Projet de recherche

Projet de recherche
Anne-Laure Dalibard
Concours CNRS N°01/05
Dans les années à venir, je compte développer trois grands axes de recherche, classés ici par ordre décroissant d’importance du temps que je souhaite leur consacrer. Le
premier et le deuxième thème sont partiellement liés : il s’agit respectivement d’étudier des modèles de fluides géophysiques et de rugosité en mécanique des fluides. Le
troisième volet de ce programme de recherche est indépendant des autres, et porte
sur le comportement en temps long des solutions de lois de conservation scalaires.
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Étude de fluides géophysiques
Le but de cette première thématique de recherche est d’étudier mathématiquement le comportement des fluides géophysiques. Cette question se situe dans la
continuité des travaux que j’ai effectués après la fin de ma thèse, et qui ont donné
lieu à la rédaction de trois articles de recherche, dont deux en collaboration avec
Laure Saint-Raymond.
Les modèles considérés décrivent l’évolution des fluides océaniques ou atmosphériques dans un référentiel terrestre en rotation, sur des domaines qui s’étendent
horizontalement sur plusieurs milliers de kilomètres, et verticalement sur quelques
kilomètres. Les forces qui s’exercent sur le système sont la force de Coriolis et la
force de pesanteur. Ces deux forces se compensent, créant ainsi un équilibre dit
« géostrophique », autour duquel apparaissent de petites oscillations. La compréhension de ce mécanisme de compensation et la description des fluctuations autour
de l’équilibre sont deux enjeux majeurs de la modélisation. Du point de vue mathématique, l’évolution du système (océan ou atmosphère) est régie par les équations
de la mécanique des fluides, portant sur la densité, la vitesse, l’énergie volumique ou
la température du fluide. Ce système d’équations est ensuite réduit à l’aide d’équations d’état ou d’approximations physiques qui dépendent de la situation étudiée
(voir [14]). À titre d’exemple, une approximation classique consiste à supposer que
le fluide est homogène, ou encore que la zone géographique considérée se situe sous
des latitudes tempérées, de sorte que l’on peut négliger les variations spatiales (dans
les coordonnées locales) du vecteur de rotation de la Terre.
Objectifs généraux et outils. Le but est, dans un premier temps, de montrer l’existence de solutions du système réduit, puis de passer à la limite lorsque le
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U
tend vers zéro, où U (resp. L) est une vitesse (resp.
2|Ω|L
une distance) horizontale caractéristique du mouvement, et |Ω| est la vitesse de rotation de la Terre. Cette limite correspond donc à des situations où la vitesse de
rotation de la Terre est grande devant la vitesse angulaire caractéristique du fluide ;
pour l’Atlantique occidental, par exemple, on a ε ' 10−3 , et cette approximation est
justifiée.
Ce type d’étude s’apparente donc à des problèmes de perturbation singulière ; dès
lors, la première étape en vue du passage à la limite consiste à étudier le spectre de
l’opérateur de pénalisation, et les ondes associées à celui-ci. Le système limite est
ensuite obtenu grâce à des méthodes de filtrage, introduites indépendamment par
Emmanuel Grenier [16] et Steven Schochet [18]. Enfin, les preuves de convergence
nécessitent de construire une solution approchée, dont on montre qu’elle est proche
de la solution du problème de départ grâce à des estimations d’énergie. Cette solution
approchée se décompose en général d’un terme dit intérieur, qui est solution de
l’équation filtrée et qui tient compte de la donnée initiale, et de termes de couches
limites, qui rétablissent les conditions aux bords éventuellement violées par le terme
intérieur. Cette méthode générale a été appliquée avec succès dans plusieurs modèles
de fluides géophysiques (homogènes avec un vecteur rotation homogène pour la très
grande majorité) ; on pourra par exemple se référer à [4, 14].
petit paramètre ε :=
Quelques problèmes plus précis. Dans l’article [8], puis dans [9] en collaboration avec Laure Saint-Raymond, j’ai étudié le forçage par le vent de courants
océaniques. Nous avons mené à bien le programme évoqué ci-dessus, mais sous des
hypothèses assez fortes : en particulier, le fluide ainsi que le vecteur rotation de la
Terre sont tous deux supposés homogènes. Or les océanographes s’attendent à ce
que plusieurs effets remarquables du forçage par le vent ne soient visibles que dans
des modèles tenant compte des variations du vecteur rotation de la Terre. Un premier but à moyen terme sera de généraliser les résultats de [8, 9] au cas du modèle
β-plan, pour lequel on prend une approximation affine (et non constante) pour le
vecteur rotation de la Terre. Ce type d’étude a déjà été réalisé par Isabelle Gallagher et Laure Saint-Raymond dans [13], où les auteurs étudient le modèle β-plan au
voisinage des zones équatoriales (sans forçage par le vent).
Après cela, une généralisation supplémentaire consistera à considérer des modèles dépendant de la densité. En effet, la stratification des fluides océaniques
- c’est-à-dire la répartition du fluide en couches d’isodensité superposées - joue un
rôle primordial dans l’équilibre et dans la dynamique, et il serait donc intéressant
de disposer d’une méthode systématique pour étudier ces phénomènes. Pour cela,
les travaux de Raphaël Danchin (voir par exemple [10, 11]) sont un point de départ
possible.
Enfin, la prise en compte de conditions aux bords réalistes est un autre enjeu
important de la modélisation. Dans cette optique, des liens se tisseront naturellement avec mon deuxième axe de recherche, les modèles de rugosité en mécanique
des fluides : dans le contexte de l’océanographie, l’objectif sera d’étudier les consé-
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quences sur la dynamique globale des irrégularités des fonds marins ou des côtes.
Plus précisement, je compte m’intéresser aux effets de la rugosité sur les couches limites. Des études ont déjà été menées par David Gérard-Varet [15] et David Gérard
Varet et Didier Bresch [3] pour des profils périodiques de rugosité, et le but sera dans
un premier temps de généraliser leurs travaux à un cadre aléatoire et stationnaire.
Environnement scientifique. Je participe au groupe de travail « MathsOcéano », mis en place par Laure Saint-Raymond à la rentrée septembre 2007, grâce
auquel je suis en contact régulier avec des mathématiciens spécialistes du domaine
(Laure Saint-Raymond, Isabelle Gallagher, David Gérard-Varet...) ainsi qu’avec des
océanographes. Ainsi, lors de la première séance, Bach Lien-Hua (Ifremer) a soulevé
plusieurs questions liées au forçage des courants marins par le vent, ce qui a permis
de dégager quelques unes des problématiques exposées plus haut.
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Modèles de rugosité en mécanique des fluides
Le but de ce deuxième axe de recherche est de comprendre les effets d’une paroi rugueuse sur la dynamique d’un fluide au contact de celle-ci. Outre les questions liées à l’océanographie, mentionnées dans la première partie, il s’agit d’étudier
par exemple des problèmes de microfluidique. Cette thématique de recherche est en
grande partie nouvelle pour moi, mais se rapproche néanmoins des travaux que j’ai
effectués dans ma thèse, puisque la modélisation des rugosités se traduit souvent
mathématiquement par des problèmes d’homogénéisation.
Motivations physiques. La problématique est d’obtenir une description précise des propriétés de glissement d’un fluide sur une surface rugueuse. Il semble
naturel, et il est de fait communément admis, que la rugosité augmente les effets
de friction sur le bord de la paroi, allant jusqu’à supprimer toutes les propriétés de
glissement au niveau macroscopique. Néanmoins, des expériences et des simulations
récentes (voir par exemple [5]) indiquent au contraire que pour certaines surfaces
hydrophobes et très rugueuses, soumises à de faibles pressions, les irrégularités de
la surface améliorent les propriétés de glissement. Ce phénomène s’explique par la
formation d’une interface composite : des poches d’air s’immiscent dans les creux
des aspérités de la surface, et le fluide glisse sur ce coussin d’air au lieu d’être au
contact direct de la paroi. La minimisation des effets de friction est un enjeu industriel primordial, car l’énergie dissipée pour faire passer un fluide visqueux dans des
microcanaux est considérable. Toutefois, il semble difficile pour l’instant de quantifier
ces propriétés de glissement à l’aide d’une loi empirique, car les résultats expérimentaux, par ailleurs peu nombreux, sont très disparates. D’après les physiciens, ces
différences quantitatives pourraient s’expliquer par des propriétés de mouillage variables d’une expérience à l’autre, ou par la formation de « nano-bulles » à l’interface
fluide/paroi. Disposer d’études mathématiques approfondies sur le sujet permettrait
de trancher entre ces différents points de vue, et de mieux comprendre le phénomène
de glissement.
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D’autre part, dans l’idée d’accentuer l’effet de ce glissement, on peut utiliser un
procédé d’électrophorèse pour concentrer l’écoulement dans une couche limite près
de la surface rugueuse « glissante ». Un deuxième objectif sera de décrire mathématiquement ce phénomène de couche limite.
Modélisation et outils mathématiques. D’un point de vue formel, la
rugosité de la surface peut être modélisée d’au moins deux façons : soit par le manque
de régularité de la fonction représentant la surface, soit par son caractère fortement
oscillant. Je compte me concentrer plutôt sur le deuxième aspect, ce qui conduit
donc à représenter une surface rugueuse par une équation du type
x y
, (x, y, z) ∈ R3 ,
z = f x, y, ,
ε ε
où ε est un petit paramètre. Une hypothèse classique consiste à supposer que la
fonction f est périodique mais en général, les rugosités sont dûes à des défauts de
fabrication de la paroi, par exemple, et il semble donc plus réaliste de supposer
que la fonction f est aléatoire. Je serai donc naturellement amenée à étudier des
problèmes d’homogénéisation stochastique de systèmes fluides. Pour cela,
mes travaux antérieurs sur l’homogénéisation stochastique d’équations de transport
(voir [7]), ainsi que sur le forçage aléatoire par le vent de courants océaniques (voir
[8]), seront des atouts certains. En passant à la limite lorsque le petit paramètre
ε tend vers zéro, on espère trouver une condition aux limites effective, appelée loi
de paroi. Ce type d’étude a été mené par exemple par David Gérard-Varet dans
[17], pour des conditions aux limites de type Dirichlet. Compte tenu des motivations
physiques exposées plus haut, mon but est de généraliser ce travail à des conditions
aux limites mixtes, afin de prendre en compte les bulles qui se forment dans les
cavités de la surface. Un point de départ possible serait de considérer des conditions
de type Neumann dans les zones où le fluide est en contact avec une bulle d’air, et
Dirichlet pour l’interface fluide/paroi. Cette étude devrait spontanément conduire à
étudier des phénomènes de couches limites, ce qui facilitera sans doute l’attaque du
deuxième point mentionné plus haut.
Environnement scientifique. David Gérard-Varet (CNRS, DMA-UMR 8553,
École normale supérieure) m’a proposé de participer à un projet ANR-Jeunes chercheurs, sur les modèles de rugosité en mécanique des fluides. La demande de projet
sera déposée autour du mois de mars 2008, et si celui-ci est accepté, l’équipe comportera des mathématiciens « numériciens » et « théoriciens ».
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Comportement en temps long de solutions de lois
de conservation scalaires
Cette partie de mon projet de recherche est totalement indépendante des deux
premières ; mon intérêt pour ces questions est né de discussions avec Denis Serre. Il
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s’agit d’étudier le comportement en temps long de solutions entropiques de lois de
conservation visqueuses ou hyperboliques. Dans un premier temps, je me concentrerai sur l’étude du système
∂u
+ divx A(x, u(t, x)) − ∆x u = 0,
∂t
u(t = 0) = u0 ∈ L∞ (TN ).
t > 0, x ∈ TN
(1)
(2)
Connaître le comportement lorsque t → ∞ de u(t) est une question directement
inspirée de certains de mes travaux de thèse, et j’y ai d’ailleurs consacré l’un de mes
articles. J’ai démontré, sous certaines hypothèses sur le flux et à condition que la
donnée initiale soit comprise entre deux solutions stationnaires de la loi (1), que la
famille u(t) converge exponentiellement vite vers une solution stationnaire de (1). Le
but ici sera donc de comprendre dans quelle mesure ce résultat peut être généralisé
à des classes plus grandes de données initiales.
Dans un second temps, je compte m’intéresser à un problème similaire, mais sans
doute plus difficile en raison de son hyperbolicité. En effet, il s’agit de comprendre
la nature du comportement en temps long de la solution du système
∂u
+ divx A(x, u(t, x)) = 0,
∂t
u(t = 0) = u0 ∈ L∞ (Ω),
t > 0, x ∈ Ω
(3)
(4)
où Ω = TN ou RN . À ma connaissance, ce type de comportement asymptotique a été
étudié majoritairement dans le cas homogène ; l’hypothèse classique sur le flux A est
alors une condition de convexité, sous laquelle on démontre qu’il y a convergence vers
une solution stationnaire de (3) (voir par exemple [12], [19], ainsi que l’ouvrage de
C. Dafermos [6]). Il est important de souligner que la seule non-linéarité du flux est
insuffisante pour obtenir ce résultat, comme le montre un contre-exemple de Debora
Amadori et Denis Serre dans [1] : les auteurs construisent, pour un flux A particulier,
non linéaire et non convexe, une solution périodique en temps et en espace de (3).
Dès lors, la solution de (3) ne peut converger vers un état stationnaire pour toute
donnée initiale. La convexité est donc une condition cruciale en dimension un, et il
faudra dégager des hypothèses non triviales en dimension supérieure.
Objectifs précis et pistes possibles. Dans le cas visqueux, supposer que
la donnée initiale est comprise entre deux solutions stationnaires est une hypothèse
relativement classique dans un cadre parabolique ; on pourra par exemple se référer
à [19], ou encore à [2]. Néanmoins, dans [19], les résultats de convergence sont généralisés à des profils quelconques de donnée initiale, ce qui laisse penser que le même
type d’étude peut être entrepris ici. Je commencerai par étudier le cas où le flux A est
de la forme A(y, v) = ∇φ(y)g(v), où φ est périodique. En effet, de nombreux calculs
explicites sont possibles dans ce cas, et en particulier, la forme des états stationnaires est connue. Il semble donc plus accessible d’obtenir des conditions nécessaires
et suffisantes de convergence dans ce cadre. D’un point de vue mathématique, le
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phénomène de convergence est dû à des propriétés de dissipation par diffusion : les
parties de la solution u(t) qui se trouvent respectivement au-dessus et en-dessous du
profil stationnaire ont tendance à décroître avec le temps.
Quant au cas hyperbolique, le type de résultat que je souhaite généraliser dans
un premier temps est celui obtenu par D. Amadori et D. Serre dans [1] : ces auteurs
considèrent un flux A du type A(y, v) = f (v)−V (y), avec V périodique, en dimension
1. Sous une hypothèse de convexité de f , ils montrent que u(t) converge quand t → ∞
vers une solution stationnaire de (3) ; sous une hypothèse supplémentaire sur V , cet
état stationnaire peut être déterminé de façon unique en fonction de u0 .
Ce projet nécessite donc de connaître les états stationnaires de la loi (4) ; toutefois, on peut diviser la preuve de [1] en deux étapes. La première s’appuie des
arguments de systèmes dynamiques, et ne fait pas appel à la forme des solutions
stationnaires de (3). On peut donc imaginer que l’on puisse généraliser les résultats de cette première partie en dimension supérieure (c’est-à-dire pour un flux
A(y, v) = f (v) − V (y), avec N ≥ 2) en admettant l’existence de solutions stationnaires. La seconde partie, en revanche, repose sur une étude précise des solutions
stationnaires, ainsi que sur la structure des chocs de (3)-(4) en dimension un. Pour
cette partie, il faudra donc vraisemblablement mettre en place d’autres arguments,
ou commencer par étudier les solutions stationnaires de (3). En ce qui concerne
ce dernier point, je dispose déjà de résultats partiels : si les solutions stationnaires vérifient des estimations a priori dans Lp , avec p suffisamment grand, alors l’existence
découle d’un résultat de compacité, pourvu que le flux soit non linéaire. L’argument repose sur l’utilisation de lemmes de moyenne pour une formulation cinétique.
Le point essentiel est donc d’obtenir des bornes a priori sur les solutions stationnaires, mais pour l’instant, de telles bornes ne sont connues que dans des cas très
particuliers, essentiellement en dimensions un et deux.
Références
[1] Debora Amadori and Denis Serre, Asymptotic behavior of solutions to conservation laws with periodic forcing, J. Hyperbolic Differ. Equ. 3 (2006), no. 2,
387–401.
[2] Adrien Blanchet, Matteo Bonforte, Jean Dolbeault, Gabriele Grillo, and JuanLuis Vazquez, Asymptotics of the fast diffusion equation via entropy estimates,
Arch. Rat. Mech. Anal., à paraître.
[3] Didier Bresch and David Gérard-Varet, Roughness-induced effects on the quasigeostrophic model, Comm. Math. Phys. 253 (2005), no. 1, 81–119.
[4] Jean-Yves Chemin, Benoît Desjardins, Isabelle Gallagher, and Emmanuel Grenier, Mathematical geophysics, Oxford Lecture Series in Mathematics and its
Applications, vol. 32, The Clarendon Press Oxford University Press, Oxford,
2006, An introduction to rotating fluids and the Navier-Stokes equations.
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[5] Cécile Cottin-Bizonne, Jean-Louis Barrat, Lydéric Bocquet, and Élisabeth
Charlaix, Low-friction flows of liquid at nanopatterned interfaces, Nature materials 2 (2003), 237–240.
[6] Constantine M. Dafermos, Hyperbolic conservation laws in Continuum Physics,
Grundlehren Mathematischen Wissenschaften, no. GM 325, Springer-Verlag,
Berlin, Heidelberg, New York, 1999.
[7] Anne-Laure Dalibard, Homogenization of linear transport equations in a stationary ergodic setting, Comm. Partial Differential Equations (2007), accepté.
[8]
, Asymptotic behavior of a rapidly rotating fluid with random stationary
surface stress, prépublication, 2008.
[9] Anne-Laure Dalibard and Laure Saint Raymond, Mathematical study of resonant wind-driven oceanic motions, prépublication, 2008.
[10] Raphaël Danchin, Local and global well-posedness results for flows of inhomogeneous viscous fluids, Adv. Differential Equations 9 (2004), no. 3-4, 353–386.
[11]
, The inviscid limit for density-dependent incompressible fluids, Ann.
Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 15 (2006), no. 4, 637–688.
[12] Bjorn Engquist and Weinan E, Large time behavior and homogenization of solutions of two-dimensional conservation laws, Comm. Pure Appl. Math (1993),
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[13] Isabelle Gallagher and Laure Saint-Raymond, Mathematical study of the betaplane model : equatorial waves and convergence results, Mémoires de la Société
Mathématique de France, à paraître.
[14]
, On the influence of the earth’s rotation on geophysical flows, Handbook
of Mathematical Fluid Dynamics (Susan Friedlander and Denis Serre, eds.),
vol. 4, Elsevier, 2007.
[15] David Gérard-Varet, Highly rotating fluids in rough domains, J. Math. Pures
Appl. (9) 82 (2003), no. 11, 1453–1498.
[16] Emmanuel Grenier, Oscillatory perturbations of the Navier-Stokes equations, J.
Math. Pures Appl. (9) 76 (1997), no. 6, 477–498.
[17] David Gérard-Varet, The Navier wall law at a boundary with random roughness,
soumis, 2007.
[18] Steven Schochet, Fast singular limits of hyperbolic PDEs, J. Differential Equations 114 (1994), no. 2, 476–512.
[19] Denis Serre, L1 -stability of nonlinear waves in scalar conservation laws, Evolutionary equations. Vol. I, Handb. Differ. Equ., North-Holland, Amsterdam,
2004, pp. 473–553.
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