Planification des Interventions d`un Bloc

><
1
Planification des Interventions d’un Bloc
Opératoire par une Procédure
« Branch-and-Price »
H.Fei1,2, M.Meskens 1, C.Chu2 and A.Artiba3
Résumé—Dans cet article, nous cherchons à résoudre un
problème de planification des interventions dans un bloc
opératoire sur une semaine, avec comme objectif de minimiser le
coût total d’opération. Nous présentons, dans un premier temps,
le modèle mathématique pour le problème concerné. Ensuite, une
procédure de Branch-and-Price est développée pour trouver la
solution optimale. Des expérimentations numériques ont été
effectuées sur des données générées aléatoirement. Nous
terminerons notre article par les perspectives de notre travail.
Mots clefs— Planification des interventions, bloc opératoire, la
procédure « Branch-and-Price », « open scheduling »
I. INTRODUCTION
L
e bloc opératoire, consistant en salles d’opération et en
salles de réveil (appelées aussi SSPIs, salles de soins postinterventionnelles), est un lieu hautement stratégique dans un
établissement hospitalier. Selon Clergue[6] et Macario et
al.[13], ce secteur chirurgical constitue à lui seul près de 10%
à 15% du budget prévu du fonctionnement de l’hôpital du fait
qu’il implique différentes ressources humaines et matérielles
coûteuses et rares telles que les chirurgiens, les équipements
chirurgicaux, etc. A cause des budgets limités, les
gestionnaires d’hôpitaux ont la nécessité de rendre leur
établissement plus productif. Par conséquence, de plus en plus
de chercheurs tentent d’améliorer le fonctionnement de blocs
opératoires [14], [15], [12], [11], [7], [2], [3] , [10], [16].
Afin de permettre une meilleure utilisation des ressources en
milieu hospitalier, nous allons, dans ce papier, nous focaliser
sur le problème de la planification des interventions dans un
bloc opératoire sur une semaine sans tenir compte ici des
contraintes liées aux salles de réveil. Pour cela nous avons
développé une procédure de Branch-and-Price, basée sur
l’idée de Dantzig et Wolfe [8] pour la solution exacte.
Cet article se divise en quatre parties : tout d’abord, nous
15 Mars 2005. Cette recherche est financée par le programme “Pôles
d’attraction interuniversitaires- Etat belge- services fédéraux des affaires
scientifiques techniques et culturelles”.
1. Facultés Universitaires Catholiques de Mons (FUCaM), Chaussée de
Binche 151, 7000 Mons Belgique.([email protected], [email protected])
2. Université de Technologie de Troyes (UTT), ISTIT – OSI, 12 Rue Marie
Curie BP 2060, 10010 Troyes CEDEX, France. [email protected]
3. Ecole de Technologie Supérieure (E.T.S), Montréal, (Québec) Canada,
[email protected]
décrivons le problème concerné et construisons les modèles
mathématiques pour le résoudre. Ensuite, les détails sur la
stratégie de sélection d’un nœud et de la variable de
ramification seront donnés. Dans l’avant-dernière partie, les
résultats numériques des expérimentations menées sont
montrés. Et enfin, nous exposerons les conclusions et les
perspectives de notre recherche.
II. MODELES MATHEMATIQUES
Du fait de la complexité du problème, nous simplifions le
modèle concerné en posant les hypothèses suivantes:
• toutes
les
salles
d’opérations
sont
multifonctionnelles, c’est-à-dire que chaque
intervention peut être effectuée dans n’importe
quelle salle d’opération ;
• Les ressources humaines et matérielles sont
disponibles en nombre suffisant pour les
interventions assignées durant la semaine de
planification ;
• Les lits dans les SSPIs sont toujours disponibles
pour les patients qui viennent d’être opérés dans
les salles d’opération ;
• Ni urgence et ni préemption.
De part les hypothèses, notre problème de planification,
consistant à planifier un ensemble d’interventions
programmées pour une semaine dans un bloc opératoire, peut
être assimilé à un modèle difforme d’ordonnancement sur
machines parallèles avec pénalités d’avance et de retard [3].
Or, pour résoudre ces problèmes, de nombreuses études ont
déjà été effectuées. Citons notamment Chen et Powell ([4],[5])
qui utilisent la méthode de génération de colonnes pour
effectuer un ordonnancement sur machines parallèles avec
comme objectif la minimisation des temps d’accomplissement
et la minimisation des délais. De plus, dans [4], ils ont
appliqué un algorithme exact basé sur la procédure de la
génération de colonnes. Leurs résultats numériques nous ont
motivés à appliquer une méthode similaire pour résoudre de
manière exacte notre problème.
Les notations utilisées sont les suivantes :
N : le nombre des interventions prévues dans la semaine
dans le bloc opératoire;
><
2
Ω : l’ensemble des interventions de la semaine, Ω =
{1,…,N};
p i : la durée opératoire de l’intervention i;
Di : la date limite de l’intervention i (transformée en jour
de semaine);
S : la période de planification exprimée en nombre de
jours (normalement, S=5 jours dans une semaine);
M d : le nombre de salles d’opération disponibles le jour d;
C kd
: le coût opératoire de la salle d’opération k le jour d.
TORkd : le nombre d’heures normales disponibles pendant le
jour d de la salle k;
TS kd
: le nombre maximal d’heures supplémentaires
possibles pour la salle k le jour d;
β : le rapport entre le coût d’une heure supplémentaire et
celui de sous-utilisation ;
Les variables de décision sont représentées par :
z
d
ik
= 1 si l’intervention i est
planifiée dans la salle
k le jour d ; 0 sinon
d’opération
Notre problème consiste donc à affecter un ensemble
d’interventions (au moins toutes celles dont la date limite est
inférieure à la période de planification) à une journée, une
salle d’opération et ce dans la période de planification tout en
minimisant le coût total (coût des heures supplémentaires ou
coût de sous-utilisation des salles).
Ce problème peut s’écrire sous la forme du programme
linéaire en nombre entiers (PGNE) suivant :
Md
S
min
∑∑ C
d =1 k =1
d
k
⎧(TOR − ∑ p i z ), ⎫
⎪
⎪
i∈Ω
C kd = max ⎨
d
d ⎬
⎪ β (∑ pi z ik − TORk ) ⎪ (0)
⎩ i∈Ω
⎭
, d ∈ [1,..,S ], k ∈ [1,...,M d ]
Md
∑∑ z
d =1 k =1
S
d
ik
Md
∑∑ z
d =1 k =1
∑pz
i∈Ω
d
i ik
d
ik
i ∈ Ω,d ∈ [1,...,S ] ,k ∈ [1,...,M d ]
La fonction objectif vise à la minimisation du coût total des
salles d’opération sur une semaine. Le coût d’une salle
d’opération pour une journée représente soit le coût du
nombre d’heures supplémentaires soit le coût de sousutilisation de la salle ce jour-là, représenté par la formule (0).
La contrainte (1) impose que toute intervention dont la date
limite est inférieure ou égale à S, soit prise en compte
exactement une fois.
La contrainte (2) impose que toute intervention dont la date
limite est supérieure à S peut être prise en compte au plus une
fois.
La contrainte (3) implique que le temps opératoire d’une
salle d’opération ne peut pas excéder le nombre d’heures
normales + le nombre d’heures supplémentaires possibles
pour une journée pour cette salle.
En outre, nous pouvons procéder autrement en travaillant
en générant des plannings réalisables c’est à dire des
ensembles d’interventions planifiées pour une salle
d’opération pour une journée. Nous pouvons alors représenter
notre problème par un autre programme en nombres entiers où
une variable de décision binaire va indiquer si un planning est
retenu ou non.
Considérons la notation suivante :
Un planning : l’ensemble des interventions planifiées pour une
salle d’opération pour une journée ;
a ij = 1 si l’intervention i est planifiée dans le planning j ;
0 sinon
b = 1 si le planning j est retenu le jour d ;
d
ik
Sous les contraintes:
S
(4)
d
j
d
k
où
z ikd ∈ {0,1}
0 sinon
= 1 si la salle d’opération
ekj
k est utilisée par le planning j
0 sinon
: le nombre de plannings possibles;
P
Ω dk
: l’ensemble des interventions prévues à planifier dans
la salle k le jour d.
ΩP
: l’ensemble de tous les plannings réalisables
possibles pendant la période de planification;
: le coût du planning j (= coût des heures
Cj
=1
i ∈ Ω et Di ≤ S
(1)
supplémentaires ou coût de la sous-utilisation de la salle
opératoire).
≤1
i ∈ Ω et Di > S
(2)
Les variables de décision sont notées par
≤ TOR + TS
d
k
d
k
k ∈ [1,..., M d ] et d ∈ [1,..., S ]
x j = 1 si le planning j ∈ Ω P est retenu;
(3)
0 sinon
Notre problème s’écrit maintenant sous la forme du
><
3
programme général (GP) suivant :
∑C
min
j
xj
j∈Ω P
où
⎧ S Md d
⎫
d
⎪(∑∑ b j ekj TORk − ∑ aij pi ), ⎪
⎪ d =1 k =1
⎪
i∈Ω
C j = max ⎨
⎬
S Md
d
d ⎪
⎪β ( a p −
b j ekj TORk )
∑∑
ij i
⎪⎩ ∑
⎪⎭
i∈Ω
d =1 k =1
, j ∈ ΩP
(11)
Md
S
∑∑ b
(avec
d =1 k =1
d
j
ekj = 1
)
Sous les contraintes:
∑a
ij
x j = 1 i ∈ Ω, Di ≤ S
j∈Ω P
(6)
∑a
ij
∑b
d
j
x j ≤ 1 i ∈ Ω, Di > S
j∈Ω P
(7)
j∈Ω P
∑a
i∈Ω
ekj x j = 1 d ∈ [1,L, S ], k ∈ [1,L, M d ]
(8)
Md
S
ij
pi ≤ ∑∑ (TORkd + TS kd )b dj ekj
d =1 k =1
x j ∈ {0,1}, j ∈ Ω
j ∈ ΩP
(9)
P
(10)
Remarquons que les contraintes (6), (7) et (8) du GP
correspondent aux contraintes (1)(2) du PGNE. La contrainte
(9) correspond à la contrainte (3). Et la formule (11),
correspondant à la formule (5), représente la formulation de
définition du coût d’un planning. De plus, la relation entre les
variables de décision du PGNE et celles du GP peut être
représentée par la formulation suivante :
z ikd =
∑a b
ij
j∈Ω
P
d
j
ekj x j
(13)
Notons que puisque le PGNE et le GP sont deux modèles
mathématiques équivalents représentant le même problème
concerné, leurs solutions optimales seront elles aussi
équivalentes.
Dans les parties suivantes, nous allons présenter la
procédure de Branch-and-Price développée pour trouver la
solution exacte du problème concerné.
Afin de simplifier le problème général, nous allons
appliquer les idées de Dantzig et Wolfe [8] et le décomposer
en deux parties : le problème principal MP qui reprend le
problème GP mais sans les contraintes relatives aux nombres
d’heures normales et supplémentaires disponibles et des sousproblèmes SPd qui intègrent ces contraintes. Afin de travailler
sans contrainte d’intégrité, nous allons relâcher la contrainte
(10) dans MP et obtenir alors le problème LMP (problème
principal linéaire). Dans une recherche antérieure [9], une
procédure basée sur la génération de colonnes avait été
utilisée pour résoudre le problème considéré. Cette approche
ne nous permettant pas d’obtenir une solution exacte, nous
avons ici utilisé une procédure de Branch-and-Price dont la
structure est la suivante :
Étape 0: (Initialisation) Liste des noeuds = vide ; le premier
nœud actuel représente le problème GP.
Etape 1 : (résoudre le nœud actuel ) Résoudre le LMP du
nœud actuel par la procédure de génération de colonnes
présentée dans l’article [9].
(1.1) Si le LMP actuel est irréalisable ou si sa solution
optimale est supérieure ou égale à la borne supérieure actuelle
(UB), aller à l’étape 2.
(1.2) Mettre la solution de LMP du nœud actuel comme sa
borne inférieure (LB). Si ce nœud actuel est la premier nœud
exploré, une procédure heuristique PHBGC, développée dans
[9], est appliquée pour obtenir une solution réalisable qui
constituera la première borne supérieure (UB) de cette
procédure Branch-and-Price.
Étape 2 : (évaluation)
(2.1) Si le noeud actuel est le premier exploré et si son LMP
est irréalisable, cette procédure de Branch-and-Price se
termine. On ne peut pas trouver la solution réalisable pour ce
problème.
(2.2) Si la borne inférieure (LB) du nœud actuel est
supérieure ou égale à la borne supérieure actuelle (UB) et si la
liste actuelle des noeuds candidats est vide, la procédure
s’arrête. Dans ce cas-ci, la UB actuelle est la solution
optimale. Si la liste actuelle des noeuds candidats n’est pas
vide, aller à l’étape 2.4.
(2.3) Si la LB du nœud actuel est une solution réalisable (en
nombres entiers), on remplace UB actuelle par cette LB;
sinon, aller à l’étape 3.
(2.4) Remplacer le nœud actuel par le premier nœud de la
liste des noeuds candidats dont la LB est la plus petite et
enlever le nœud choisi de la liste en même temps. Ensuite,
aller à l’étape 1.
Étape 3: (ramification) calculer et choisir une variable de
ramification selon les critères présentés dans la section 4, puis
ramifier le nœud actuel en deux nœuds fils.
Etape 4 : (étendre la liste actuelle de nœuds) Mettre le nœud
fils gauche comme le nœud actuel à explorer et, en même
temps, ajouter le nœud fils droit dans la liste actuelle des
noeuds candidats où tous les nœuds sont triés par ordre
croissant de leurs LBs, ensuite, aller à l’étape 1.
Dans la partie suivante, nous allons présenter les points les
plus importants de la procédure de Branch-and-Price : les
stratégies de la sélection du nœud et de la variable de
ramification.
><
4
Ω dk 0 = Ω dk 0 \ {i0 }, k ∈ [1,..., M d0 ] . Pour les noeuds où
III. STRATEGIE DE LA SELECTION DU NŒUD ET DE LA
VARIABLE DE RAMIFICATION
La stratégie de la sélection du nœud vise à choisir un nœud
actuel dans la liste de noeuds candidats et la stratégie de la
sélection de la variable de ramification vise à choisir une
variable non entière pour effectuer la ramification.
A. La stratégie de la sélection du nœud
La stratégie de la sélection du nœud appliquée ici est la
même que celle de l’article [4]. Elle est la combinaison de la
règle de « Depth-first-search » et celle de « Best-lowerbound », c’est-à-dire que si le nœud actuel ne peut pas être
élagué, la règle de depth-first-search est appliquée et donc un
de ses nœuds fils (dans cet article, on prend son nœud fils
gauche) est choisi comme prochain nœud pour être traité. En
outre, si le nœud actuel est élagué, la règle Best-lower-bound
est appliquée et un nœud dans la liste de noeuds candidats,
dont la borne inférieure est le minimum, est choisi pour être
exploré.
B. La stratégie de la sélection de la variable de ramification
Comme dit dans l’article [4] concernant la résolution du
problème GP, se ramifier traditionnellement sur la x-variable (
une variable de décision du GP) peut causer un problème sur
une branche où sa variable de décision est déjà mise zéro.
Ainsi, on préfère se ramifier sur les variables de décision du
PGNE. Cette stratégie de la sélection de la variable de
ramification a été prouvée avec succès dans les autres articles,
par exemple [1] et [4]. Par conséquent, nous allons aussi faire
la ramification sur les variables de décision de PGNE.
Tout à bord, nous définissons les q-variables comme
suivantes :
Md
qid = ∑ z ikd
i ∈ Ω, d ∈ [1,L, S ]
k =1
(14)
qid0 0 est mise à 1, toutes les z ikd 0
d 0 . De plus, nous mettons
jour
qid0 0 est à 0, on met z id0 0k = 0 pour tous les k∈[1,…, M d 0 ],
où
4
le
Critère 1:
q
d0
i0
q
d0
i0 est fractionnaire et le plus proche à 0.5, i.e.
= arg min
{ q − 0.5 ,0 < q < l, i ∈ Ω, d ∈ [1, L, S ]}
d
qi
d
i
d
i
d ≠ d0
= Ω dk
d ≠d0
\ {i0 }
.
z id0k0 0 =0 et
Ω dk00 = Ω dk00 \ {i0 } . Son RMP initial se compose de toutes les
colonnes de son nœud père sauf celles où l’intervention
planifiée à la salle d’opération
droit correspond au
i0 est
k 0 le jour d 0 ; le nœud fils
z id0k0 0 =1, son RMP initial se compose de
toutes les colonnes de son noeud père sauf celles où
l’intervention i0 est planifiée aux salles d’opération autres que
la salle d’opération
k 0 le jour d 0 et celles correspondant à la
salle d’opération
k 0 le jour d 0 mais où il n’y a pas
l’intervention
i0 dedans. On met Ω dk = Ω dk \ {i0 } pour tous
les {d ∈ [1,..., s ] \ {d 0 }, k ∈ [1,..., M d ]}
et {d
= d 0 , k ∈ [1,..., M d ] \ {k 0 }} .
IV. RESULTATS
NUMERIQUES
A. Outil utilisé
•
Ordinateur : IBM ThinkPad T23 (CPU: PIII 1.0 GHz,
Mémoire: 128 M)
Logiciel : Microsoft VC++ 6.0
L’outil utilisé pour la résolution de la
programmation linéaire: COIN
(http://www124.ibm.com/developerworks/opensourc
e/coin/faqs.html)
•
•
B. Les données
•
d 0 . En même temps, on met
jour
Ω dk
créés. Pour le nœud fils gauche, on met
et le RMP initial de ce nœud se compose de toutes les
colonnes de son nœud père sauf celles où l’intervention i 0 est
planifiée
sont mises à
le critère 2 5 . Comme la première étape, deux nœuds fils sont
d
qid0 0 =0 et celui de droit correspond à q i 0 0 =1. Pour le cas
d ≠d0
Deuxième étape: Si toutes les q-variables sont entières,
nous vérifions encore s’il y a des valeurs de z-variables
fractionnaires. S’il y en a, nous allons ramifier selon les
valeurs de z-variables comme suit : choisir (i0 , d 0 , k 0 ) selon
d
à
et z i0 k
0 pour tous les k possibles et dans ce cas-là, son RMP initial
se compose de toutes les colonnes de son nœud père sauf
celles où l’intervention i0 est planifiée les jours autres que le
Chaque variable q i indique si une intervention i peut être
planifiée au jour d ou pas.
La stratégie de la sélection de la variable de ramification se
compose de deux étapes :
Premier étape : ramifier le noeud actuel selon la valeur de
q-variable. S’il y a plusieurs q-variables fractionnaires, on
choisit une paire de (i0, d0) selon le critère 1 4. Puis, deux
nœuds fils sont construits où le noeud fils gauche correspond
d
i ≠ i0
5
•
La durée de planification : S = 5 (jours), c’est donc
une planification pour une semaine ;
Le nombre des salles d’opération disponibles :
M d = U[1,4] ;
•
Le nombre d’interventions : N = 10, 20, 30, 40
Critère 2:
z id0 k0 0 est
fractionnaire et le plus proche à 0.5, i.e.
z id0 0k0 = arg min
{ z ikd − 0.5 , 0 < z id0 0k0 < 1, i ∈ Ω, d ∈ [1, L , S ]}
d
zik
><
5
•
50 ;
Le nombre d’heures normales disponibles pendant
une journée d’une salle d’opération : TOR
•
d
k
=
U[0,96]. Unité: 5minutes ;
Le nombre maximal d’heures supplémentaires
possibles pour une salle d’opération pendant une
journée : TS
d
k
= 0 si TOR
d
k
==0 ; U[0, 72],
•
sinon. Unité : 5 minutes ;
Le temps opératoire des interventions :
•
U[3,96]. Unité : 5 minutes.
Les dates de limite des interventions
TABLEAU I
LA PROPORTION DE DISTRIBUTION DES RÉSULTATS
(IP-LP)/IP
0%
]0%
5%]
]5%
10%]
Proportion
68.0%
20.0%
11.0%
1.0%
0%
Proportion
cumulée
68.0%
88.0%
99.0%
100%
100%
LE
pi =
Di = U[1,20].
Unité : jour.
• Le rapport entre le coût de l’heure normale et de
l’heure supplémentaire β = 1.5.
Nous avons généré 20 exemples de chaque cas de N. Nous
avons donc effectué 100 exemples.
C. Résultats numériques
Nous avons effectué une comparaison entre la solution
exacte trouvée par la procédure de Branch-and-Price et la
borne inférieure trouvée par la procédure de génération de
colonnes proposée dans [9]. Le temps de calcul et le nombre
des noeuds explorés sont montrés ici.
Tous les résultats numériques sont fournis dans les tableaux
I, II et III dont les paramètres de comparaison sont représentés
ci-dessous (tous les résultats dans tableaux II et III sont les
résultats moyens des 20 exemples pour chaque cas de N) :
IP : la solution exacte de la procédure de Branch-andPrice ;
LP : la borne inférieure obtenue par la procédure de
génération de colonnes présentée en [9].
(IP-LP)/IP : le taux de distance de IP à LP.
Nb résolus : le nombre de problèmes résolus à leur nœud
initiale (nœud de racine), c’est-à-dire, sans l’action de
ramification, parmi 20 exemples de chaque cas .
Nb nœuds explorés : le nombre total des nœuds explorés
dans la procédure de Branch-and-Price (au moins un nœud ).
Nb colonnes générées : le nombre total de colonnes
générées dans la procédure de Branch-and-Price ;
CPU : Temps moyen de calcul par la procédure de Branchand-Price ( unité : secondes)
N
]10%
15%]
]15%
100%]
TABLEAU II
TAUX DE DISTANCE
LP
IP
(IP-LP)/IP %
10
504
504
0
20
164,02083
164,325
0,00346114
30
60,099325
60,825
0,01603308
40
94,939235
95,575
0,0193652
50
140 507915
141 3
0 02073467
TABLEAU III
RÉSULTAT S NUMÉRIQUES
Nb noeuds
explorés
Nb résolus
20
Nb colonnes
générées
1
129,7
CPU
(secondes)
63,043
17
13,6
1109,85
231,507
12
861,2
58339,2
10877,032
12
630,1
67107,3
12252,631
11
225,65
26666,1
5564,437
Parmi les 100 exemples, on trouve que :
• dans 99% des exemples, l’écart entre la solution
exacte et la borne inférieure du GP est inférieur ou
égal à 10%. De plus, pour 68% des cas, l’écart est
égal à zéro. Cela implique que la solution obtenue
par la procédure de génération de colonnes est très
proche de la solution optimale.
• la plupart des problèmes (72 parmi 100) sont
résolus sans l’action de ramification, c’est-à-dire,
résolu par la procédure heuristique PHBGC.
• tous les problèmes peuvent être résolus en un
temps réalisable (au moins que quatre heures en
moyenne).
V. CONCLUSION ET
PERSPECTIVES
Dans cet article, nous avons développé une procédure de
Branch-and-Price pour trouver une solution exacte à un
problème de planification des interventions dans un bloc
opératoire sur une semaine. Les expérimentations numériques
ont été exécutées pour différents nombres d’interventions
prévues de 10 à 50. Les solutions obtenues sont de bonne
qualité.
><
6
Du fait que beaucoup des hypothèses sont émises dans le
modèle construit dans cet article, cette recherche ne peut être
actuellement utilisée concrètement au sein d’un centre
hospitalier. Nous allons donc relâcher les hypothèses énoncées
ici, prendre en compte les salles de réveil et aussi prendre en
considération des contraintes supplémentaires de ressources
dans nos travaux de recherche ultérieures.
REFERENCES
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