contrôle optimal pour des edps non lin eaires

SUJET DE THÈSE EN MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES EN CONTRÔLE
OPTIMAL POUR DES EDPS NON LINÉAIRES
1. Titre - Encadrement - Pre-Requis
Titre: Résolution d’équations non linéaires par des méthodes moindres carrées et
applications à la contrôlabilité des EDPs
Directeur de thèse: Pr. Arnaud Münch
Co-encadrant: Pr. Pablo Pedregal (Ciudad Real, Espagne)
Unité de rattachement: Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand
Laboratoire de rattachement: Laboratoire de Mathématiques - Equipe EDP et Analyse
numérique
Mots-clef : Calcul des variations - Contrôle optimal - Approximation numérique
Pre-requis: Ce travail de thèse requiert des compétences à la fois en optimisation (théorie
des EDPs, Calcul des variations), en analyse numérique (méthode des éléments finis) ainsi qu’en
programmation. Elle est appropriée au titulaire d’un Master 2 en EDP et/ou Analyse numerique
et/ou Calcul scientifique
Début prévu de thèse: Septembre/Octobre 2016.
Contact: Les personnes intéressées sont invitées à envoyer un CV et une lettre de motivation à
[email protected] ainsi qu’a consulter la page
http://math.univ-bpclermont.fr/ munch/.
2. Contexte scientifique
Pour fixer les idées, considérons la situation élémentaire du système de Stokes instationnaires
(
(2.1)
yt − ν∆y + ∇π = f 1ω ,
y = 0 sur ΣT ,
∇·y =0
y(·, 0) = y0
dans QT := Ω × (0, T )
in Ω
où y désigne le vecteur vitesse d’un fluide, π la pression correspondante, f une force extérieure.
Ce système admet une solution faible unique (y, π) de régularité
(y, π) ∈ A0 := (C 0 ([0, T ]; H) ∩ L2 (0, T ; V)) × L2 (0, T ; U ),
H, V, U étant des espaces appropriées. L’approximation numérique de ce problème est classique
en introduisant des méthodes de type Lagrangien puis une discrétisation en espace puis en temps.
Cette approximation peut également etre abordée via le problème extremal équivalent suivant :
(2.2)
inf
(y,π)∈A
E(y, π) =
1
2
ZZ
(|vt |2 + |∇v|2 + |∇ · y|2 ) dx dt
QT
avec A := {(y, π) ∈ A0 , y(·, 0) = y0 } et où le correcteur v est solution de
(
− vtt − ∆v + (yt − ν∆y + ∇π − f 1ω ) = 0, in QT ,
(2.3)
v = 0 on ΣT , vt = 0 on Ω × {0, T }.
Date: 01-12-2015.
1
2
THÈSE EN CALCUL DES VARIATIONS
On peut montrer en effet que l’unique point critique de E est la solution du système de Stokes.
Cela réduit la résolution de (2.1) à la construction d’une suite minimisante pour E. Chaque itérée
requiert simplement la résolution du problème elliptique espace-temps (2.3). Remarquablement,
cette approche, de type moindres carrées, permet d’aborder la contrôlabité de (2.1) où l’on
cherche un contrôle à zéro f distribué sur ω ⊂ Ω. En effet, il suffit de rajouter comme inconnue
à E la variable f ∈ L2 (qT ) et la condition y(·, T ) = 0 à l’espace A ! Ce problème est étudié
d’un point de vue théorique et numérique dans [5, 6] adaptant notamment [3] traitant le cas de
l’équation de la chaleur. On montre notamment la convergence forte de toute suite minimisante
de E vers la solution de (2.1).
La résolution d’équation non linéaires (que ce soit les problèmes directes ou les problèmes
de contrôlabilité) est plus riche et délicate : elle requiert des techniques de linéarisation et
d’arguments de point fixe qui peuvent se montrer inefficaces. Rappelons qu’un opérateur peut
admettre un point fixe sans pour autant être contractant. La détermination de ce point fixe est
alors un problème ouvert.
L’objet de la thèse est d’étudier à la fois théoriquement et numériquement le
potentiel des méthodes moindres carrées pour résoudre des équations et système
non linéaires puis de le comparer aux méthodes existantes. On s’interessera notamment au
système de Navier-Stokes stationnaire et instationnaire. De nombreuses questions apparaissent:
• convergence de suites minimisantes ?
• adaptation de la methode en dimension finie en vue d’obtenir des résultats de convergence
d’approximation numérique ?
• Robustesse numerique par rapport aux methodes duales generalement mal posées ? voir
[4, 7]
• Optimisation du problème du correcteur et de la fonctionnelle E ?
• comment choisir E afin de converger vers le contrôle de norme L2 -minimale?
• Comment traiter un problème de contrôle avec obstacle (contrainte inégalité sur l’état)
? voir [8].
• etc.
References
[1] E. Fernandez-Cara, A. Münch, Strong convergent approximations of null controls for the heat equation,
SEMA journal, 2013.
[2] E. Fernandez-Cara, A. Münch, Numerical null controllability of semi-linear 1D heat equations: fixed points,
least squares and Newton methods, Mathematical control and related field, 2012
[3] A. Münch, P. Pedregal, Numerical null controllability of the heat equation through a least squares and
variational approach. European J. Applied Mathematics. 2014
[4] E. Fernandez-Cara, A. Munch, Numerical null controllability of the 1D heat equation: Duality and Carleman
weights. J. Optimization, Theory and Applications, 2014.
[5] A. Münch, P. Pedregal, A least-squares formulation for the approximation of null controls for the Stokes
system, C. R. Acad. Sci. 2013.
[6] A. Münch, A least-squares formulation for the approximation of null controls for the Stokes system, Mathematics of controls, Signal and System, 2015.
[7] N. Cindea, E. Fernandez-Cara, A. Münch, Numerical controllability of the wave equation through primal
methods and Carleman estimates, Esaim:Cocv, 2013.
[8] F. Ammar-Khodja, S. Micu, A. Münch, Exact controllability of a string submitted to a boundary unilateral
constraint, Annales de l’Institut Henri Poincaré, 2010.