Développements en série entière usuels (en 0)

Développements en série entière usuels (en 0)

Développements en série entière usuels (en 0)
1) Exponentielle, fonctions cosinus et sinus (rayon de convergence : +∞)
+∞
ex
=
xn
x2
xn
=1+x+
+ ··· +
+ ···
n!
2!
n!
n=0
+∞
x2n
x2 x4
x2n
=1+
+
+ ··· +
+ ···
(2n)!
2!
4!
(2n)!
n=0
ch x =
+∞
sh x =
x2n+1
x3 x5
x2n+1
=x+
+
+ ··· +
+ ···
(2n + 1)!
3!
5!
(2n + 1)!
n=0
+∞
cos x =
(−1)n
x2n
x2 x4
x2n
=1−
+
+ · · · + (−1)n
+ ···
(2n)!
2!
4!
(2n)!
(−1)n
x2n+1
x3 x5
x2n+1
=x−
+
+ · · · + (−1)n
+ ···
(2n + 1)!
3!
5!
(2n + 1)!
n=0
+∞
sin x =
n=0
2) Fonctions puissances et applications (rayon de convergence : 1)
+∞
(1 + x)α = 1 +
α (α − 1) . . . (α − n + 1) n
·x
n!
n=1
=1+α·x+
α (α − 1) 2
α (α − 1) . . . (α − n + 1) n
· x + ··· +
· x + ···
2!
n!
+∞
1
=
xn = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · ·
1 − x n=0
+∞
1
=
(−1)n xn = 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + · · ·
1 + x n=0
+∞
(−1)n−1
ln (1 + x) =
n=1
xn
x2 x3
xn
=x−
+
− · · · + (−1)n−1
+ ···
n
2
3
n
+∞
ln (1 − x) = −
xn
x2 x3
xn
= −x −
−
− ··· −
− ···
n
2
3
n
n=1
+∞
(−1)n
arctan x =
n=0
x2n+1
x3 x5
x2n+1
=x−
+
− · · · + (−1)n
+ ···
2n + 1
3
5
2n + 1
NB : dans les cas α = ±1/2, penser à écrire, notamment pour profiter de la formule de S
1.2.3.4.5. · · · .(2n − 1). (2n)
(2n)!
1 2n
1
1.3.5. · · · .(2n − 1)
=
=
= 2n
∼ √
2
n
n
2n
2 .n!
2.4. · · · . (2n) .2 .n!
2
n n→∞ πn
2 (n!)
: