Proposition de stage - dept

Proposition de stage
Licence 3 - ENS Lyon
Coloration douce d’un graphe
Encadrant : Olivier Baudon, [email protected]
Lieu : Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique (LaBRI), UMR CNRS 5800,
Université de Bordeaux
Sujet : Coloration douce
La coloration douce d'un graphe, ou "soft coloration", consiste à colorier les sommets d'un
graphe avec k couleurs, de façon à minimiser le nombre d'arêtes ayant leurs deux extrémités
de la même couleur.
Ce problème est évidemment proche de celui de la coloration classique des sommets d'un
graphe, où l'on recherche le nombre minimum de couleurs pour colorier les sommets d'un
graphe de façon à ce que deux sommets voisins n'aient pas la même couleur.
La coloration douce a été essentiellement étudiée d'un point de vue algorithmique [1, 2]. Le
cas de la coloration des arêtes a également été abordé [3].
L'objectif du stage est donc de faire un point sur ce qui a été fait, en particulier s'il existe des
résultats sur certaines classes de graphes.
La partie "recherche" consistera à regarder d'autres colorations, par exemple la coloration
orientée [4]. Une coloration orientée est une coloration c des sommets d’un graphe G orienté
telle que si uv est un arc de G, c(u) ≠ c(v) et pour tout autre arc xy, si c(x) = c(v), alors c(y) ≠
c(u). En d’autres termes, si dans G, il existe un arc orienté d’un sommet de couleur c1 vers un
arc de couleur c2, alors c1 ≠ c2 et tout arc dont les extrémités sont coloriées c1 et c2 est orienté
du sommet de couleur c1 vers le sommet de couleur c2.
Un autre type de coloration intéressant à étudier est la coloration par somme. Dans une
coloration par somme, on affecte des poids entre 1 et k sur les arêtes d’un graphe et l’on
souhaite que la somme des poids des arêtes incidentes à un sommet forme une coloration
propre (sans sommets voisins de même couleur) du graphe. Il est conjecturé qu’il est toujours
possible d’y arriver avec k = 3 (1-2-3 conjecture [5]). Il serait donc intéressant de regarder le
nombre minimum de conflits existant si on utilise uniquement les poids 1 et 2 sur les arêtes.
Par exemple (exercice), la réponse est 1 pour les graphes complets.
Références :
[1] A Blum, New approximation algorithms for graph coloring, Journal of the ACM, 1994
[2] http://www.kestrel.edu/home/projects/ants/html/soft-graph-coloring/
[3] Chadi Kari, Yoo-Ah Kim, Seungjoon Lee, Alexander Russell, Minho Shin, Soft Edge
Coloring, Approximation, Randomization, and Combinatorial Optimization. Algorithms and
Techniques, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4627, pp 189-203
[4] E. Sopena, Oriented graph coloring, Discrete Math. 229 (1-3), (2001), 359–369.
[5] M. Karonski, T. Luczak, and A. Thomason, Edge weights and vertex colours, J. Combin.
Theory Ser. B 91 (2004), 151–157.