Colle du 11 Décembre 2013

Colle du 11 Décembre MP*1 Lycée du Parc
Arnaud Demarais
December 11, 2013
Exercice 16.1 (facile++)
0
0
B0
Soit A =B
@0
1
Quelles sont
1
0 0 1
0 0 .C
C.
0 0 .A
. . n
les valeurs propres de A ?
Correction 16.1
On voit que A est de rang 2 donc 0 est une valeur propre d’ordre n-2. Cherchons les autres !
Soit
une telle valeur propre et x = (x1 , ..., xn ) un versteur propre (en colonne).
On a alors
xn = x1
2xn = x2
...
(n 1)xn = xn
Pn
1 ixi = xn
1
Donc si xn = 0 x ne peut être un vecteur propre. on peut donc prendre xn = .
dès lors x1 = 1, ..., xn
1
=n
1.
Il reste à trouver un tel la dernière équation donne :
Pn 1 2
i = (
n)
1
Pn 1
1)
ce qui donne avec 1 i2 = n(n 1)(2n
deux solutions (à priori complexes) :
6
6
2
6n
n(n
1)(2n
1) = 0
Exercice 16.2 (facile)
Soit A 2 Mn (R). Trouver les matrices M et les scalaires
tels que AM = M
Correction 16.2
On prends
et M qui fonctionnent.
Si M = 0 tout lambda marche
Sinon il existe une colonne Mi de M non nulle.
Alors AMi = Mi
Donc il faut que
soit une valeur propre de A et Mi un vecteur propre.
Les solutions sont donc
de M où sont nulles.
= 0 où |ambda est une valeur propre de A et les colonnes de M sont des vecteurs propres
1
Exercice 16.4 (facile ++ astucieux )
Soient A, B, C 2 M2 (K).
Montrer que 9↵, ,
non triviaux tels que ↵A + B + C ait une valeur propre d’ordre 2.
Correction 16.4
Si la famille {A,B,C} est liée, on trouve↵, ,
non triviaux tels
✓
◆✓
1 0
0
Sinon vect({A,B,C}) est de dimension 3 et vect {
,
0 1
0
dimension au moins 1 ce qui conclut
que ↵A + B + C = 0.
◆
1
} est de dimension 2 donc l’intersection est de
0
Exercice 16.7 (moyen-)
Soit E un espace vectoriel de dimension infinie
Soient u et v deux endomorphismes ayant un polynôme annulateur et commutant.
Montrer que u+v a un polynôme annulateur.
Correction 16.7
Les familles (ui ) et (v j ) sont donc liées
Alors en utilisant que (u + v)k est une somme d’éléments de la forme uk1 v k2 où k1 + k2 = k on voit immédiatement
que
((u + v)k )k2N ⇢ V ect(uk1 v k2 )k1 ,k2 max(deg(⇡u ),deg(⇡v ) .
Exercice 17.2
Je tiens à remercier Michel Gonnord, cet exercice ainsi que le corrigé se trouvent dans son livre Bijoux Mathématiques
aux éditions ellipse.
Montrer que Vect({matrices nilpotentes})=Ker(Tr)
Correction 17.2
On va utiliser un résultat dans l’adhérence du programme (de MP*), c’est que les matrices nilpotentes sont de trace
nulle. très facile à démontrer le polynôme charactéristique de notre matrice nilpotente est X n et la trace est (au
signe près) le coefficient de X n 1 : c’est donc 0.
On a donc Vect({matrices nilpotentes})⇢ Ker(T r)
Mais le noyau de la trace est un hyperplan il suffit donc de trouver n2
nilpotentes}).
1 matrices libres de Vect({matrices
On a déjà les(Ei,j )i6=j qui nous donnent n(n-1) matrices.
On va✓ remarque
Ej,j est aussi dans l’espace engendré par les matrices nilpotentes : en effet en taille 2
◆ que
✓ E1,1 ◆
1
1
1
1
on a
et
qui sont nilpotentes
1
1
1
1
0
1
1
0
1 0
B 0 ... 0 0C
C est nilpotente ainsi que sa transposée et 1 (M + M T ) = E1,1 Ej,j .
Donc en taille n M= B
2
@ 1 0
1 0A
0
0
0 0
Donc on a égalité
2
Exercice 17.3 (facile)
(
On pose E = Rn [X] et u :
E!E
P 7! (X 2
1)P 00 + (2X + 1)P 0
1) Donner la matrice de u dans la base canonique
2) Montrer que u est diagonalisable
Correction 17.3
1)
Un simple calcul montre que la matrice de u dans la base canonique est :
0
1
0 1
2 0
0
B0 2 2 ⇤
C
0
B
C
B. .
6 ⇤
n(n 1)C
B
C
@. .
A
.
⇤
n
0 0 0 0 n(n + 1)
2)
C’est une matrice triangulaire supérieure dont toutes les valeurs propres sont distinctes donc elle est diagonalisable.
Exercice 17.4 (facile)
(
On pose E = Kn [X] et u :
E!E
P 7! (X
a)P 0
Donner les valeurs propres et vecteurs propres de u, diagonaliser u dans une base.
Correction 17.4
Supposons u(P ) = P
Alors P 0 =
X aP
si
= 0 P est constante donc E0 = V ect(1)
Sinon c’est une équation différentielle dont la solution est V ect(X
a) donc il faut que
Les valeurs propres sont donc {0,...,n} et les vecteurs propres associés (X
0
1
0
B 1
C
B
C
B
C
...
B
C
@
A
n 1
n
3
2 N et
n
a)k dans cette base u a pour matrice :