Activité

TICE
SUITES ITEREES
GeoGebra - Tableur
S14
SUITES du type Un+1 = f(Un) - UTILISATION D’UN GRAPHE
Pourquoi telle année, les sauterelles, les méduses, les souris et autres pucerons se mettent à pulluler ?
Et pourquoi l’année d’après, tout redevient paisible ? Figurez-vous que ces mystères de la nature
ressemblent étrangement aux caprices d’une petite équation du second degré ! En route vers le chaos…
Source : Proies et prédateurs, secret d’un combat – JP Boudine – Science&vie
1°) L’EQUATION MAGIQUE
On peut étudier une partie de ces situations compliquées avec un procédé simple, puisqu’il s’agit d’une fonction du
second degré : f ( x ) = 4 px (1 − x ) .
Posons que x est le nombre de coccinelles ( divisé par un million ) une certaine année, et f (x) ce nombre l’année
suivante. ( On admet que le nombre de coccinelles reste inférieur à 1 000 000.
( ex : un effectif de 355 000 coccinelles donne x = 0,355 ) . On a donc : . x réel compris entre 0 et 1.
p est un paramètre qui dépend des circonstances, comme par exemple la vitesse de reproduction des prédateurs
relativement aux proies. ( 0 < p < 1 )
Construisons une suite (U n ) de la manière suivante :
U 0 est le nombre initial, 0 < U 0 < 1 , U1 est le nombre de coccinelles au bout de 1 an, …
et U n le nombre de coccinelles au bout de n années.
2°) CREATION D’UN CURSEUR
Ouvrir le fichier GeoGebra ( S12 ), l’enregistrer sous un autre nom ; ex : NOM – TP S14 – Coccinelles )
Créer un curseur afin de faire varier le nombre p entre 0 et 1- incrément 0.01 ( voir menu + aide )
3°) ETUDE DE CAS PARTICULIERS
Modifier la fonction f ( rappel : f ( x ) = 4 px (1 − x ) )
Dans chaque cas,utiliser le fichier GeoGebra, pour observer le comportement de la suite (U n ) ,
et donc pour conjecturer l’évolution des coccinelles.
Supposons qu’il y ait 250 000 coccinelles au départ. ( U 0 = 0,25 )
Question préliminaire :
Supposons que la suite (U n ) converge. Quelles seraient les limites éventuelles ?
2.1 Un point attractif
cas c : p = 0,25.
a) Quel serait le sens de variation et la limite de la suite ? ( Aucune démonstration demandée )
Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles.
b) D’après le graphique, l’évolution de cette population dépend-elle du nombre initial de coccinelles ?
cas d : p = 0,45.
a) Quel serait le sens de variation de la suite ?
Quelle conjecture peut-on faire quant à la convergence de cette suite ?
b) Quelle est la valeur α du point attractif ? 0 est ici un point répulsif.
c) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles.
Appeler le professeur pour vérifier les réponses, ainsi que le graphique .
cas e : p = 0,7.
a) Que pensez-vous du comportement de la suite ?
Considérons les suites de rangs pairs et impairs.
Nous pouvons écrire : U 2 n + 2 = f (U 2 n +1 ) = f ⎡⎣ f (U 2 n ) ⎤⎦ ;
Envisageons alors la fonction ϕ définie sur [0,1] par : ϕ ( x) = f [ f ( x) ] ;
Notons que ϕ est un polynôme de degré 4 ! ( calculs non demandés ! )
Nous pouvons écrire : U 2 n + 2 = ϕ (U 2 n ) et U 2 n +3 = ϕ (U 2 n +1 ) ;
Ainsi, on observe l’évolution tous les deux ans de la même manière, et les points attractifs ou répulsifs
éventuels seraient solutions de l’équation ϕ ( x ) = x !
Sur le graphique, créer la fonction ϕ .
Y-a-t-il des points d’intersection entre la courbe de ϕ et la droite D d’équation y = x ?
b) Quelle est la valeur α du point attractif ?
c) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles.
Appeler le professeur pour vérifier les réponses, ainsi que le graphique .
2.2 Des cycles …
cas f : p = 0,8.
a) Considérons comme précédemment, les suites de rang pair et impair, ainsi que la fonction h.
Que pensez-vous du comportement de ces deux suites extraites ?
Combien observez-vous de points d’intersection entre la courbe de h et la droite D d’équation y = x ?
Ces points ( appelés points fixes ) sont-ils, selon vous, attractifs ou répulsifs ?
b) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles.
On parle ici de 2-cycle …
cas g : p = 0,88.
a) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles en prenant U 0 = 0,25.
Utiliser un tableur pour calculer les 100 premiers termes de la suite … votre observation est-elle
confirmée ? Qu’observe-t’on ?
b) Prenons U 0 = 0,4. Qu’observe-t’on ? Utiliser le tableur pour vérifier.
Nous allons naturellement considérer la fonction Φ = f D f D f D f = ϕ D ϕ . ( donc Φ ( x) = ϕ [ϕ ( x) ] )
Construire la courbe de Φ . Combien observez-vous de points fixes ? et parmi eux, combien de points
attractifs ? Donnez, grâce au tableur, les valeurs approchées de ces points. On parle ici de 4-cycle …
2.3 Le chaos …
cas h : p = 1.
a) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles lorsque U 0 = 0,25.
Calculer les premiers termes.
b) Et lorsque U 0 = 0,5 ? U 0 = 0,3 ?
Appeler le professeur pour vérifier les réponses, ainsi que le graphique .
DM
« Une bête à bon Dieu qui passait par là avisa
un puceron qui lui semblait fort gras …
Mange-moi, dit le puceron, quand nous ne
serons plus là, c’est toi qui mourras »
On sait tous qu’il y a des années à moustiques et d’autres sans, des années à coccinelles et d’autres sans !
On se propose de démontrer certaines conjectures émises lors de l’observation de l’évolution d’une population de
coccinelles au TP S14 ;
On rappelle :
f est une fonction définie sur [0,1] par f ( x ) = 4 px (1 − x ) , p étant un paramètre qui dépend de l’environnement.
U n est l’effectif des coccinelles, exprimé en millions d’individus, au bout de n années, U 0 est le nombre initial,
0 < U 0 < 1 , et U n +1 = f (U n ) . (Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million)
Questions préliminaires :
(a) Etudier le sens de variation de f, et dresser le tableau de variation.
(b) Résoudre sur [0,1] l’équation f ( x) = x .
(c) Démontrer que si la suite (U n ) converge, alors sa limite l est solution de l’équation f ( l ) = l ;
(d) Si la suite (U n ) convergeait, quelles seraient alors les valeurs possibles de sa limite ?
1° Supposons p = 0,25.
(a)
Étudier le sens de variation de la suite (U n ) .
(b)
Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 ≤ U n ≤ 1 .
(c)
La suite (U n ) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite?
(d)
Que peut-on dire à long terme de l’évolution de la population de coccinelles avec ces hypothèses?
2° Supposons p = 0,45.
(a)
(b)
⎛1⎞ 1
Montrer que f ⎜ ⎟ ≤ ;
⎝2⎠ 2
En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence,
1
- montrer que pour tout entier naturel n, 0 ≤ U n ≤ ;
2
- étudier le sens de variation de (U n ) .
(c)
La suite (U n ) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
(d)
Que peut-on dire de l’évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?
3° Supposons p = 0,7.
On considère les suites extraites :
• La suite de rangs pairs : on note Vn = U 2 n ;
• La suite de rangs impairs : on note Wn = U 2 n +1 ;
et la fonction ϕ définie sur [0,1] par : ϕ ( x) = f [ f ( x) ] ;
(a) Montrer que ϕ est croissante sur l’intervalle [0,5 ;
9
].
14
(b) Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : 0,5 ≤ Wn −1 ≤ Wn ≤
9
;
14
(c) En déduire :
• Le sens de variation et la convergence de la suite (Wn ) vers une limite que l’on notera l ;
9
≤ Vn +1 ≤ Vn ≤ 0, 7 ( Utiliser la monotonie de f );
14
• Le sens de variation et la convergence de la suite (Vn ) vers une limite que l’on notera l’ ;
• L’inégalité, pour tout entier naturel n ≥ 1 , :
• Un encadrement des limites l et l ’.
14 ⎛
9⎞
x ⎜ x − ⎟ 196 x 2 − 266 x + 95 ( calculs à n’effectuer qu’en cas d’insomnie ! )
125 ⎝ 14 ⎠
9
En déduire que les seules solutions de l’équation ϕ ( x ) = x sont 0 et
.
14
Conclure quant aux valeurs de l et l ’.
Que peut-on alors affirmer concernant la convergence de la suite (U n ) , et le sort réservé à nos amies
(d) On montre que ϕ ( x) − x = −
(
)
coccinelles ???
La légende de la coccinelle :
Pourquoi la coccinelle est-elle appelée «Bête à Bon Dieu» ?
Voilà l’histoire vraie…
Cela se passait au moyen-âge. Un homme condamné à mort pour un crime n’avait pas commis,
attend d’être décapité. Comment prouver son innocence, quand tout et tous l’accusent ?
Sur le billot, il voit une coccinelle, la recueille délicatement et la dépose plus loin.
Le bourreau s’approche pour lui lier les mains et procéder à son exécution.
Mais le Seigneur et sa Cour se récrient : il faut libérer cet homme, il faut lui rendre son
honneur et sa vie.
Un homme qui épargne une si petite et humble bestiole ne peut avoir commis le crime horrible
qui lui valait d’avoir la tête tranchée.
Et depuis ce jour, la coccinelle s’appelle la «Bête à Bon Dieu».
TICE
SUITES ITEREES
Fiche PROF
S14
SUITES du type Un+1 = f(Un) - UTILISATION D’UN GRAPHE
Pourquoi telle année, les sauterelles, les méduses, les souris et autres pucerons se mettent à pulluler ?
Et pourquoi l’année d’après, tout redevient paisible ? Figurez-vous que ces mystères de la nature
ressemblent étrangement aux caprices d’une petite équation du second degré ! En route vers le chaos…
Source : Proies et prédateurs, secret d’un combat – JP Boudine – Science&vie
1°) L’EQUATION MAGIQUE
On peut étudier une partie de ces situations compliquées avec un procédé simple, puisqu’il s’agit d’une fonction du
second degré : f ( x ) = 4 px (1 − x ) .
Posons que x est le nombre de coccinelles ( divisé par un million ) une certaine année, et f (x) ce nombre l’année
suivante. ( On admet que le nombre de coccinelles reste inférieur à 1 000 000.
( ex : un effectif de 355 000 coccinelles donne x = 0,355 ) . On a donc : . x réel compris entre 0 et 1.
p est un paramètre qui dépend des circonstances, comme par exemple la vitesse de reproduction des prédateurs
relativement aux proies. ( 0 < p < 1 )
Construisons une suite (U n ) de la manière suivante :
U 0 est le nombre initial, 0 < U 0 < 1 , U1 est le nombre de coccinelles au bout de 1 an, …
et U n le nombre de coccinelles au bout de n années.
2°) CREATION D’UN CURSEUR
Ouvrir le fichier GeoGebra ( S12 ), l’enregistrer sous un autre nom ; ex : NOM – TP S14 – Coccinelles )
Créer un curseur afin de faire varier le nombre p entre 0 et 1- incrément 0.01 ( voir menu + aide )
3°) ETUDE DE CAS PARTICULIERS
Modifier la fonction f ( rappel : f ( x ) = 4 px (1 − x ) )
Dans chaque cas,utiliser le fichier GeoGebra, pour observer le comportement de la suite (U n ) ,
et donc pour conjecturer l’évolution des coccinelles.
Supposons qu’il y ait 250 000 coccinelles au départ. ( U 0 = 0,25 )
Question préliminaire :
Supposons que la suite (U n ) converge. Quelles seraient les limites éventuelles ?
Notons l = lim U n ; On a : lim U n +1 = l et comme U n +1 = f (U n ) alors par passage à la limite : l = f ( l ) ;
n →+∞
n →+∞
l est donc solution de l’équation f (x ) = x donc de :
4 px (1 − x ) = x ⇔ 4 px (1 − x ) − x = 0 ⇔ x ( 4 p − 4 px − 1) = 0 ⇔ x = 0 ou 4 px = 4 p − 1
Les valeurs possibles sont donc l = 0 ou l =
4 p −1
4p
2.1 Un point attractif
cas c : p = 0,25.
b) Quel serait le sens de variation et la limite de la suite ? ( Aucune démonstration demandée )
Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles.
(U n ) semble être décroissante et converger vers 0.
Les coccinelles sont amenées à disparaître !!!
b) D’après le graphique, l’évolution de cette population dépend-elle du nombre initial de coccinelles ? non
cas d : p = 0,45.
(U n ) semble être croissante …
Quelle conjecture peut-on faire quant à la convergence de cette suite ? (U n ) convergente.
a) Quel serait le sens de variation de la suite ?
b) Quelle est la valeur α du point attractif ? α =
4 p − 1 1,8 − 1 4
=
= ≈ 0, 444...
4p
1,8
9
0 est ici un point répulsif.
c) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles.
La population de coccinelles va se stabiliser à environ 444 444 coccinelles !
Appeler le professeur pour vérifier les réponses, ainsi que le graphique .
cas e : p = 0,7.
a) Que pensez-vous du comportement de la suite ?
(U n ) n’est pas monotone…par contre la suite de rangs pairs est décroissante,
et la suite de rangs impairs décroissante …
Considérons les suites de rangs pairs et impairs.
Nous pouvons écrire : U 2 n + 2 = f (U 2 n +1 ) = f ⎡⎣ f (U 2 n ) ⎤⎦ ;
Envisageons alors la fonction ϕ définie sur [0,1] par : ϕ ( x) = f [ f ( x) ] ;
Notons que ϕ est un polynôme de degré 4 ! ( calculs non demandés ! )
Nous pouvons écrire : U 2 n + 2 = ϕ (U 2 n ) et U 2 n +3 = ϕ (U 2 n +1 ) ;
Ainsi, on observe l’évolution tous les deux ans de la même manière, et les points attractifs ou répulsifs
éventuels seraient solutions de l’équation ϕ ( x ) = x !
Sur le graphique, créer la fonction ϕ .
Y-a-t-il des points d’intersection entre la courbe de ϕ et la droite D d’équation y = x ?
Oui, 2 points : 0 et un autre α qui semble coïncider avec le point commun entre la courbe de f et D.
En fait, c’est le cas car, si f (α ) = α alors ϕ (α ) = f ( f (α ) ) = f (α ) = α .
4 p − 1 2,8 − 1 9
=
=
≈ 0, 643...
4p
2,8
14
c) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles.
La population de coccinelles va se stabiliser à environ 643 000 coccinelles !
b) Quelle est la valeur α du point attractif ? α =
Appeler le professeur pour vérifier les réponses, ainsi que le graphique .
2.2 Des cycles …
cas f : p = 0,8.
a) Considérons comme précédemment, les suites de rang pair et impair, ainsi que la fonction h.
Que pensez-vous du comportement de ces deux suites extraites ?
La suite des termes de rangs impairs semble être décroissante à partir du rang 3, et converger vers un réel
β ;
La suite des termes de rangs pairs semble être croissante, et converger vers un autre réel γ ;
Ces 2 réels sont solutions de l’équation ϕ ( x ) = x .
Combien observez-vous de points d’intersection entre la courbe de h et la droite D d’équation y = x ?
4 p − 1 3, 2 − 1 11
4 points : 0 , α , β et γ . On a α =
=
=
≈ 0, 6875
4p
3, 2
16
Ces points ( appelés points fixes ) sont-ils, selon vous, attractifs ou répulsifs ?
Attractifs : β et γ .
Répulsifs : 0 et α
b) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles.
Les années paires seront très rapidement des années à coccinelles …( environ 800 000 coccinelles ! )
Les coccinelles seront moins nombreuses les années impaires …( environ 500 000 coccinelles ! )
On parle ici de 2-cycle …
cas g : p = 0,88.
n
Un
Un
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
0,250
0,660
0,790
0,584
0,855
0,436
0,866
0,409
0,851
0,446
0,870
0,398
0,844
0,464
0,875
0,384
0,832
0,491
0,880
0,372
0,823
0,513
0,879
0,373
0,824
0,511
0,880
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
0,879
0,400
0,845
0,462
0,875
0,386
0,834
0,488
0,879
0,373
0,823
0,512
0,880
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
0,879
0,373
0,823
0,512
a) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles en prenant U 0 = 0,25.
Il semble que ce soit l’anarchie… pas de tendance pour les coccinelles !
Utiliser un tableur pour calculer les 100 premiers termes de la suite …
Votre observation est-elle confirmée ? Qu’observe-t’on ?
NON , il y aurait un cycle de 4 ans … ( après 26 ans )
b) Prenons U 0 = 0,4. Qu’observe-t’on ? Utiliser le tableur pour vérifier.
il y aurait encore un cycle de 4 ans …
les valeurs sont 0,879 – 0,373 – 0,823 – 0,512
ce qu’on peut interprêter :
année n : invasion de coccinelles
année n+1 : invasion de pucerons
année n+2 : invasion de coccinelles
année n+3 : équilibre pucerons – coccinelles
… et ça recommence ….
Nous allons naturellement considérer la fonction Φ = f D f D f D f = ϕ D ϕ . ( donc Φ ( x) = ϕ [ϕ ( x) ] )
Construire la courbe de Φ .
Combien observez-vous de points fixes ? 8 points fixes
et parmi eux, combien de points attractifs ? 4 points fixes attractifs 0,88 – 0,37 – 0,82 – 0,51
Donnez, grâce au tableur, les valeurs approchées de ces points. On parle ici de 4-cycle …
2.3 Le chaos …
cas h : p = 1.
4 p −1 4 −1 3
=
= = 0, 75
4p
4
4
a) Formuler une conjecture sur l’évolution de la population de coccinelles lorsque U 0 = 0,25.
Calculer les premiers termes.
α=
(U n ) convergente vers 0,75.
La population de coccinelles va se
stabiliser à environ 750 000 individus.
U 0 = 0, 25 ; U1 = 0, 75 ; U 2 = 0, 75 …
la suite est constante à partir du rang 1.
b) U 0 = 0,5 ?
(U n ) convergente vers 0.
La population de coccinelles va
disparaître !!!
U 0 = 0,5 ; U1 = 1 ; U 2 = 0 , U 3 = 0 …
la suite est constante à partir du rang 2.
c) Et lorsque U 0 = 0,3 ?
Anarchie … mais on ne peut rien affirmer !
Appeler le professeur pour vérifier les réponses, ainsi que le graphique .