Energie mécanique - GIPSA-Lab

Energie mécanique
Mécanique: chapitre 4
1. TRAVAIL ET PUISSANCE
1.1 Travail élémentaire d’une force appliquée à un point matériel
Le travail élémentaire d’une force appliquée à un point matériel est égal au produit scalaire
de cette force par le déplacement élémentaire.
r
F
r
dW = F ⋅ dl
dW = F ⋅ dl ⋅ cosθ
M
A
Unité: Joule
Au point M
Au point N
Au point P
Au point Q
Au point R
r
F
r
F
θ
θ
dl
dl
N
dl
θ=
P
dl
r
F
π
2
Q
R
dl
π
Travail moteur
cos θ > 0 dW > 0
2
π
θ>
cos θ < 0 dW < 0 Travail résistant
2
π
Travail nul
θ=
cos θ = 0 dW = 0
2
Travail moteur maximum
θ=0
cos θ = 1
θ<
θ=π
cos θ = −1
Travail résistant (maximum en valeur absolue)
r
F
B
1.2 Travail d’une force au cours d’un déplacement
Le travail de la force au cours du déplacement du point A au point B est donné par intégration
du travail élémentaire tout le long du parcours.
B
∫
W AB =
r
F
r
F ⋅ dl
B
θ
M
A
Remarques
Au cours du déplacement de A à B:
¾ l’angle θ peut varier
¾ le module de la force peut varier
A
dl
Exemple 1
Force constante, parallèle au déplacement
et dans le sens du déplacement
θ=0
A
F
tout le long du déplacement
B
W AB =
∫
A
r
F ⋅ dl =
B
B
L
B
∫
F ⋅ dl =F ⋅ dl =F ⋅ [l ]0L
∫
A
A
W AB = F ⋅ L
WAB > 0 Travail moteur
Exemple 2
Force constante, parallèle au déplacement
et dans le sens opposé au déplacement
θ=π
W AB =
∫
r
F ⋅ dl =
A
=
∫
A
L
B
∫ F ⋅ cos π ⋅ dl
A
W AB = − F ⋅ L WAB < 0 Travail résistant
B
∫
F ⋅ ( −1) ⋅ dl = − F ⋅ dl = − F ⋅ [l ]0L
A
A
F
Exemple 3
Force constante, perpendiculaire au déplacement
θ=
B
tout le long du déplacement
B
B
F
π
2
W AB =
∫
r
F ⋅ dl =
B
∫
A
=
∫ F ⋅ (0) ⋅ dl = 0
A
B
tout le long du déplacement
B
B
A
A
π
F ⋅ cos ⋅ dl
2
L
W AB = 0
WAB = 0 Travail nul
Exemple 4
Force constante,en module, sens et direction
la trajectoire est un arc de cercle
WAB =
B
F
A
θ=
∫ F ⋅ dl
dl = R ⋅ dθ
Déplacement le long du cercle
π
2
W AB =
π
2
F
B
θ
∫ F ⋅ R ⋅ cos θ ⋅dθ
0
π
2
= F ⋅R⋅
∫
0
R
π
cos θ ⋅dθ = F ⋅ R ⋅ sin θ 02 = F ⋅ R ⋅ 1 − 0
[
]
W AB = F ⋅ R
[
F
]
θ
θ=0
Exemple 5
La force n’est plus constante (interaction de deux charges)
k
F= 2
x
B
W AB =
∫
A
xB
=
∫
xA
k >0
r
F ⋅ dl =
A
O
xA
F
:
xB
xB
∫ F ⋅ cos 0 ⋅ dx
xA
x
⎡ 1
1 ⎤
⎡ 1⎤ B
=
⋅
−
+
⋅
=
⋅
−
dx
k
k
⎢ x
⎥
⎢⎣ x ⎥⎦
x
x2
A⎦
⎣ B
xA
k
M
⎡ 1
1 ⎤
−
W AB = k ⋅ ⎢
⎥
⎣ x A xB ⎦
WAB > 0 Travail moteur
B
1.2 Travail d’une force appliquée à un solide en rotation
On considère la force appliquée à un treuil.
On suppose que:
¾ le module de la force est constant
¾ la force est continuellement tangente
à la trajectoire circulaire
F
M
θB − θ A
B
A
θB
θA
B
WAB =
∫ F ⋅ dl
Δ
R
A
Déplacement le long du cercle
θB
WAB =
∫
θA
dl = R ⋅ dθ
θB
F ⋅ R ⋅dθ = F ⋅ R ⋅
∫
dθ = F ⋅ R ⋅ [θ]θθ B = F ⋅ R ⋅ [θ B − θ A ]
θA
A
F ⋅ R = moment de la force par rapport à l’axe de rotation Δ M = F ⋅ R
WAB = M ⋅ ( θ B − θ A )
Le travail de la force est égal au produit de son moment par rapport à l’axe, multiplié par l’angle
de rotation (exprimé en radian)
1.3 Travail d’un couple
F1
W 1= F ⋅ R ⋅ ( θ B − θ A )
Travail de F2
W2 = F ⋅ R ⋅ ( θ B − θ A )
Travail de
F1
θB − θ A
B
θA
R
Δ
A’
B’
Moment du couple de forces
M Δ = 2F ⋅ R
Travail du couple de forces
A
θB
Travail du couple de forces
W = W1 + W2
= 2 F ⋅ R ⋅ (θB − θ A )
M1
M2
θB − θ A
F2
W = M Δ ⋅ (θB − θ A )
Le travail d’un couple dont le plan est perpendiculaire à l’axe de rotation est égal au produit de
son moment par l’angle de rotation, exprimé en radian.
1.2 Puissance d’une force
Les expressions précédentes du travail, pour une force ou pour un couple de forces, ne font pas
intervenir le temps.
Seuls interviennent:
• Pour une force:
• la trajectoire
• le module de la force
• leur orientation respective à tout moment (angle θ)
• Pour un couple de forces
• l’angle de rotation
• le module du moment du couple
En particulier, la vitesse de déplacement du point matériel, ou la vitesse de rotation autour
de l’axe n’apparaissent pas
Puissance d’une force, P: la dérivée par rapport au temps de l’expression du travail
dW
dt
dW = F ⋅ dl
P=F⋅
dl
dt
P = F ⋅V
Dans le cas d’un couple
dW = M ⋅ dθ
P=M
dθ
dt
P = M ⋅ω
P=
Unité:Watt
2. ENERGIE CINÉTIQUE
2.1 Energie cinétique d’un point matériel
C’est le produit de la masse du point matériel par le carré du module de sa vitesse
2
1
Ec = m ⋅ V
2
z
V
Unité: Joule
L’énergie cinétique est toujours POSITIVE
M
O
x
m
y
2.2 Energie cinétique d’un ensemble de N points matériels
Exemple: N points, A1, A2,……. AN
Masses
m1, m2 ,...mN
Vitesses
V1,V2 ,...VN
L’énergie cinétique totale est
la somme des énergies
cinétiques de chacun des points
z
V2
Ec =
∑
i =1
2
1
mi Vi
2
A4
m4
A1
O
x
A3
m3
V1
m1
N
A2
m2
V4
y
VN
V3
AN
mN
2.3 Distribution continue de points matériels: solide
L’énergie cinétique d’un solide est la somme des énergies cinétiques des éléments matériels
qui le composent
2.3.1 Solide en translation
Tous les points se déplacent à la même vitesse, égale à celle du centre de gravité
N
Ec , t =
∑
i =1
2
1
mi V
2
z
A4
N
⎞ 2
1 ⎛⎜
Ec , t =
mi ⎟ V
⎟
2⎜
⎝ i =1 ⎠
∑
N
M=
∑
mi
V A1
G
V
A3
Masse totale
V
i =1
O
2
1
Ec , t = M V
2
V
A2
y
x
L’énergie cinétique d'un solide en translation est égale à celle de son centre de gravité,
auquel toute la masse serait appliquée.
Exemple: train de 200 tonnes, vitesse 57,6 km/h
57,6 × 103
V =
= 16 m.s-1
3600
Ecin =
1
mV 2
2
Ecin =
1
200 × 103 ⋅ (16) 2 = 25,6 × 106 Joule
2
V
2.3.2 Solide en rotation autour d’un axe
Tous les points ont la même vitesse angulaire, ω
Δ
V1 = r1 ⋅ ω
ω
V2 = r2 ⋅ ω
r3
A3
V3 = r3 ⋅ ω
V3
r1
Ec =
A1
)
(
1
m1 ⋅ r12 + m2 ⋅ r22 + m3 ⋅ r32 + ... ⋅ ω2
2
Moment d’inertie
r2
J = m1 ⋅ r12 + m2 ⋅ r22 + m3 ⋅ r32 + ....
V2
A3
1
1
m1V12 = m1r12ω2
2
2
1
1
m2V12 = m2 r22ω2
2
2
1
1
m3V32 = m3r32ω2
2
2
Ec , t =
1
MV 2
2
CORRESPONDANCE
Ec , r =
Exemple: Rotor 20 kg; rayon 10 cm; vitesse 2400 tours/mn
ω=
2400 ⋅ 2π
= 25,15rad / s
60
J=
1
20 ⋅ (0,1)2 = 0,1kgm 2
2
Ec,r = 0,1 ⋅ (2(,15)2 = 63,25Joule
1
J ⋅ ω2
2
2.3.3 Cas général
Le mouvement se décompose:
• Mouvement du centre de gravité, considéré comme un point matériel de même masse que le solide
• Rotation autour d’un axe passant par le centre de gravité
Ec = Ec , t + Ec , r
1
1
Ec = MV 2 + Jω2
2
2
Exemple: bille sur un plan incliné
R
ϕ
G
VG =
dx
dϕ
=R
= Rω
dt
dt
Ec =
1
1
MVG2 + Jω2
2
2
V
ω= G
R
2
MR 2
5
2
1
1
1
2 12
2 VG
Ec = MVG +
MR 2 = MVG2 + MVG2
2
25
2
5
R
J=
VG
x
Ec =
7
MVG2
10
M = 30 g, V = 3 m/s
EC = 0,19 Joule
2.4 Théorème de l’énergie cinétique
La variation de l’énergie cinétique totale d’un solide entre deux instants donnés est égale
à la somme algébrique des travaux effectués entre ces instants par toutes les forces
extérieures qui agissent sur le solide
Exemple :
Un camion de 7 tonnes, partant du repos, atteint la vitesse de 72 km/h en parcourant 500 m,
d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Trouver la résultante des forces qui agissent
sur le camion au cours du déplacement.
At=0
Ec ( 0) = 0
Après 500 m
1
Ec = mV 2
2
72 ⋅ 103
V=
= 20 m/s
3600
Ec =
1
(7 × 103 )( 20)2 = 14 × 105 Joules
2
L’accélération est constante, donc la résultante des forces aussi.
Travail des forces
W
F=
L
W = F ⋅L
14 × 105
F=
= 2800 N
500
Pour augmenter de 1°C une masse d’eau de 1 kg, il faut 4180 Joules. L’énergie cinétique du camion,
restituée au cours d’un freinage jusqu’à l’arrêt complet permettrait d’élever de 33°C une masse
d’eau de 10 kg.
⎛ dv ⎞
m⎜ ⎟.v = ∑ F .v
⎝ dt ⎠
or
1 ⎛ dv 2 ⎞ dEc
⎛ dv ⎞
⎟=
m⎜ ⎟.v = m⎜⎜
2 ⎝ dt ⎟⎠ dt
⎝ dt ⎠
⎛ dl ⎞ d ( F .l )
∑ F .v = ∑ F .⎜⎝ dt ⎟⎠ = ∑dt
donc
dEc d (∑ F .l )
=
dt
dt
ANNEXE
ANNEXE
ANNEXE
donc
ANNEXE
On a (relation fondamentale de la dynamique)
r
r
⎛ dv ⎞
m⎜ ⎟ = ∑ F
⎝ dt ⎠
ANNEXE
Preuve (en scalaire)
[Ec ]BA = [W ]BA
ANNEXE
Ce qui donne en intégrant :
3. ENERGIE POTENTIELLE
On dit qu’une force est conservative, ou encore qu’elle dérive d’un potentiel si son travail
ne dépend que de la position initiale et de la position finale de son point d’application.
B
WAB =
∫ F ⋅ dl =E p ( A) − E p ( B)
E p (B )
B
y
A
E p ( A) et E p (B ) sont les valeurs prises
dl
M2
aux points A et B par une fonction
E p ( x, y , z ) appelée énergie potentielle
O
B
Une dimension:
WAB =
E p ( A)
A
M1
dl
∫ F ( x) ⋅ dx =E p ( A) − E p ( B)
Le travail effectué par la force du point A au point B est indépendant du chemin suivi
La force
f ( xB ) − f ( x A ) =
B df
∫A dx
F (x ) est la dérivée du potentiel E p (x )
dx
F ( x) = −
dE p ( x )
dx
par rapport à x (au signe près)
La force dérive du potentiel
F ( M1 )
x
A
D’après les propriétés
de l’intégrale définie
F (M 2 )
3.1 Energie potentielle de pesanteur
⎧0
⎪
P ⎨0
⎪− Mg
⎩
z
zA
⎧dx
⎪
dl = ⎨dy
⎪dz
⎩
dW = P ⋅ dl
= 0 × dx + 0 × dy − Mgdz
P=Mg
zB
∫
B
zB
dW = − Mgdz
B
A
∫
WAB = − Mgdz = − Mg dz
A
x
zA
W AB = − Mg [z ]zz B = − Mg [z B − z A ]
La DIMINUTION d’énergie potentielle
est égale au travail de la force
A
WAB = Mg (z A − z B )
Energie potentielle de pesanteur
P=−
dE p ( z )
dz
=−
E p ( z ) = Mgz
d ( mgz )
dz
= − mg
= − mg
dz
dz
WAB = E p ( z A ) − E p ( z B )
Initiale
Finale
3.2 Energie potentielle élastique
x
⎧dx
⎧− kx
⎪
⎪
dl = ⎨0
F ⎨0
⎪0
⎪0
⎩
⎩
Force de rappel
x
xA
A
Travail au cours d’un déplacement élémentaire
dW = F ⋅ dl = −kxdx
xB
B
∫
W AB = − kxdx = − k
A
xB
∫ xdx
B
xA
x
⎡ x2 ⎤ B
[
]
)
Négatif: travail résistant
k
W AB = − k ⎢ ⎥ = − xB2 − x 2A
2
⎣⎢ 2 ⎥⎦ x A
WAB =
(
1
k x 2A − xB2
2
F
Energie potentielle élastique
WAB = E p ( x A ) − E p ( xB )
E p ( x) =
1 2
kx ( +Cte)
2
WAB < 0
E p ( xB ) > E p ( x A )
−F
x
3.3 Energie potentielle électrostatique
Attraction/répulsion entre deux charges électriques
F=
1 q1q2
4πε0 x 2
q1
M
A
O
q2
xA
F
B
xB
Si q1 q2 > 0 (charges de même signe) force répulsive
Si q1 q2 < 0 (charges de signes contraires) force attractive
B
W AB =
∫
r
F ⋅ dl =
A
qq
= 1 2
4 πε0
xB
∫
xA
xB
∫
xA
q1q2 1
⋅ dx
4 πε0 x 2
x
1 ⎤
q1q2 ⎡ 1 ⎤ B q1q2 ⎡ 1
=
⋅
−
=
⋅
−
+
⎢
⎥
x 2 4 πε0 ⎢⎣ x ⎥⎦ x A 4 πε0 ⎣ x B x A ⎦
dx
Energie potentielle électrostatique
WAB = E p ( x A ) − E p ( xB )
qq ⎡ 1
1 ⎤
W AB = 1 2 ⋅ ⎢
−
4 πε0 ⎣ x A x B ⎥⎦
qq 1
E p ( x) = 1 2 ⋅
4πε0 x
4. ENERGIE MECANIQUE TOTALE
L’énergie mécanique totale est la somme de l’énergie cinétique totale (translation +rotation)
et de l’énergie potentielle
Etot = Ec + E p
E c = Ec , t + E c , r
L’énergie mécanique totale d’un système isolé se conserve
z
Exemple: chute libre
A l’altitude z1
A l’altitude z12
1
mV12 + mgz1
2
1
E2 = mV22 + mgz2
2
G1
E1 =
L’énergie mécanique totale se conserve
P = mg
z1
E1 = E2
1
1
mV12 + mgz1 = mV22 + mgz2
2
2
V22 − V12 = 2 g (z1 − z2 )
G2
z2
Exemple: accélération d’une poulie accélérée par une masse
Energie mécanique totale
E=
z
1 2 1
Jω + mV 2 − mgz
2
2
Relation entre la vitesse linéaire et
la vitesse angulaire
Δ
V
ω=
R
R
0
1 V2 1
E = J 2 + mV 2 − mgz
2 R
2
L’énergie mécanique totale se conserve
1 V2 1
J 2 + mV 2 − mgz = Cte
2 R
2
En dérivant cette équation
1 J
1
dV
dV
dz
(
2
)
(
2
)
V
m
V
mg
+
−
=0
2 R2
2
dt
dt
dt
J dV
dV
V
mV
+
− mgV = 0
2
dt
dt
R
⎞ dV
⎛ J
− mg = 0
⎜ 2 + m⎟
dt
⎠
⎝R
dV
mg
γ=
=
J
dt
+m
R2
α=
γ
mg
=
R J + mR
R
m
P = mg