilisateur son poids en kilogrammes et sa
taille en mètres, puis calcule l’indice I et
affiche s’il est en surpoids ou non.
Algorithme 3 : Calcul de l’IMC
Variables : P, T, I
Entrées : nombres P, T
Traitement
I ← TP2
si I > 25 alors
Afficher "l’individu est en
surpoids."
sinon
Afficher "l’individu n’est pas en
surpoids."
fin
Fin
5 2 Programmation avec Xcas
Quelques informations avant de commencer :
110
13.5. PROGRAMMATION DES ALGORITHMES
• Pour écrire un programme, il faut se placer sur une ligne vierge, et cliquer sur
Prg puis sur Nouveau Programme.
• Ecrire le programme avant le « : ; » qui doit fermer le programme.
• Chaque instruction doit se terminer par un « ; ».
• Les commentaires placés derrière les symboles // sont ignorés par Xcas.
• Une fois le programme terminé on doit le compiler en tapant sur OK.
IMC(T,P) :={/ / d é b u t du programme T e t P s o n t d e s v a r i a b l e s g l o b a l e s donn é e s
en e n t r é e
local I ; / / d é c l a r a t i o n d e l a v a r i a b l e l o c a l e I
I :=P/T^2 ; / / a f f e c t a t i o n
si I>25 alors retourne("L’individu est en surpoids.")
sinon retourne("L’individu n’est pas en surpoids.")
fsi ;/ / T e s t c o n d i t i o n e l
} :;/ / f i n du programme
On appelle le programme en tapant dans un nouveau bandeau :
IMC(1.75,72)
L’individu n’est pas en surpoids.
1. Faire fonctionner l’algorithme pour :
(a) P = 80 kg et T = 1,75 m.
(b) P = 70 kg et T = 1,70 m.
2. Suivant la classification de l’OMS, un individu est en état de maigreur si I < 18, 5.
Transformer l’algorithme précédent de manière à classer un individu suivant
qu’il est de constitution maigre, moyenne ou en surpoids.
5 3 À vous de jouer
13 - 1
Ecrire un algorithme qui demande l’âge de l’utilisateur et répond " Vous êtes mineur"
ou "Vous êtes majeur" suivant le cas.
13 - 2
Ecrire un algorithme donnant le montant à payer en fonction du nombre n de photocopies.
Tarif des photocopies :
• De 1 à 30 : 0,12 A
C pièce
• De 31 à 60 : 0,10 A
C pièce
• Au-delà de 60 : 0,08 A
C pièce.
13 - 3
Ecrire un algorithme qui, lorsque l’on entre les coordonnées de 4 points A, B, C et D
du plan, indique si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ou non.
13 - 4
Ecrire un algorithme qui, lorsque l’on entre les coordonnées de 3 points A, B, C du
plan, indique si le triangle ABC est équilatéral ou isocèle ou ni équilatéral ni isocèle.
6
111
Recherche d’un minimum
6 1 Le problème
Roméo souhaite cueillir une rose pour l’offrir au plus vite à sa bien-aimée Juliette.
La situation est schématisée ci-contre :
Roméo part du point R, cueille la rose en
M dans l’allée des roses [HK] puis l’apporte à Juliette qui se situe en J.
Coder la figure dont les dimensions sont
HR = 5 m, KJ = 7 m et HK = 18 m .
On cherche le chemin de longueur minimale qui permet d’aller de R à J en passant par
un point M du segment [HK].
Pour cela, on va étudier comment varie la longueur RM+MJ en fonction de la longueur
HM.
6 2 Construction de la figure
1. Nous allons donner des coordonnées aux points H, K, R et J en plaçant H sur
l’origine du repère, K sur l’axe des abscisses et R sur l’axe des ordonnées (Echelle :
1 unité représente 1m) :
Déterminer les coordonnées de K, R et J :K( , ), R( , ), J( , ).
Les saisir dans une nouvelle console graphique Menu Geo puis New figure 2d.
2. Construire les segments [RH], [HK] et [KJ].
3. Le point M étant un point mobile sur le segment [HK] son abscisse x varie dans
l’intervalle [0; 18].
Indiquons à Xcas que x est un paramètre que l’on peut fixer à 4 par exemple et
qu’il prend ses valeurs entre 0 et 18 avec un pas de 0,1. Ce qui donne dans le
langage Xcas :
supposons(x=[4,0,18,0.1])
parameter (x, 0.000000, 18.000000, 4.000000, 0.100000)
Placer alors le point M en tapant :
M :=point(x,0)
Tracer les segments [RM] et [JM]. Et vérifier à l’aide du curseur que M se déplace
sur [HK].
6 3 Résolution du problème
1. A l’aide du logiciel exprimer les longueurs RM et MJ en fonction de x.
2. On note f la fonction qui pour tout x ∈ [0; 18] associe la longueur du chemin
effectué par Roméo. Déterminer l’expression de f et saisir son expression dans
le logiciel.
3. Représenter graphiquement f sur l’intervalle [0; 18].
4. Le but de l’exercice étant de déterminer la valeur de x pour laquellle la longueur
est minimale, on va utiliser l’instruction fMin qui donne le minimum de la
fonction dans un intervalle donné.
112
13.7. LES STATISTIQUES
fMin(f(x),x=0..18)
5. Déterminer alors la position du point M sur [HK] pour obtenir un chemin
minimal et la longueur effectué par Roméo.
On donnera les valeurs exactes et approchées à 10−2 près du résultat.
7
Les statistiques
7 1 Création des listes
On pourra créer 2 listes que l’on placera entre des crochets de la manière suivante :
7 1 a Cas d’un caractère quantitatif discret
données
5
7
9
10
11
12
13
effectifs
1
3
2
4
2
6
2
L1 :=[5,7,9,10,11,12,13]
[5, 7, 9, 10, 11, 12, 13]
L2 :=[1,3,2,4,2,6,2]
[1, 3, 2, 4, 2, 6, 2]
7 1 b Cas d’un caractère quantitatif continu
Modalité
[0; 2[
[2; 4[
[4; 6[
[6; 8[
Effectif
17
25
9
2
intervalles :=[0..2,2..4,4..6,6..8]
[0..2, 2..4, 4..6, 6..8]
eff :=[17,25,9,2]
[17, 25, 9, 2]
7 2 Obtention des paramètres statistiques
moyenne(L1,L2)
51
5
puis une valeur décimale avec :
113
evalf(moyenne(L1,L2))
10.200000
De même pourla deuxième série :
evalf(moyenne(intervalles,eff))
2.849057
mediane(L1,L2)
10
quartile1(L1,L2)
9
quartile3(L1,L2)
12
1er
décile :
quantile(L1,L2,0.1)
7
9e
décile :
quantile(L1,L2,0.9)
12
On obient directement dans une liste les éléments :
xmin , Q1, Med, Q3 et xmax avec l’instruction
quartiles(L1,L2)
[5, 9, 10, 12, 13]
7 3 Représentations graphiques
7 3 a Nuage de points
Le nuage de points de la 1re série :
affichage(epaisseur_point_4) ;nuage_points(L1,L2)
5
6
7
8
9
10
11
114
13.7. LES STATISTIQUES
7 3 b Histogramme
Histogramme de la 2e série :
histogram([[0..2,17],[2..4,25],[4..6,9],[6..8,2]])
y
0
1
2
3
4
5
6
7 3 c Camembert
camembert(["[0 ;2[",17],["[2,4[",25],["[4 ;6[",9],["[6 ;8[",2])
y
[2,4[:47.17%
[0;2[:32.08%
[6;8[:3.774%
[4;6[:16.98%
−3
−2
−1
0
1
7 3 d Polygone des fréquences cumulées croissantes
cumulated_frequencies([0..2,17],[2..4,25],[4..6,9],[6..8,2])
y
0
1
2
3
4
5
6
7 3 e Approximation de la médiane par interpolation linéaire
P :=cumulated_frequencies([0..2,17],[2..4,25],[4..6,9],[6..8,2]) ;D :=droite(y
=0.5) ;A :=inter(P,D)
y
D
0
1
A
2
3
4
5
6
115
abscisse(A)
2.760000
7 4 Exercices
13 - 1
Voici la répartition des buts marqués par une équipe de football sur les 34 matchs
d’une saison.
Nombre de buts
0
1
2
3
4
6
Total
Nombre de matchs
6
3
8
8
8
1
34
Fréquence
1. Préciser la population et le caractère étudiés.
2. Représenter la série statistique par un diagramme circulaire.
3. Compléter la ligne des fréquences.(On arrondira à 10−2 près.
4. Calculer le nombre moyen de buts marqués par match par l’équipe lors de ce
championnat de France.
5. Calculer la médiane et les quartiles de cette série et interpréter dans le contexte.
13 - 2
0n effectue des essais sur un échantillon de lampes électriques afin de tester leur durée
de vie exprimée en heures. Voici les résultats :
Durée de vie (en heures)
Effectifs
[1 000 ; 1 200[
6
[1 200 ; 1 300[
6
[1 300 ; 1 400[
8
[1 400 ; 1 500[
10
[1 500 ; 1 600[
16
[1 600 ; 1 700[
13
[1 700 ; 1 800[
7
[1 800 ; 2 100[
9
Fréq. en %
1. Représenter cette série par un histogramme.
2. Compléter le tableau des fréquences (On arrondira à 10−2 près.
3. Déterminer la durée de vie moyenne d’une lampe de cet échantillon.
4. Représenter le polygone des fréquences cumulées croissantes de cet échantillon.
5. En deduire graphiquement une approximation de la durée de vie médiane de cet
échantillon.
6. Déterminer graphiquement une approximation des quartiles de cet échantillon.
116
8
13.8. LA TORTUE
La tortue
La tortue est un instrument de dessin qui ne connaît que quelques commandes dont :
• baisse_crayon
• leve_crayon
• avance d : pour avancer d’une longueur d
• tourne_droite a : pour tourner à droite d’un angle de a degrés
• tourne_gauche a : pour tourner à gauche d’un angle de a degrés
• saute d : pour sauter d’une longueur d
Voici un algorithme et les instructions dans le language Xcas correspondante :
Algorithme : Tortue
Variables : n
Traitement
Efface
Baisse_crayon
pour n allant de 1 jusque 3
faire
Avance 50
Tourne_gauche 120
fin
Fin
On se placera en mode tortue dans
le menu Tortue en selectionnant Dessin
tortue.
efface ;
baisse_crayon ;
repete(3,avance 50,tourne_gauche
120)
8 1 Programmation avec Xcas
8 1 a Procédure
Quelques informations avant de commencer :
• Pour écrire une procédure, il faut se placer sur une ligne vierge à l’extérieure du
mode tortue, et cliquer sur Prg puis sur Nouveau Programme.
• Ecrire le programme avant le « : ; » qui doit fermer la procédure.
• Chaque instruction doit se terminer par un « ; ».
• Une fois le programme terminé on doit le compiler en tapant sur OK.
tri() :={
repete(3,avance 50,tourne_gauche
120) ;
} :;
on obtient :
x 100
y 100
t0
On appelle le programme en tapant dans
un nouveau bandeau du mode Tortue :
tri()
8 1 b Les polygones réguliers
1. Écrire les procédures car(), penta(), hexa() donnant la figure du polygone régulier correspondant.
Tester vos programmes en affichant les sorties graphiques dans le module tortue.
(On pourra effacer l’écran entre chaque dessin)
2. Écrire alors une nouvelle procédure poly(n) prenant comme argument le nombre
n de côtés du polygone régulier.
117
3. Modifier votre procédure en y ajoutant un nouvel argument d représentant la
longueur du côté du polygone.
Voici un aperçu de la commande poly(8,50) donnant un octogone régulier de
côté 50 mm.
x 100
y 100
t0
4. Retrouver alors le triangle équilatéral, le carré , le pentagone et l’hexagone des
questions précédentes.
8 1 c Un tournesol
Écrire une procédure dessin(n) prenant comme argument le nombre de côtés n du
polygone régulier de côté 50 mm sur lequel on a construit extérieurement à chacun de
ses côtés un triangle équilatéral.
On pourra appeler à l’intérieur de ce programme la procédure tri()
Voici un apercu pour les valeurs 4,5,6 et 20 de n.
x 100
y 100
t0
x 100
y 100
t0
x 100
y 100
t0
x 100
y 100
t0
8 1 d Une spirale
Écrire une procédure spirale(n) ayant pour argument le nombre n de côtés.
x 27
y −54
t0

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