Le condensateur – Le dipôle RC série (1) Etude de la charge du

Physique – Terminale S
Chapitre 6
Travaux Pratiques n°6a
Le dipôle RC (1) - Correction
Le condensateur – Le dipôle RC série (1)
Etude de la charge du condensateur (correction)
1 – Deux nouveaux dipôles !
On réalise le montage suivant.
U = 12 V
K
–
+
C
L1
rouge
L2
bleu
R
L
jaune
L3
A la fermeture de l’interrupteur k, on constate
– L1 : la lampe s’allume immédiatement et s’éteint
très rapidement
– L2 : la lampe s’allume immédiatement
– L3 : la lampe s’allume avec un léger retard
A l’ouverture
– L1 : la lampe se rallume subitement et s’éteint
aussitôt (flash)
– L2 : la lampe s’éteint immédiatement
– L3 : la lampe s’éteint avec un léger retard
L
Ce montage assure une différence de potentiel aux bornes d’une association {dipôle + lampe}. Nous
pouvons, à l’aide de l’observation du comportement des lampes, en déduire quelques propriétés de chaque
dipôle. Les trois dipôles, résistance R, condensateur C et bobine L, sont des récepteurs.
Le condensateur C et la bobine L ont un comportement singulier par rapport à la résistance R. En effet, il
apparaît dans la branche qui le contient des phénomènes caractéristiques.
 Le condensateur, à l’allumage, se charge électriquement et une fois sa charge terminée, très
rapidement, il coupe le circuit et la lampe L1 s’éteint ; à la rupture, il se décharge brutalement dans la
lampe et restitue l’électricité qu’il a stockée en provoquant le flash observé
 La bobine, elle, s’oppose à l’établissement et à la rupture du courant électrique en ralentissant
l’allumage et l’extinction de la lampe L3.
Ces deux composants laissent entrevoir de nouvelles possibilités en électricité, si nous apprenons à les
maîtriser. Pour le condensateur, c’est le but de ce TP.
2 – A la découverte du condensateur : charge à courant constant
2.1 – Le condensateur
Un condensateur est un dipôle constitué de deux plaques conductrices A et B, appelées armatures, séparées
par un matériau isolant appelé diélectrique.
A
B
Symbole du condensateur
1
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2.2 – Montage expérimental
La position 1 correspond à la charge du condensateur. La position 2 permet de le décharger.
Le circuit réalisé est équivalent au circuit simplifié suivant :
P
0
1
2
voie
EA0
i = cte
Source idéale i
de courant 4,0 V
UR = EA0
68 kΩ
UBA = EA1
N
voie
EA1
R
5 kΩ
Rd
A
++
––
C = 470 µF
B
Réglages Latis Pro
 Total : 50 s
 Points : 1 000
 Déclenchement : EA1
 Sens : descendant
 Seuil : – 0,05 V
On travaillera à partir du fichier d’acquisition disponible en TP dans vos documents (Devoirs/Physique).
Le but est ici d’étudier les grandeurs physiques caractéristiques du condensateur : la tension Uc à ses bornes,
l’intensité i qui le traverse et la charge accumulée sur ses armatures.
La centrale d’acquisition possède de nombreuses voies d’acquisition (EA0, EA1, EA2, etc…) mais une seule
masse, qui doit être commune à toutes les acquisitions.
Pour étudier l’intensité i du circuit de charge, nous utilisons la résistance R : en étudiant la tension à ses
bornes, donnée par EA0, nous pourrons en déduire, avec la loi d’Ohm, l’intensité i qui circule dans le circuit,
U
EA0
i R 
R
R
Pour étudier le condensateur lui-même, il nous faut avoir accès à la tension à ses bornes, Uc ; s’agissant d’un
récepteur électrique, il s’agit de la tension positive UAB (convention récepteur). Le branchement de
l’acquisition impose la mesure de EA1 = UBA = –UAB ; il faudra donc tenir compte de cette contrainte dans
l’étude que nous allons mener.
2.3 – Evolution temporelle de la tension Uc = UAB
Définir une nouvelle variable Uc telle que Uc = UAB = –EA1 (feuille de calcul : Uc = –1*EA1).
Tracer la courbe Uc(t). → voir courbe n°1 en annexe
La tension UC est proportionnelle à la durée Δt de la charge. Lorsque le condensateur est chargé, la tension
Uc atteint la valeur UAB,max = 10 V.
2.4 – Evolution temporelle de la charge qA
2.4.1 – Obtention de la courbe qA(t)
Définir, à partir de l’acquisition EA0, une nouvelle variable i correspondant à l’intensité dans le circuit.
Feuille de calcul : « R = 68000 » puis « i = EA0/R »
Tracer i(t) en vérifiant que « t » est bien la variable de i. → voir courbe n°2 en annexe
Dans le circuit étudié, i = io ≈ 150 µA lors de la charge et lorsque le condensateur est chargé, i = 0 (circuit
ouvert).
2
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On peut remonter à la valeur de la charge qA par la relation
dq
i A
dt
En effet, si i(t) est la dérivée de qA(t) par rapport au temps, qA(t) est la primitive résultant de l’intégration de
i(t). Latis Pro peut calculer l’intégrale d’une courbe.
A partir de la courbe i(t), utiliser le traitement d’intégration de Latis Pro pour obtenir qA.
On se place dans la fenêtre contenant la représentation de i(t) ; par Traitements > Calculs spécifiques >
Intégrale » il est possible d’obtenir la courbe cherchée.
Tracer qA(t), en vérifiant bien que la variable de qA est « t ». → voir courbe n°3 en annexe
La charge qA est proportionnelle à la durée Δt de la charge. Lorsque le condensateur est chargé, la charge qA
atteint la valeur qA,max = 4,70 mC.
dq
C’est logique, puisque I = Io = constante, on a par i  A la relation qA = Io Δt. Cette relation n’est valable
dt
que pour la montée de la courbe, car une fois le condensateur chargé, l’intensité s’annule.
2.4.2 – Notion de capacité
Tracer, sur une nouvelle fenêtre graphique, qA(Uc). → courbe n°4 en annexe
Modéliser la courbe obtenue et relever les paramètres de modélisation.
Modélisation : linéaire
Conclure.
Sur la durée Δt, nous avons UAB = Uc = ku Δt et qA = Io Δt ; écrivons qA = a*Uc
a = 465,5E-6
U
q
t  AB  A
corr. 0,99928
ku
Io
et il vient
I 
q A   o  U AB  k  U AB
 ku 
On retrouve la proportionnalité entre la charge qA du condensateur et la tension UAB à ses bornes.
La constante de proportionnalité est appelée capacité du condensateur ; notée C, elle s’exprime en farads (F)
si la charge est en coulombs (C) et la tension en volts (V).
Donnez la valeur expérimentale de la capacité C du condensateur et conclure en comparant avec la valeur
donnée par le constructeur sur le composant.
La modélisation indique une relation de proportionnalité qA = a x Uc avec a = 465,5.10–6 C.V–1. Sur le
condensateur, nous lisons C = 470 µF = 470.10–6 F. Nous avons un écart raisonnable à la valeur donnée par
le constructeur,
470  465, 5
écart 
 100  1%
470
En convention récepteur, nous écrirons :
UAB
coulomb (C)
volt (V)
qA = C x UAB > 0
i
A
B
farad (F)
3 – Charge d’un condensateur à tension constante : réponse à un échelon de tension
3.1 – Montage expérimental
On réalise le montage suivant.
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P
0
1
2
EA0
i
5 kΩ
+
R
5,0 V
A
++
––
N
EA1
masse
Réglages Latis Pro
 Nombre de points : 500
 Total temps : 400 ms
 Déclenchement : source EA1
 Sens : descendant (EA1 décroît)
 Seuil : – 0,05 à – 0,1 V
C = 10 µF
B
Indiquer, sur le schéma, les branchements de EA0 et EA1 permettant d’acquérir respectivement la tension
aux bornes de la résistance et la tension aux bornes du condensateur. N’oubliez pas la masse !!
Vérifier, au voltmètre, qu’initialement le condensateur est déchargé : quelle doit être la tension à ses bornes ?
Si le condensateur est initialement déchargé, ses armatures ne doivent présenter aucune charge électrique : la
différence de potentiel (tension Uc) à ses bornes doit donc être nulle !
A l’instant t = 0, l’interrupteur est basculé en position 1 : l’ensemble RC est soumis à une tension constante E
= 5,0 V. On dit qu’on charge le condensateur.
3.2 – Evolution temporelle de la tension UAB = Uc
A partir de l’acquisition de EA1, définir une nouvelle variable Uc correspondant à UAB (feuille de calcul : Uc
= –1*EA1)
Tracer Uc(t). → Voir courbe n°5 en annexe
La tension Uc augmente au cours du temps ; il s’agit d’un régime transitoire qui correspond à la charge du
condensateur, et un régime permanent s’établit, avec UAB = 5,0 V, lorsqu’il est chargé.
Modéliser la courbe Uc(t) obtenue, et relever les paramètres de la modélisation.
Uc=A*(1-Exp(-(Temps-Δ)/τ))+V0
A=5
Δ=0
τ = 50E–3
V0 = 2,021E-9
En utilisant notamment les phénomènes déjà étudiés, exprimer les paramètres de la modélisation en fonction
de E, R et C.
Le paramètre A est très proche de la tension fournie par le générateur, E = 5,0 V.
Le paramètre τ est homogène à une durée car l’argument de l’exponentiel doit être adimensionné. Travaillons
sur les grandeurs R et C :
U
V
 R     
I  A
 dq  C
Or, A   I     
donc
 dt  s
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V V .s

A C
q
C
C     
U  V
On voit apparaître que le produit R x C est homogène à une durée : R  C  5.103  10.106  50.103 s . Ce
produit se rapproche de la valeur de τ donnée par la modélisation. Nous pouvons donc proposer
t
 

Uc(t )  E 1  e   avec   R  C


 R 
Comment peut-on appeler le produit τ = R x C ? Comment le déterminer graphiquement ?
En radioactivité, l’exponentielle temporelle était déjà intervenue : la constante τ était alors appelée constante
de temps du système.
Nous avions vu qu’il était possible de la déterminer graphiquement de deux façons,
 à l’aide de la tangente à l’origine
L’équation de cette tangente s’écrit
 E t 
E
 dUc 
U 
 t   e  t  t

 dt t 0

t  0
Cette droite coupe l’asymptote U = E de la courbe Uc(t) pour l’égalité
E
t  E

c’est-à-dire à t = τ.
 à l’aide des 63%
Cherchons la valeur de la tension Uc(t) atteinte pour t = τ :

 

Uc  t     E 1  e    E 1  e 1   0,63 E


On voit qu’à t = τ, la tension aux bornes du condensateur a atteint 63 % de sa valeur maximale à la charge, E.
3.3 – Evolution temporelle de l’intensité i
A l’aide de l’acquisition de
EA0, définir une nouvelle
variable i correspondant à
l’intensité.
Tracer i(t). → voir courbe n°6 en annexe
L’intensité i est un fonction décroissante du temps. Elle décroît d’une valeur io = 0,1 mA (régime transitoire)
à une valeur nulle lorsque le condensateur est chargé (régime permanent).
Modéliser cette courbe et relever les paramètres de modélisation.
Uc=a*Exp(b*Temps)
a = 1E–9
b = –20
En utilisant notamment les phénomènes déjà étudiés, exprimer les paramètres de la modélisation en fonction
de E, R et C.
A = E/R = 1 µA et b = RC = 20 ms
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Intégrer cette courbe : la courbe obtenue sera nommée qA et exprimée en coulombs (C).
3.4 – Evolution temporelle de la charge qA
Dans le tableur, vérifier que la variable de qA est bien « t ».
Tracer qA(t) → Voir courbe n°7 en annexe
La tension qA augmente au cours du temps ; il s’agit d’un régime transitoire qui correspond à la charge du
condensateur, et un régime permanent s’établit, avec qA = 5,0 µC, lorsqu’il est chargé.
3.5 – Evolution de qA en fonction de Uc : notion de capacité
Tracer qA(Uc). → voir courbe n°8 en annexe
Modéliser la courbe obtenue et noter les paramètres de cette modélisation.
On utilise une modélisation affine : qA = a x Uc + b
a = 11,25.10–6
b = –648.10–9
Conclure en parallèle avec le 2.4.2.
La valeur de b incite à penser que la relation entre qA et Uc est linéaire et non affine. La pente est alors de a
= 11.10–6 C.V–1, ce qui coïncide alors avec la valeur de la capacité du condensateur, annoncée à C = 10 µF =
10.10–6 F.
On peut remarquer que le modèle affine choisi n’est intéressant que pour les faibles valeurs de Uc : au-delà
de Uc = 2,0 V environ, on sort du domaine de validité de la relation qA = C x Uc.
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Courbe n°1
Uc(t)
Courbe n°2
i(t)
Courbe n°3
qA(t)
Courbe n°4
qA(Uc)
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Courbe n°6
i(t)
Courbe n°5
Uc(t)
Courbe n°8
qA(Uc)
Courbe n°7
qA(t)
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4 – Avec le temps…
1. Mettre en équation le circuit de charge du condensateur pour en déduire l’équation différentielle à
laquelle satisfait Uc(t).
2. Mettre en place une méthode d’Euler permettant, à partir de l’équation différentielle précédente, d’en
déduire numériquement Uc(t).
3. Comparer avec le résultat expérimental.
E
Le circuit étudié est le suivant.
1
K
R
i
A
C
B
2
uKA
uAB
En charge, l’interrupteur est en position 1.
Dans ce cas, d’après la loi d’additivité des tensions,
E = uAB(t) + uKA(t)
D’après la loi d’Ohm,
dq
du
u KA (t )  R i (t )  R A  RC AB
dt
dt
Ainsi,
du
E  u AB (t )  RC AB
dt
ce qui s’écrit encore
du AB
1
E

u AB (t ) 
dt
RC
RC
La tension uAB(t) vérifie donc une équation différentielle qui admet comme solution

t
u AB (t )  K e RC  E
On détermine la constante K à l’aide des conditions initiales : à t = 0 s, uAB(to) = K + E. Nous avons donc K =
uAB(to) – E. Or, lorsque t = to, uAB(to) = 0 V : il vient K = –E. La solution de l’équation différentielle s’écrit
donc
t



u AB (t )  E 1  e RC 


On peut utiliser la méthode d’Euler pour résoudre l’équation différentielle, sur l’exemple de la décharge.
La méthode d’Euler permet d’obtenir une valeur approchée d’une valeur d’une fonction en un point lorsque
la fonction elle-même n’est pas connue explicitement, mais en connaissant sa valeur en un autre point et sa
dérivée (ce qui est déjà beaucoup).
Elle permet alors également la construction d’une représentation graphique approchée de la fonction étudiée.
Concrètement la méthode d’Euler repose sur l’utilisation de l’approximation affine de la fonction : si f
est dérivable sur un intervalle I, a et b des réels de I, b proche de a, alors :
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f(b) ≈ f(a) + (b – a) × f ’(a).
donc si l’on connaît f(a) et f ’(a), alors on obtient ainsi une valeur approchée de f(b).
Plus concrètement encore, plus b est proche de a, moins l’erreur commise sur f(b) est grande, ce qui,
connaissant f(a), conduit à l’idée d’obtenir f(b), b étant fixé, par une suite de valeurs intermédiaires de f entre
f(a) et f(b).
L’équation à laquelle satisfait u AB (t )  u peut se mettre sous la forme
u'  au b
1
E
avec a  
et b 
.
RC
RC
En considérant qu’elle est dérivable, nous pouvons écrire que
u  t  t   u  t   u '  t   t
c’est-à-dire que
u  t  t   u  t    a u  t   b   t
u  t  t   1  a  t   u  t   b  t
Or, nous connaissons u(to = 0) = E : on peut donc calculer, à partir de ce point et en incrémentant t ,
calculer les valeurs de u(t) !!
1
E


u  t1   u  to  t   1 
t  u  to  
t
RC
 RC 
Dans notre exemple,
 R = 5 000 Ω
 C = 10 µF
 U = 5,00 V
1
E
 20 s 1 et b 
 100 V .s 1 .
RC
RC
Prenons par exemple un pas de Δt = 0,01 s. Pour le calcul de la première valeur, nous partons de u(to) = 0, et
nous procédons de la manière suivante pour obtenir u(t1) :
u  t1   1  20  0,01  u  to   100  0,01  0,80  u  to   1
Il ne reste ensuite qu’à itérer cette expression, et le recours à un tableur facilite bien la tâche.
On en déduit RC = 50 ms , a 
Utilisation du tableur Latis Pro
Ouvrir Latis Pro et afficher le tableur.
1 – Création des variables et des constantes
 Dans le tableur, créer Variables, Nouvelle : la nommer Uc (en volts) et la faire dépendre de t (en
secondes).
 Dans les Constantes (icône >> à droite du tableur), créer les constantes Dt, a et b en leur donnant les
valeurs respectives 0,1 ; 0,425 et 4,25. Pour cela, clic-droit sur la case vide, Nouvelle. Assigner la
valeur (double-clic sur la case de variable vide et validation par Entrée).
2 – Itération de la variable de temps, t
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Le dipôle RC (1) - Correction
 Double-cliquer sur l’en-tête de la colonne Uc : la colonne t(Uc,X) apparaît. Lui donner en première
case la valeur 0.
 Dans la deuxième case de t(Uc,X), écrire la formule : = t[n–1] + Dt
 Recopier la formule vers le bas en déplaçant (clic gauche maintenu) le carré inférieur droit de cette
case. Ne pas hésiter à pousser les calculs jusqu’à 200 (t = 20 s) dans notre cas (cela dépend du pas).
3 – Itération de la variable de tension, Uc
 Dans la première case de Uc, entrer la valeur initiale : 0.
 Dans la deuxième case de Uc, écrire la formule : = (1 – a*Dt)*Uc[n–1] + b*Dt
 Recopier la formule vers le bas en déplaçant (clic gauche maintenu) le carré inférieur droit de cette
case.
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