4. Associations de trains épicycloïdaux

TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX
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I. GÉNÉRALITÉS
1. Définition
On dit qu’un train d'engrenages est « épicycloïdal » lorsque les roues dentées ou les
pignons qui composent le train ne tournent pas tous autour d'axes fixes dans le repère lié au bâti de l'appareil.
Il résulte immédiatement de la définition précédente que le caractère épicycloïdal
d'un train d'engrenages qualifie un mode de fonctionnement et dépend du repère
dans lequel se place l'observateur.
Exemple : les deux schémas représentent le même train d'engrenages.
2
2
Figure 1-a
1
4
Figure 1-b
1
3
0
Figure 1-a : l'observateur immobile
comme le solide 4 voit tous les autres solides qui composent le train
tourner autour d'axes fixes ; on est
en présence d’un train simple.
4
3
0
Figure 1-b : l'observateur immobile
comme le solide 0 voit le solide 2
tourner autour d'un axe qui se déplace au cours du temps ; c'est un
train épicycloïdal
2. Vocabulaire
Le pignon qui tourne autour d'un axe en mouvement dans le repère lié au bâti est
appelé satellite. Les trajectoires des points du satellite dans le repère fixe sont des
courbes cycloïdales, d'où le nom donné au dispositif. Le satellite est le premier élément qu'il faut repérer quand on étudie un train épicycloïdal (sur la figure 1-b, c'est
bien sûr le solide 2). Lorsqu'on a déterminé le satellite, on peut rechercher les trois
"entrées" du train :
- le satellite est en liaison pivot avec le porte satellite (solide 4 de 1-b)
- les dentures du satellite sont en contact avec les deux planétaires
Les planétaires tournent autour d'axes fixes dans le repère de l’observateur et engrènent avec le satellite. Les planétaires peuvent être des pignons (solide 1) ou des
couronnes dentées intérieures (solide 3).
2
TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX
Le porte satellite et les deux planétaires constituent les trois « entrées » usuelles
d'un train épicycloïdal. Si le porte satellite joue un rôle bien caractérisé, en revanche
les deux entrées sur les planétaires jouent des rôles tout à fait symétriques.
CLASSIFICATION
Train plan : train construit à partir d’engrenages à axes parallèles.
Train sphérique : train construit à partir d’engrenages à axes concourants.
Train élémentaire : train à trois entrées, comme sur la figure 1-b.
Train composé : train résultant de la juxtaposition de plusieurs trains élémentaires ;
l’étude d’un train composé nécessite sa décomposition en trains élémentaires.
Train à base fuyante : train composé résultant de la juxtaposition d'un ou de plusieurs trains épicycloïdaux et d'un variateur ; la chaîne cinématique est réglable.
Train valseur : train épicycloïdal dans lequel la sortie de puissance s’effectue par le
satellite
II. CINÉMATIQUE
1. Relation de Willis
La relation de Willis est une expression quantitative de la loi de comportement d'un
train épicycloïdal indépendamment de son mode effectif de fonctionnement. Elle relie
les fréquences de rotation des trois entrées mesurées par rapport à n'importe quel
référentiel R0 dans lequel les axes de rotation des planétaires et du porte satellite
sont des droites fixes. Pour l'établir, on doit :
Définir clairement le train auquel on s'intéresse, déterminer le satellite SAT, le porte
satellite PS, les entrées sur planétaires E1
et E2
SAT
Placer l’observateur sur le porte satellite
PS : il voit alors un train simple (les axes
sont tous fixes dans le repère d'observation) et peut donc déterminer, en fonction
des caractéristiques des dentures, la
« raison de base » du train, c’est-à-dire le
rapport :
ωE 2 / PS
=λ
ωE 1/ PS
Figure 2
E1
PS
E2
Bâti 0
Changer de repère :
ωE 1/ PS = ωE 1/ 0 − ωPS / 0 et ωE 2 / PS = ωE 2 / 0 − ωPS / 0
Ecrire la relation définitive entre les trois entrées, appelée « formule de Willis »
dans la littérature.
ωE 2 / 0 − ωPS / 0
=λ
ωE 1/ 0 − ωPS / 0
ou
ωE 2 / 0 − λ ωE1/ 0 + (λ − 1) ωPS / 0 = 0
TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX
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Remarques
Les deux planétaires ayant des rôles exactement symétriques, on pourra vérifier
à titre d’exercice que l’on trouve une relation exactement identique intervertissant
ω
1
ces deux entrées, c’est-à-dire en partant de E 1/ PS = λ ′ =
ωE 2 / PS
λ
Il est très vivement déconseillé d'apprendre la formule par cœur ; on risque de
passer beaucoup plus de temps à faire « coller » les notations qu'il n'en faut pour
refaire le raisonnement.
La fréquence de rotation du porte satellite apparaît comme la moyenne pondérée
(barycentre) de celle de l'entrée E1 de poids λ et de l'entrée E2 de poids 1. Ceci
permet en particulier d’affirmer que si on astreint deux des trois entrées du train à
tourner à la même vitesse, alors tout le train est rigidifié et tourne en bloc à cette
vitesse.
2. Fonctionnement d'un train épicycloïdal
Pour faire fonctionner un train épicycloïdal, il faut imposer la fréquence de rotation de
deux des trois « entrées ». La manière la plus courante consiste à fixer l'un des entrées par rapport au repère d'observation (bâti), d'imposer le mouvement d'une autre
et de récupérer la sortie sur la troisième
Figure 3-a : Porte satellite bloqué (fonctionnement en train simple)
SAT
ωPS / 0 = 0
Figure 3-a
donc
ω2 / 0
=λ
ω1/ 0
E1
PS
ou
ω1/ 0
1
= λ′ =
ω2 / 0
λ
E2
Bâti 0
Figure 3-b : Entrée E1 bloquée
ωE 1/ 0 = 0
SAT
Figure 3-b
donc
ωPS / 0
1
=
ωE 2 / 0 1 − λ
E1
PS
ou
ωE 2 / 0
= 1− λ
ωPS / 0
E2
Bâti 0
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TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX
Figure 3-c : Entrée E2 bloquée
SAT
ωE 2 / 0 = 0
Figure 3-c
donc
ωPS / 0
λ
=
ωE 1/ 0 λ − 1
E1
PS
ou
ωE 1/ 0 λ − 1
=
ωPS / 0
λ
E2
Bâti 0
Remarque
Il existe des modes de fonctionnement complexes pour lesquels on impose des fréquences de rotation différentes (mais non nulles) sur 2 entrées - Voir ci-après trains
composés
3. Différentiels
On appelle différentiel un train épicycloïdal de raison de base λ = −1 . La relation de
Willis devient :
ωE 2 / 0 + ωE 1/ 0 − 2ωPS / 0 = 0
La fréquence de rotation du porte satellite est la moyenne des fréquences de rotation
des deux autres entrées.
Exemple : différentiel d'automobile – Sommateur de vitesses
4. Associations de trains épicycloïdaux
Comment s'aperçoit-on qu'on est en présence d'un train composé ? en examinant le
mécanisme, on peut détecter un certain nombre de symptômes caractéristiques
d'une telle situation, entre autres :
il y a plusieurs satellites guidés par des porte satellite différents (figure 4-a)
SAT 2
SAT 1
E1
E3
PS 1
E2
PS 2
E4
Bâti 0
Figure 4-a
TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX
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un satellite est en contact avec plus de deux planétaires (figure 4-b)
E2
SAT
PS
E1
E3
Bâti 0
Figure 4-b
un même porte satellite guide deux satellites qui ne sont pas en contact avec
les mêmes planétaires (figure 4-c)
SAT 1
E1
E3
PS
E4
SAT 2
E2
Bâti 0
Figure 4-c
Méthode de mise en équation :
Rechercher les trains épicycloïdaux élémentaires. Pour cela on envisage chaque
satellite séparément, et chaque couple de planétaires en contact avec ce satellite
Écrire les relations de Willis pour chacun de ces trains élémentaires, indépendamment de leur mode de fonctionnement dans l'ensemble
Traduire les liens entre ces trains élémentaires
Traduire les conditions de fonctionnement
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TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX
5. Trains valseurs
On appelle train valseur un mode d'utilisation très particulier d'un train épicycloïdal
qui consiste à prendre comme sortie le mouvement du satellite. Il est alors nécessaire de connaître les fréquences de rotation ωSAT / PS et ωSAT / BATI . On peut distinguer
deux sous cas : (exemple d'un malaxeur)
train complet, entrée par un planétaire, porte satellite réduit au rôle de guidage
Figure 5-b
Figure 5-a
Bâti 0=1
Bâti 0=3
PS 4
PS 4
3
1
1
3
2
2
Bras
Bras
Pour exprimer ω2/4 et ω2/0 en fonction de ω1/0 (respectivement de ω3/0) dans ce cas, il
suffit d'écrire
•
d'une part la relation entre ω2/4 et ω1/4 (respectivement ω2/4 et ω3/4),
•
d'autre part la relation de Willis pour le train,
puis d'éliminer ω4/0 entre les deux équations.
entrée par le porte satellite, train avec un seul planétaire (l'autre est omis).
Figure 6-a
Figure 6-b
Bâti 0=1
Bâti 0=3
PS 4
PS 4
3
2
1
2
Bras
Bras
Le traitement du problème est très simple à condition de se placer sur le porte satellite pour exprimer la relation entre ω2/4 et ω1/4 (respectivement ω2/4 et ω3/4) en fonction
des caractéristiques des dentures, d'effectuer le changement de repère, puis de traduire les conditions de fonctionnement.