Nombres entiers et rationnels. PGCD

3ème
2008-2009
Nombres entiers et rationnels. PGCD
I. Ensembles de nombres
1/ Les nombres entiers
Définition
Les nombres entiers naturels sont les nombres positifs qui peuvent s'écrire sans virgule (ou autres symboles
comme la barre de fraction, le radical...).
Exemples
8;
45 ;
9
 9 ; 7,000
Définition
Les nombres entiers relatifs sont les nombres positifs et négatifs qui peuvent s'écrire sans virgule (et autres
symboles comme la barre de fraction, le radical...).
Exemples
−3³ ;
8 ;
−121
−121 ;
−2
−11
2/ Les nombres décimaux
Définition
Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s'écrire avec une virgule et une partie décimale finie.
Exemples
7 ;
8,10548 ; 10−4
5
Remarque
Attention, tous les nombres ne sont pas des décimaux. Il suffit de calculer
10
. En effet, en posant la division
3
10
=3,33333333 ... . On ne peut donc pas
3
donner une écriture à virgule de ce nombre avec une partie décimale finie. D'où...
(décimale) de 10 par 3, on remarque que la division ne s'arrête pas :
3/ Les nombres rationnels
Définition
a et b sont deux nombres entiers relatifs avec b≠0 .
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme
Exemples
1 ;
4 ; −5,45
3
a
.
b
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Remarque
Certains nombres ne peuvent pas s'écrire sous la forme
irrationnels.
a π
.
et
b
2 sont de tels nombres. Il sont dits
II. Diviseurs
Diviseur (d)
Dividende (D)
Rappel
1 4 8
Lorsqu'on pose la division euclidienne de deux
nombres, on a : D=d qr et rd .
− 1 2
2 8
2 4
4
12
1 2
Quotient (q)
Reste (r)
1/ Diviseurs d'un nombre entier
Définition
d et n sont deux entiers naturels.
On dit qu'un nombre d divise un nombre n si le reste de la division euclidienne de n par d a un reste nul.
Exemple
Est-ce que 3 divise 111 ?
Lorsqu'on pose la division euclidienne de 111 par 3 , on obtient un quotient égal à 37 et un reste nul. Donc
3 divise 111 .
S'exprimer
On dit aussi que 3 est un diviseur de 111 ou encore que 111 est divisible par 3 .
Rappels : critères de divisibilité
• Un nombre est divisible par 2 s'il est pair : son chiffres des unités est 0 , 2 , 4 , 6 , 8 .
• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3 .
• Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est dans la table de
4.
• Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 .
• Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2 et 3 .
• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est dans la table de 9 .
2/ Diviseurs communs
Définition
Un nombre d est un diviseur commun à n1 et n2 si d divise à la fois n1 et n2 .
Exemples
7 est un diviseur commun de 49 et 91.
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Application
Simplification de fractions : 49 = 7×7 = 7
91 13×7 13
Définition
Une fraction est dite irréductible si on ne peut plus la simplifier.
3/ Nombres premiers entre eux
Définition
Deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'ont qu'un seul diviseur commun (c'est à dire 1 !).
Exemple
57 et 32 sont premiers entre eux.
Interprétation
La fraction 57 est irréductible.
32
III. PGCD
1/ Définition/Notation
Définition
Le PGCD de deux nombres entiers naturels est le plus grand des diviseurs communs.
Exemple/Méthode
Quel est le PGCD de 24 et 36 ?
Les diviseurs de 24 sont 1,2, 3, 4,6, 8, 12et 24 . Les diviseurs de 36 sont 1,2, 3, 4,6, 9, 12,18 et 36 . Le plus des
diviseurs communs est 12 : c'est le PGCD.
Notation
PGCD 24,36=12
2/ Méthode par soustraction (avec calculatrice)
a. Activité
Comparer le PGCD de deux nombres ainsi que celui du plus petit et de la différence. On pourra prendre 36 et
48 et utiliser la méthode des diviseurs. On en déduit alors la méthode par soustractions....
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b. Méthode sur un exemple
Quel est le PGCD de 1035 et 322 ?
1035
322
322
322
69
69
69
69
46
23
322
713
391
69
253
184
115
46
23
23
Chaque nouvelle
ligne s'obtient en
prenant le plus
petit des deux
nombres et la
différence des
deux nombres
On a donc PGCD 1035,322=PGCD23,23=23 .
3/ Méthode d'Euclide (avec calculatrice)
a. Activité
Comparer le PGCD de deux nombres avec celui de leur diviseur et de leur reste (prendre 36 et 48)
b. Méthode sur un exemple
Avec les mêmes nombres :
Dividende diviseur
1035
322
322
69
69
46
46
23
reste
69
46
23
0
quotient
3
4
1
2
On a donc PGCD 1035,322=PGCD46,23=23 . 23 est aussi le dernier reste non nul.
4/ Méthode par décomposition (cas simples)
On a 210=2×3×5×7 et 84=2×2×3×7 . On trouve le PGCD en prenant les nombres en commun dans les
décompositions : PGCD 210,84=2×3×7=42 .
5/ Utilisation d'un tableur (ordinateur)
6/ Exemples types brevet
Correction du 87 et n°90 page 21
IV. Le calcul fractionnaire (révisions)