Probabilités, équation de droite - Pagesperso

2de 10 - Contrôle n° 4 de mathématiques
Exercice 1
On a effectué un sondage sur les activités extra-scolaires des 2000 élèves d'un lycée.
10 % des élèves font à la fois un sport et jouent d'un instrument, 35 % font seulement du sport et 40 % ne
pratiquent ni sport ni musique.
Ω: 2000
On interroge un élève au hasard à la sortie du lycée.
On donne les événements:
S: « L'élève pratique un sport »
I: « L'élève joue d'un instrument »
?
1) Compléter le diagramme de Venn ci-contre:
2) Calculer p(S) et p(I)
3) Utiliser les notations S, S , I, I et les symboles
∩ et ∪ pour décrire les événements suivants puis
calculer leurs probabilités:
?
?
?
S: ?
I: ?
A: « L'élève ne pratique pas de sport mais joue d'un instrument »
B: « L'élève pratique un sport ou joue d'un instrument »
4) On interroge au hasard un élève qui joue d'un instrument.
Quelle est la probabilité qu'il pratique un sport ?
Exercice 2
A et B sont deux événements incompatibles tels que p( A ) = 0,61 et p(B) = 0,57.
a) Calculer p( A ∪ B ).
b) A et B sont-il incompatibles ? Justifier la réponse.
Exercice 3
Morgan est perchiste dans une station de sports d'hiver.
Il observe qu'un tiers de personnes font du snowboard et les autres du ski, qu'un quart des personnes sont
des skieurs de moins de 20 ans et que la moitié des personnes ont 20 ans ou plus.
On utilisera les notations suivantes:
N: « La prochaine personne qui se présente à la remontée mécanique est un snowboarder »
M: « La prochaine personne qui se présente à la remontée mécanique a moins de 20 ans »
Quelle est la probabilité que la prochaine personne qui se présente à la remontée mécanique soit un skieur
de 20 ans ou plus ?
Exercice 4
Monsieur Elégant passe beaucoup de temps à accorder les couleurs de ses vêtements.
Il possède par exemple trois chapeaux (un noir, un bleu et un marron), deux manteaux (un noir et un bleu)
et trois écharpes (une blanche, une noire et une bleue).
1) En choisissant au hasard un chapeau, un manteau et une écharpe, de combien de façons différentes peutil s'habiller ? (on pourra construire un arbre).
2) On donne les événements suivants:
M: « Le chapeau est marron »
N: « le manteau est noir »
C: « Les trois vêtements sont de la même couleur »
Calculer les probabilités des événements suivants:
a) M
b) N
c) C
e) N ∩ C
f) N ∪ C
g) M ∩ N
Exercice 5
d) M ∩ C
h) M ∪ N
D1
D2
1) Déterminer graphiquement les
équations des droites D1 , D 2 et D3 cicontre:
D1 : y = ..........................................
D 2 : y = ..........................................
D3 : y = ..........................................
2) Sur le graphique ci-contre, tracer les
droites D 4 et D5 passant par A et de
coefficients directeurs respectifs égaux à
3
− 2 et
4
3) Tracer la droite d d'équation x = − 3
D3
2de 10 - Correction du contrôle
contrôle n° 4 de mathématiques
Exercice 1
1) Explications:
10
× 2000 = 200
100
200 élèves font à la fois un sport et jouent d'un
instrument
Ω: 2000
700
35
× 2000 = 700
100
700 élèves font seulement du sport
300
800
S: 900
40
× 2000 = 800
100
800 élèves ne pratiquent ni sport ni musique
700 + 200 = 900
900 élèves font du sport
200
I: 500
200 + 300 = 500
500 élèves jouent d'un instrument
2000 − (700 + 200 + 800) = 300
300 élèves jouent d'un instrument sans pratiquer de
sport
2) p(S) =
p(I) =
900
9
=
= 0, 45
2000 20
500 1
= = 0, 25
2000 4
3) A = S ∩ I
p(A) =
300
3
=
= 0,15
2000 20
B=S∪I
700 + 200 + 300 1200 3
p(B) =
=
= = 0, 6
2000
2000 5
ou p(B) =
2000 − 800
= etc....
2000
200 2
= = 0, 4
500 5
La probabilité que l'élève choisi au hasard parmi ceux qui jouent d'instrument pratique aussi un sport est
égale à 0,4.
4)
Exercice 2
1ère méthode:
A et B sont incompatibles donc p(A ∩ B) = 0
p( A ) = 0,61 donc p(A) = 1 − p( A ) = 1 − 0,61 = 0,39
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0,39 + 0,57 − 0 = 0,96
donc p( A ∪ B ) = 1 − p(A ∪ B) = 1 − 0,96 = 0,04
2ème méthode:
B
B
Total
A
A
0
0,57
Total
0,57
0,39
0,39
0,04
0,61
0,43
1
Remarque: Les cellules jaunes sont données dans l'énoncé. Les autres cellules s'obtiennent par soustraction
ou addition.
On sait que p( A ∪ B ) = p( A ∩ B ) et d'après le tableau ci-dessus, on a p( A ∩ B ) = 0,04
Exercice 3
Un tiers des personnes font du snowboard donc p(N) =
1
3
Un quart des personnes sont des skieurs de moins de 20 ans donc p( N ∩ M) =
La moitié des personnes ont 20 ans ou plus donc p( M ) =
1
4
1
2
On cherche à calculer p( N ∩ M )
Avec les données de l'énoncé, on complète le tableau suivant:
M
M
Total
N
1
4
1
12
1
3
N
1
4
5
12
2
3
Total
1
2
1
2
1
Remarque: Les cellules jaunes sont données dans l'énoncé. Les autres cellules s'obtiennent par soustraction
ou addition.
La probabilité que la prochaine personne qui se présente à la remontée mécanique soit un skieur de 20 ans
5
ou plus est donc égale à
12
Exercice 4
1)
chapeau
manteau
écharpe
A
N
N
B
N
A
B
N
B
A
N
N
B
B
A
B
N
B
A
N
N: noir
M: marron
B: bleu
A: blanc
N
B
M
A
B
N
B
Monsieur Elégant peut s'habiller de 18 façons différentes (3 × 2 × 3)
6 1
=
18 3
2 1
c) p(C) =
=
18 9
2) a) p(M) =
b) p(N) =
9 1
=
18 2
d) M ∩ C: « Les trois vêtements sont marrons »
p(M ∩ C) = 0
e) N ∩ C: « les trois vêtements sont noirs »
1
P(N ∩ C) =
18
f) p(N ∪ C) = p(N) + p(C) − p(N ∩ C) =
1 1 1 9 + 2 − 1 10 5
+ − =
=
=
2 9 18
18
18 9
g) M ∩ N : « Le chapeau n'est pas marron et le manteau n'est pas noir »
autrement dit: « Le chapeau est noir ou bleu et le manteau est bleu »
6 1
p( M ∩ N ) =
=
18 3
h) p( M ∪ N ) = p( M ) + p( N ) − p( M ∩ N ) = 1 − p(M) + 1 − p(N) − p( M ∩ N )
= 2 − p(M) − p(N) − p( M ∩ N )
=2−
1 1 1
5
− − =
3 2 3 6
Exercice 5
D4
D1
D2
1)
3
D1 : y = − x + 6
2
D 2 : y = 2x + 0
y = 2x
D3
4
x−3
4
y=x−3
D3 : y =
2) voir dessin
D5
3) voir dessin
d