Le cours

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Le cours

BTSA
Aménagement Paysager
MODULE M41
COURS ET EXERCICES
DE G ÉOMÉTRIE
Version 1.0 — Septembre 2009
1
Géométrie vectorielle
1.1
Vecteurs
Nous partirons de la notion de vecteur lié.
Définitions
• On appelle vecteur (ou bipoint) un segment orienté du plan ou de l’espace ; donc la donnée de deux
points distincts ou non dont l’un sera désigné comme origine, l’autre comme extrémité du segment
considéré.
−
→
• Un vecteur lié d’origine A et d’extrémité B, sera noté AB.
−
→
• Sa norme notée ||AB|| est égale à la distance entre A et B.
Pour un rappel, voir le diaporama sur les Vecteurs sur le site du lycée.
1.2
Orientation de l’espace

−→
−→
−→
Soient O un point de l’espace et A, B, C trois points tels que OA = ~i ; OB = ~j ; OC = ~k avec ~i, ~j, ~k non
coplanaires.
Les physiciens imaginent un observateur nommé « observateur d’Ampère » situé le long du segment [OC]
les pieds en O. Il regarde [OA] et [OB]. On a alors l’une des dispositions suivantes :

[OA] est à droite, ~i, ~j, ~k est une base directe.

[OA] est à gauche, ~i, ~j, ~k est une base indirecte.
Définition

• Si ~i, ~j, ~k est une base directe et si de plus ~i, ~j, ~k sont orthogonaux deux à deux, le repère O ; ~i, ~j, ~k
est dit orthogonal direct.

• Si de plus, les trois vecteurs de base ont la même norme, O ; ~i, ~j, ~k est dit orthonormal direct.
Remarque
Dans la suite du cours, le repère sera toujours orthonormal.
BTSA AP
1.3
3
Cours et exercices
Repérage dans l’espace
Définition

Soit l’espace rapporté au repère orthonormal O ; ~i, ~j, ~k , à chaque
point M de l’espace correspond un triplet unique de nombres (x, y, z)
tel que :
−→
OM = x~i + y ~j + z~k
(x, y, z) s’appelle les coordonnées de M.
Théorème
p
−→
||OM|| = x 2 + y 2 + z 2
Théorème
Soient A et B les points de coordonnées
 (x A , yA , zA ) et (x B , yB , zB ).
respectives
xB − xA
−
→
−
→

Le vecteur AB a pour composantes AB  yB − yA 
zB − zA
Remarque
Les coordonnées des points s’écrivent en lignes (x, y, z) et les composantes des vecteurs en colonnes.
✍ MÉTHODE 1

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct O ; ~i, ~j, ~k , soient A le point de coordonnées
(2; 5; −1), B le point de coordonnées (3; 5; 2) et C le point de coordonnées (3; 7; 2).
→
−
→ −
1. Déterminer les composantes des vecteurs AB et AC.
2. Calculer la distance AB.
1.4
Produit scalaire
Définition
Soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls et A un point.
−
→
−
→
Soient B et C les points définis par AB = ~u et AC = ~v .
On désigne par H le projeté orthogonal de C sur (AB) et K le projeté
orthogonal de B sur (AC).
Le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v noté ~u.~v est :
→ −
→−
−
→−
→ −→ −
→
~u.~v = AB.AC = AB.AH = AC.AK
Théorème
Le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v peut aussi être défini par
Ô
~u.~v = ||~u|| × ||~v || × cos B
AC = ||~u||.||~v || cos(~u, ~v )
Cours et exercices
4
BTSA AP
Théorème
0
x
x
, on a ~u.~v = x x 0 + y y 0
• Dans un repère orthonormal O ; ~i, ~j avec ~u
et ~v
y
y0
 
 
x0
x





• Dans un repère orthonormal O ; ~i, ~j, ~k avec ~u  y  et ~v  y 0 , on a ~u.~v = x x 0 + y y 0 + zz 0
z
z0

✍ MÉTHODE 2

→
−
→−
Calculer le produit scalaire AB.AC.
1.5
Produit vectoriel
Définition
Soient ~u et ~v deux vecteurs de l’espace orienté.
Le produit vectoriel de ~u par ~v est le vecteur ~u ∧ ~v défini par :
1. Si ~u et ~v sont colinéaires, ~u ∧ ~v = ~0
2. Si ~u et ~v ne sont pas colinéaires, le vecteur ~u ∧ ~v est orthogonal
à ~u et ~v et la base (~u, ~v , w
~ ) est une base directe.
3. La norme du vecteur ~u ∧ ~v est : ||~u ∧ ~v || = ||~u||.||~v ||. sin α.
−
→
−
→
Ô
α est la mesure de l’angle B
AC avec ~u = AB et ~v = AC.
Théorème

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct O ; ~i, ~j, ~k


yz 0 − z y 0


~u ∧ ~v  z x 0 − xz 0 
x y0 − y x0

 
 
x0
x
 0
 
avec ~u  y  et ~v  y ,
z0
z
✍ MÉTHODE 3

→
−
→ −
Calculer le produit vectoriel AB ∧ AC.
1.6
Méthodes
Théorèmes
• Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
• Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur produit vectoriel est nul.
−
→ −→
• L’aire d’un parallélogramme ABCD est la norme du produit vectoriel AB ∧ AD.
• Pour déterminer l’angle géométrique entre deux vecteurs quand on connaît leurs composantes
→
−
→−
AB.AC
Ô
on utilise le produit scalaire cos B
AC = −
→
→ −
||AB||.||AC||
BTSA AP
✍ MÉTHODE 4
5
Cours et exercices
 

3
1
 
 
Calculer l’angle géométrique entre les vecteurs ~u −2 et ~v  1
−1
2

✍ MÉTHODE 5

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct O ; ~i, ~j, ~k , soient les points A(3; 1; 2), B(4; 2; 1) et
C(2; −1; −4).
1. Les points A, B et C sont-ils alignés ?
2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
−
→ −→
3. Soit D le point de l’espace tel que AB = CD. Déterminer les coordonnées de D.
4. Calculer l’aire du parallélogramme ABDC.
1.7
Exercices
Exercice 1
Ô
2. Déterminer l’angle ACB.
Avec les vecteurs ~u et ~v suivants, calculer le produit
scalaire 
~u.~v ,
dans l’espace
orthonormal
 muni d’un repère
 
  :
1
2
1
0
 
 
 
 
1. ~u 2 et ~v −1
2. ~u −1 et ~v 1
3
1
2
0
3. Expliquer comment on peut très simplement calcuÔ
ler l’angle BAC.
Exercice 2
Avec les vecteurs ~u et ~v suivants, déterminer les composantes du produit vectoriel ~u ∧ ~v dans l’espace muni
d’un repère
orthonormal
 
 :
 
 
1
2
1
0
 
 
 
 
1. ~u 2 et ~v −1
2. ~u −1 et ~v 1
3
1
2
0
Exercice 3
Soit trois points A(3; −1), B(0; 2)
et C(4;
3) dans un
plan muni d’un repère orthonormal O ; ~i, ~j .
1. Déterminer les coordonnées du point D tel que
ABDC soit un parallélogramme.
→
−
→ −
2. Calculer les coordonnées du vecteur AB ∧ AC, pro→
−
→ −
duit vectoriel des vecteurs AB et AC.
Exercice 5
ABCDEFGH est un cube d’arête 5 cm.
−
→ −→
1. Calculer le produit scalaire AB.HC.
−
→ −→
2. Calculer le produit scalaire AB.GD.
−→ −
→
3. Calculer le produit scalaire AG.EC.
−
→ −→
4. Calculer le produit scalaire AB.BH.
Exercice 6
L’espace
orienté

est muni d’un repère orthonormal
direct O ; ~i, ~j, ~k . On considère les points A(4; 0; 0),
B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) et D(−2; −2; 0).
1. Représenter ces points dans un repère orthonormal
direct.
−
→ −→
2. Calculer les coordonnées du vecteur AB ∧ AD, pro−
→ −→
duit vectoriel des vecteurs AB et AD.
3. En déduire l’aire du triangle ABD.
3. En déduire l’aire du parallélogramme ABDC.
5. En déduire la hauteur du parallélogramme ABDC,
par rapport à la base [AB].
Exercice 4

Dans l’espace muni d’un repère cartésien O ; ~i, ~j, ~k ,
on a les points A(1; 2; −1), B(0; 0; 3) et C(2; 2; 1).
Ô
1. Déterminer l’angle ABC.
Exercice 7

Dans l’espace muni d’un repère cartésien O ; ~i, ~j, ~k ,
on a les points : A(1; 3; 2), B(2; 0; 3) et C(0; −1; 1).
Déterminer les coordonnées des points M vérifiant les
relations suivantes :
−→ −→ −→
1. AM + BM + CM = ~0
−→
−→ −→
2. AM + 2BM + CM = ~0
−→ −→ −→
3. AM + BM − CM = ~0
2
Systèmes de coordonnées
2.1
Coordonnées polaires
Définition

Dans le plan muni d’un repère orthonormal O ; ~i, ~j les coordonnées polaires d’un point M(x, y) sont les nombres ρ et θ tels que :
(
ρ =
OM −→
θ = ~i, OM
Théorème
Si x 6= 0 alors
p
x = ρ cos(θ)
avec ρ = x 2 + y 2 et θ = arctan
y = ρ sin(θ)
y
x
Remarque
arctan représente la fonction arctangente (réciproque de la fonction tangente).
✍ MÉTHODE 6

Dans un plan muni d’un repère orthonormal O ; ~i, ~j , on a le point M(4, 3).
Déterminer ses coordonnées polaires.
2.2
Coordonnées cylindriques
Définition

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct O ; ~i, ~j, ~k les
coordonnées cylindriques d’un point M(x, y, z) s’obtiennent par association des
polaires dans le plan muni du repère or coordonnées

thonormal O ; ~i, ~j et de la côte z du point M.
On obtient alors le triplet (ρ, θ, z).

Le point M0 est le projeté orthogonal de M sur le plan O ; ~i, ~j .
BTSA AP
7
Cours et exercices
✍ MÉTHODE 7

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct O ; ~i, ~j, ~k , on a le point A(3; 1; 2).
Déterminer les coordonnées cylindriques de A.
2.3
Coordonnées sphériques
Définition
Dans
l’espace
muni d’un repère orthonormal direct

~
~
~
O ; i, j, k
les coordonnées sphériques d’un point
M(x, y, z) sont déterminées par le triplet (ρ, θ, ϕ) déterminé de la façon suivante :
ρ = OM
On construit ensuite la sphère de centre O et de rayon ρ.
On coupe cette sphère par un plan contenant l’axe z 0 z
et le point M (appelé plan méridien). Ce plan coupe le
plan O ; ~i, ~j au point M0 (ρ, θ) qui sont les coordonnées
polaires de M0 .
−→ −−→
Enfin ϕ = (OM, OM0 )
Théorème


 x = ρ cos(ϕ) cos(θ)
y = ρ cos(ϕ) sin(θ)
On a alors :

z = ρ sin(ϕ)
p
ρ
=
x 2 +y 2
+ z2


y

 θ = arctan

x
On en déduit :


z


 ϕ = arctan  p
2
2
x +y
✍ MÉTHODE 8

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct O ; ~i, ~j, ~k , on a le point A(3; 1; 2).
Déterminer les coordonnées sphériques de A.
Remarque
Dans les deux systèmes de coordonnées précédents, les ρ sont différents, mais les θ sont égaux. En règle
générale, pour passer des coordonnées sphériques aux coordonnées cylindriques (et inversement), on passe
par les coordonnées cartésiennes. Il est assez rare que l’on ait besoin de cette transformation.
✍ MÉTHODE 9
Soit les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(2; 10˚; 5), B(1; 40˚; 3) et C(4; 20˚; 2).
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois points.
Ô
2. Déterminer une mesure de l’angle ABC.
2.4
Exercices
Exercice 8
Exercice 9
Dans un plan muni d’un repère orthonormal
O ; ~i, ~j , soit le point M de coordonnées (x, y). Déterminer les coordonnées polaires de M dans les cas suivants :
Dans un plan muni d’un repère polaire (O; ρ; θ). Déterminer les coordonnées cartésiennes (x, y) de ce point
dans les cas suivants :

1. M(−1; 1)
2. M(0; 2)
3. M(1; 2)
1. M(1; 30˚)
2. M(3; 50˚)
3. M(2; 45˚)
Cours et exercices
Exercice 10
Dans l’espace muni d’un repère sphérique (O; ρ; θ; ϕ).
Déterminer les coordonnées cartésiennes (x, y, z) du
point M.
1. M(2; 20˚; 40˚)
2. M(2; 30˚; 30˚)
Exercice 11
Soient les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(3; 25˚; 2), B(5; 150˚; −1) et C(1; 0˚; 1).
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois
points.
Ô
2. Déterminer une mesure de l’angle ABC.
Exercice 12
Dans l’espace muni d’un repère sphérique, on a les
points A(3; 40˚; 50˚) et B(2; −20˚; 60˚).
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes de A et B.
8
BTSA AP
−→ −→
2. Calculer le produit scalaire OA.OB.
Õ
3. En déduire la valeur de l’angle AOB.
Exercice 13
Soient les points A et B de coordonnées sphériques
A(3; 50˚; 35˚) et B(2; 10˚; −20˚).
1. Déterminer les coordonnées sphériques du point I,
milieu de [AB].
Exercice 14
Soient les points A et B de coordonnées cylindriques
A(2; 20˚; 3) et B(1; 120˚; −1).
1. Déterminer les coordonnées cylindriques du point
I, milieu de [AB].
3
Géométrie numérique
3.1
Calculs d’aires et de périmètre dans le plan
Figures
Tri. quelconque
Périmètres
Aires
a+ b+c
b×h
2
Figures
Losange
Tri. équilatéral
3a
p
3 × a2
4
Périmètres
Aires
4a
D×d
2
Trapèze
a+ b+c+B
B+ b
Carré
4a
a2
2
×h
Cercle
2πR
πR2
Rectangle
2a + 2b
a×b
Pour calculer l’aire d’un triangle, on peut utiliser la formule de HÉRON
Théorème
Soit un triangle de côtés a, b et c. Son aire est alors A =
p
p(p − a)(p − b)(p − c) où p =
Remarque
Attention, sans la formule de HÉRON, p représente le demi-périmètre.
✍ MÉTHODE 10
Calculer l’aire du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm.
a+b+c
2
.
Cours et exercices
3.2
10
BTSA AP
Calculs de volumes
Solide
Figure
Aire Latérale
Aire Totale
Volume
Parallélépipède
2b(a + c)
2(ab + ac + bc)
abc
Cylindre
2πRh
2πR(R + h)
πR2 h
p
Cône de révolution
πR
R2 + h2
1
2
Pyramide régulière
ap
1
2
p(a + b)
a = SK
p = périmètre
de la base
b = OK
4πR2
4πR2
Sphère
3.3
p
πR R + R2 + h2
1
πR2 h
3
1
3
Bh
h = SO
B = surface
de la base
4
3
πR3
Formules trigonométriques
Théorème
Relations métriques du triangle quelconque (Formules de AL-KASHI) :
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos(α)
b2 = a2 + c 2 − 2ac cos(β)
c 2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
Théorème
La formule des trois sinus :
a
sin(α)
=
b
sin(β)
=
c
sin(γ)
= 2R où R est le rayon du cercle circonscrit au
triangle ABC.
✍ MÉTHODE 11
Ô du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm.
Calculer l’angle ABC
BTSA AP
3.4
11
Cours et exercices
Exercices
Exercice 15
Calculer l’aire du triangle ABC tel que :
1. AB = 2 cm ; BC = 3 cm ; AC = 4 cm
2. AB = 4 cm ; BC = 4 cm ; AC = 4 cm
par sacs de 50 litres pour 4 € le sac. Calculer l’investissement de Joachim en semences et engrais.
7. Il a récolté 200 g par pied, en moyenne, et il sait
que le kg de choux de Bruxelles se vend aux alentours de 2 €. Déterminer le bénéfice de Joachim.
Exercice 16
Ô dans les cas suivants :
Calculer l’angle ABC
Exercice 21
1. AB = 2 m ; BC = 3 m ; AC = 4 m
Frédéric a construit un bassin à tortues qui a la forme
d’un tétraèdre régulier renversé. Il souhaite y déposer une
dizaine de tortues, et il sait que chaque tortue nécessite
40 litres d’eau, au minimum. Son bassin doit être rempli
jusqu’à 10 cm du bord.
2. AB = 4 m ; BC = 4 m ; AC = 4 m
Exercice 17
Calculer l’aire latérale d’un parallélépipède dont les
côtés mesurent l = 2 dm ; L = 3 dm ; h = 1 dm
Exercice 18
Calculer l’aire latérale d’un cylindre de rayon 3 m et
de hauteur 2 m.
Exercice 19
Calculer le volume d’un cône de rayon 4 dm et de
hauteur 3 dm.
Exercice 20
Joachim veut construire un potager en forme de
pentagone régulier d’un demi are, puis cultiver dans ce
potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par
m2 . Il veut entourer ce terrain de grillage.
1. Déterminer l’aire d’un pentagone régulier inscrit
dans un cercle de rayon R, en fonction de R.
2. Déterminer le périmètre d’un pentagone régulier
inscrit dans un cercle de rayon R, en fonction de R.
3. Calculer le rayon du cercle contenant le potager de
Joachim, au dm près.
4. Calculer la longueur de grillage nécessaire pour entourer le potager, au dm près.
5. Joachim pose un poteau de 3 € à chaque angle, le
grillage coûte 2,5 € par mètre. Calculer le prix du
grillage avec les poteaux.
6. Joachim a eu ses semences pour 20 €. Il a déposé
une couche de 2 cm d’engrais naturel qu’il achète
1. Déterminer le volume d’un tétraèdre régulier de
côté c, en fonction de c.
2. Dans ce tétraèdre, dont on suppose la profondeur
supérieure à 10 cm, déterminer la surface d’une
base qui se trouverait à 10 cm de profondeur, en
fonction de c.
3. Exprimer le volume d’eau dans le bassin de Frédéric, en fonction de c.
4. Déterminer la valeur de c qui correspond aux 10
tortues de Frédéric.
5. Le bassin est rempli par un jet d’eau qui débite 2,5
litres par minute. En combien de temps le niveau
voulu est-il atteint ?
Exercice 22
Dans le jardin d’Hortense se trouve un parterre qui a
la forme d’un trapèze isocèle dont les dimensions sont les
suivantes : B = 2 m, b = 1, 2 m et h = 80 cm.
1. Sur ce parterre, Hortense veut planter des pétunias, à raison de 1 par dm2 . Combien de pieds de
pétunias doit-elle acheter ?
2. Pour entourer ce parterre, Hortense plante des
pieds de géranium tous les 6 cm. Combien de pieds
de géranium doit-elle acheter ?
3. Sachant que le pied de pétunia coûte 2,25 € et que
le pied de géranium coûte 1,5 €, quelle est la dépense que Hortense doit envisager ?
4
Géométrie analytique
4.1
Équation de droites dans un plan
Théorème

Dans le plan muni d’un repère orthonormal O ; ~i, ~j ,
α
on considère une droite passant par A et de vecteur directeur ~u
.
β
Tout point M de cette droite est tel que :
−→
AM = t~u, t ∈ R
Définition
Ce qui donne en prenant pour coordonnées de A(x A , yA ) et de M(x, y)
x − x A = tα
y − yA = tβ
(1)
(2)
appelées équations paramétriques de la droite (D).
Théorème
En éliminant t entre les équations (1) et (2) on obtient l’équation cartésienne de (D) de la forme :
ax + b y + c = 0
a
• Le vecteur ~n de coordonnées ~n
est orthogonal à la droite (D).
b
b
~
• Le vecteur d~ de coordonnées d
est aussi directeur à la droite (D).
−a
✍ MÉTHODE 12
~ respectivement orthogonal et directeur de la droite d’équaDonner les coordonnées des vecteurs ~n et d
tion 3x − 2 y + 5 = 0.
BTSA AP
4.2
13
Cours et exercices
Équation de plan dans l’espace
Théorème

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O ; ~i, ~j, ~k ,
on considère un
par A et ayant pour vecteurs
 
 passant
 plan
0
α
α
 
 
directeurs : ~u  β  et ~v  β0 .
γ0
γ
Tout point M du plan (P) précédent est défini par :
−→
AM = t~u + t 0~v avec (t, t 0) ∈ R2
Définition
Ce qui donne
en prenant successivement pour coordonnées de A(x A , yA , zA ) et M(x, y, z)
0 0
 x − x A = tα + t α
0 0
y − yA = tβ + t β

z − zA = tγ + t 0 γ0
(1)
(2)
(3)
appelées équations paramétriques du plan(P).
Théorème
En éliminant t et t 0 entre les équations (1), (2), (3), on obtient l’équation cartésienne de (P) sous la forme :
ax + b y + cz + d = 0
 
a
 
De plus, le vecteur ~n dont les coordonnées sont ~n  b est orthogonal au plan (P).
c
✍ MÉTHODE 13
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, déterminer une équation cartésienne du plan (ABC), où
A(1; 2; 3), B(−1; 2; 1) et C(0; 3; 3).
4.3
Équations de droites de l’espace
Théorème

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O ; ~i, ~j, ~k ,
on considère une droite (D) passant par 
A de
 coordonα
 
nées (x A , yA , zA ) et de vecteur directeur ~u  β .
γ
Tout point M de cette droite est tel que :
−→
AM = t~u, t ∈ R
Cours et exercices
14
BTSA AP
Définition
Ce qui donne
en prenant pour coordonnées de M(x, y, z)
 x − x A = tα
y − yA = tβ

z − zA = tγ
appelées équations paramétriques de la droite(D).
Remarque
On peut obtenir aussi l’équation d’une droite (D) de l’espace par l’intersection de deux plans.
✍ MÉTHODE 14
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, on a le tétraèdre ABCD, avec A(1; 3; 1), B(−3; 3; 3),
C(−1; 5; 1) et D(3; 1; −1).
1. Soit A0 le milieu de [BC]. Déterminer une équation cartésienne du plan (DAA0 ).
2. Soit B0 le milieu de [AC]. Déterminer une équation cartésienne du plan (DBB0 ).
3. Soit C0 le milieu de [AD]. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCC0 ).
4. Soit G le point d’intersection des trois plans (DAA0 ), (DBB0 ), (BCC0 ). Déterminer les coordonnées
de G.
4.4
Exercices
Exercice 23
Exercice 26
Dans le plan muni d’un repère orthonormal, déterminer une équation cartésienne de la droite définie paramétriquement par :
¨
¨
¨
x = 3t − 1
x = t +2
x =1
1.
2.
3.
y = 2t + 1
y =3
y=t
Dans un plan muni d’un repère cartésien, la distance
d entre le point A(x A , yA ) et la droite d’équation cartésienne a x + b y + c = 0 est donnée par la formule :
Exercice 24
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, déterminer l’équation cartésienne du plan (ABC) :
d=
|a x A + b yA + c|
p
a2 + b2
1. Soit le point A(3; 2) et la droite D d’équation
2x + y = 5. Déterminer l’équation de la droite D0
passant par A et perpendiculaire à D.
1. A(4; 2; 1), B(1; 2; 3), C(3; 2; 2)
2. Déterminer les coordonnées du point B, intersection des droites D0 et D.
2. A(−1; 2; 2), B(3; 1; −1), C(0; 4, 1)
3. Calculer alors la distance AB.
Exercice 25
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, on a le
tétraèdre ABCD, avec A(1; −1; 2), B(2; 3; −2), C(3; 1; −2)
et D(4; −3; 1).
1. En cherchant les points M(x, y, z) tels que
AM2 = BM2, déterminer l’équation cartésienne du
plan médiateur du segment [AB].
2. Déterminer l’équation cartésienne du plan médiateur du segment [AC].
3. Déterminer l’équation cartésienne du plan médiateur du segment [AD].
4. Déterminer l’intersection O de ces trois plans.
5. Démontrer que ABCD est inscrit dans une sphère
dont on déterminera le centre et le rayon.
4. Vérifier, sur cet exemple, la véracité de la formule
ci-dessus.
Exercice 27
Dans l’espace muni d’un repère cartésien, il existe
une formule pour trouver la distance entre un point
A(x A ; yA ; zA ) et un plan P d’équation a x + b y +cz +d = 0.
1. Soit le point A(1; 4; 2) et le plan P d’équation
x + 2 y − z = 3. Déterminer les équations de la
droite D passant par A et orthogonale à P.
2. Déterminer les coordonnées du point B, intersection de la droite D et du plan P.
3. Calculer alors la distance AB.
4. En se basant sur la formule de l’exercice précédent,
et en extrapolant, établir une formule correspondant pour un espace à trois dimensions. Vérifier la
véracité de cette formule dans cet exercice.
Table des matières
1 Géométrie vectorielle
1.1 Vecteurs . . . . . . . . .
1.2 Orientation de l’espace
1.3 Repérage dans l’espace
1.4 Produit scalaire . . . .
1.5 Produit vectoriel . . . .
1.6 Méthodes . . . . . . . .
1.7 Exercices . . . . . . . .
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2
3
3
4
4
5
2 Systèmes de coordonnées
2.1 Coordonnées polaires . . .
2.2 Coordonnées cylindriques
2.3 Coordonnées sphériques .
2.4 Exercices . . . . . . . . . .
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3 Géométrie numérique
3.1 Calculs d’aires et de périmètre dans le plan
3.2 Calculs de volumes . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Formules trigonométriques . . . . . . . . . .
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Géométrie analytique
4.1 Équation de droites dans un plan
4.2 Équation de plan dans l’espace . .
4.3 Équations de droites de l’espace .
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
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