doccontraintes - mms2
download 
Plainte Transcription
contraintes - mms2
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé CONTRAINTES MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ? Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Il faut utiliser le tenseur des contraintes MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction t Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes F Contraintes normale et tangentielle Ω ΩA Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Efforts de cohésion dans ΩA (dus à la déformation) Densité volumique de forces F Efforts de Ω sur ΩA (provoquant la déformation) Densité surfacique de forces t MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base C(t) Théorème de l’action et de la réaction t Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes P Signification physique des contraintes F Ω ΩA Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume x Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé F dv = t ds ΩA ∂ΩA F∧x dv = t ∧x ds ΩA ∂ΩA F = div(σ) t = σ.n σ = σt Tenseur des contraintes Vecteur contrainte Le tenseur des contraintes est symétrique MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte n Différents tenseurs des contraintes t df Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé t = lim ds -> 0 df ds Le vecteur contrainte n ’est pas forcément porté par la normale à cette surface. MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS df = σ.ds CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Cauchy (eulérien, symétrique) Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique) Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Piola-Lagrange Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé vecteur contraintes surface MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Contrainte normale Contrainte tangentielle Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte σn n t Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle σt Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume b ds Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé σn = t . n = σij ni nj σt = t . b = σij bi nj ou σt b = t - σn n MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes ∂ΩT Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction n T Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes ∂Ω Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Ω Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Vecteur contrainte T connu sur la partie ∂ΩT de ∂Ω t=T σ.n = T MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Dans un repère orthonormé (Oxyz) : Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte n 0 0 1 σzz Signification physique des contraintes Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces σzy σzx Contraintes normale et tangentielle Équations d’équilibre σyz σxz Différents tenseurs des contraintes t σxx σyx σxy Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé σ= σxx σxy σxz σyx σyy σyz σzx σzy σzz σyy MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Ω Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte ΩA Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé actions sur ΩA par le milieu extérieur - vecteur contrainte t - forces de volume fv MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général ∂Ω Tenseur des contraintes Ω ργγ Ω Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé σ Ω ργγ Ω σ ργγ MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ∧ ∂Ω CONTRAINTES ∧ Ω ργγ∧ Ω Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan σ Résumé ργγ ∧ σ σ ) Ω Ω équilibre des forces symétrie du tenseur des contraintes MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction σ = σt Dans le repère « principal » : Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé σ= σI 0 0 0 σII 0 0 0 σIII Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Contraintes principales MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général contrainte moyenne : Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes σ= Signification physique des contraintes σ11 σ12 σ13 σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33 σ tr σ Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé déviateur des contraintes : Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé S= σ11 - σm σ12 σ13 σ21 σ22 - σm σ23 σ31 σ32 σ33 - σm symétrique de trace nulle MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes contrainte équivalente de von Mises : Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes σ= 3 2 Sij Sij Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé contrainte équivalente de Tresca : Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé σ = Sup(|σI -σII|, |σII -σIII|, |σI -σIII|) MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = σ . n avec σ = σ ( X, t) équations d’équilibre : σij,j + fvi = ργi conditions aux limites : σ.n=T sur ∂ΩT
