Équilibre entre deux liquides non miscibles dans un tube en forme

MEC24B
Denis C D ROUX
Mécanique des fluides et des solides
2013
Contrôle continu fluide
Équilibre entre deux liquides non miscibles dans un tube en
forme de ”U”
Dans un tube en forme de U (cf. Fig. 1), de rayon r = 5.64mm, un volume V1 = 10cm3 de
mercure est versé avec un volume V2 = 5cm3 d’eau. Les deux liquides sont non miscibles et la
densité du mercure est égale à dHg = 13.6.
Figure 1 – Dessin du tube en U contenant de l’eau et du mercure à l’équilibre.
Question1 (2 points)
Déterminez l’écart h entre les surfaces libres.
Déviation partielle d’un jet
→
−
→
−
Un jet de vitesse U parallèle à l’axe i et de débit q est partiellement dévié par un obstacle
→
−
2 elle forme un jet
dont la paroi est parallèle à l’axe j . La partie du jet interceptée est notée ,
−
→
→
−
de débit q2 uniforme et de vitesse V2 parallèle à l’axe j . La partie du jet non interceptée est
−
→
→ −
−
→
1 et forme un jet uniforme de vitesse V1 contenue dans le plan (O, i , j ). La direction
notée →
−
du jet fait un angle α avec la direction i (cf. Fig. 2).
Question1 (2 points)
−
→ −
→
Déterminer les modules des vitesses V1 et V2 . Justifier votre réponse en donnant clairement
les hypothèses.
Question2 (1 point)
−
→
Quelle est la direction de la force F exercée par le jet sur la plaque ? Pour cette question
on rappelle que la viscosité du fluide est supposée négligeable.
Question3 (1 point)
Appliquer le théorème de la quantité de mouvement pour déterminer l’expression de la force
→
−
F que le fluide exerce sur l’obstacle en fonction de ρ, q, V , q1 et α.
Question4 (1 point)
Déterminer le débit q1 en fonction de q et α.
Question5 (1 point)
Que vaut F si le jet est complètement intercepté ?
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Contrôle continu fluide
Figure 2 – Dessin de la déviation d’un jet uniforme partiellement dévié par une plaque
Question6 (1 point)
Déterminer la force F sachant que le débit q = 400l/h et que l’angle mesuré α = 30˚.
Analyse dimensionnelle
Un fluide de viscosité µ s’écoule dans une conduite cylindrique de rayon R avec une vitesse
constante V . Entre deux points séparés d’une distance L une différence de pression ∆P est
mesurée.
Question1 (1 point)
Montrer que le nombre de paramètres adimensionnels du problème est deux. On notera
dans la suite du problème ces paramètres : π1 et π2 .
Question2 (1 point)
Déterminer par analyse dimensionnelle, en utilisant a méthode de Lord Rayleigh, les équations
permettant de déterminer les exposants des dimensions mécaniques M , L et T .
Question3 (1 point)
Montrer que l’on peut obtenir pour π1 comme un simple rapport de longueurs caractérisant
le système et pour π2 une relation permettant de trouver la vitesse d’écoulement en fonction
des autres grandeurs. En quoi ces deux nombres caractérisent le système étudié ? Donner
une condition sur π1 pour que le problème soit mécaniquement acceptable
Question4 (1 point)
La mesure de la différence de pression entre les deux points distants de 20 centimètres est
égale à 2 bars. Le diamètre intérieur de la conduite cylindrique est de 4 millimètres et le
débit mesuré à l’aide d’une balance est égal à 38 grammes par minutes. Donner la valeur
de la viscosité du produit Newtonien s’écoulant dans la conduite sachant que le nombre
a-dimensionnel π2 = 1/8.
Question5 (1 point)
Démontrer à partir de la formule précédente que l’on retrouve bien la la loi de Poiseuille
d’un écoulement dans une conduite cylindrique : Q = (πD 4 ∆P )/(128µL).
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Siphonnage d’un réservoir
Un réservoir de grande dimension contenant de l’eau est siphonné au moyen d’un tuyau de
diamètre intérieur d = 2cm avec un débit Q = 1l/s. Le tuyau fait une boucle remontant d’un
mètre au dessus du niveau de l’eau du réservoir et retombe d’une hauteur h en dessous du
niveau du réservoir. On suppose dans la suite de cette modélisation qu’il n’y a pas de perte de
charge dans le tuyau.
Question1 (1 point)
Faite un dessin représentant le problème.
Question2 (1 point)
Quelle est la vitesse de l’eau dans le tuyau ?
Question3 (1 point)
A quelle hauteur h le tuyau doit-il retombé pour que la pression en ce point soit égale à la
pression atmosphérique ?
Question4 (1 point)
Quelle est la pression au point le plus haut du tuyau ?
Question5 (1 point)
Le tuyau utilisé pour siphonner est déformable et s’écrase complètement pour une dépression
∆P = −0.3.105 P a. Quelle valeur maximale de débit peut-on imposer dans ce cas ?
Question6 (1 point)
Dans le cas de la question précédente que vaut maintenant la nouvelle hauteur h de retombé
du tuyau pour qu’au bout du tuyau on retrouve la pression atmosphérique ?
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