Produit scalaire - Puissance d`un point par rapport à un cercle

Première S2
TP Info : Produit scalaire
Puissance d'un point par rapport à un cercle sous Geoplan
2010-2011
On considère un cercle C de centre O et de rayon R.
M est un point libre du plan.
Une droite d passant par M coupe le cercle en A et B.
Le point A’ est diamétralement opposé à A sur le cercle C.
→ →
On veut étudier l’évolution du produit scalaire MA. MB lorsque
l’on fait pivoter la droite d autour de M.
A – Réalisation de la figure sous Géoplan
a) Créer le point O libre dans le plan, puis le cercle C de
centre O et de rayon R = 4.
Créer le point M libre dans le plan, puis un point libre A sur le cercle C.
B est le second point d’intersection de la droite (AM) avec le cercle C.
b) Créer les longueurs x = MA, y = MB
→ →
et le produit scalaire : p =MA. MB
c) Afficher les trois grandeurs x, y et p avec deux décimales :
B – Etude expérimentale
a) Faire bouger le point A : cela modifie la position de la droite d et donc celle du point B.
Que peut-on dire de p ?
→ →
Le produit scalaire MA. MB semble-t-il dépendre de la corde [AB] passant par M ?
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Première S2
TP Info : Produit scalaire
Puissance d'un point par rapport à un cercle sous Geoplan
2010-2011
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b) Déplacer le point M et constater l’évolution du produit scalaire MA. MB.
Quand ce produit scalaire est-il positif ? nul ? Quand atteint-il son minimum ?
C – Démonstration des propriétés
→ →
→ →
a) Justifier les égalités MA. MB = MA.MA’ = OM² - R².
Le résultat final dépend-il de la corde [AB] choisie ?
Ce produit scalaire, ne dépendant que du cercle C et du point M, est appelé :
puissance du point M par rapport au cercle C.
b) A quelle condition la puissance du point M par rapport au cercle C est-elle positive ? négative ?
nulle ?
Pour quelle position de M cette puissance atteint-elle son minimum ?
D – Pour aller plus loin
Créer un autre cercle C’ de centre O’ de rayon 3, ayant deux points d’intersection S et T avec C.
On cherche l’ensemble ∆ des points M du plan qui ont même puissance par rapport à C et C’.
Créer et afficher la puissance p’ de M par rapport à C’ : p’ = O’M² - 9.
a) Déterminer des points particuliers de l’ensemble ∆ en déplaçant M.
b) Démontrer que ∆ est une droite que l’on précisera.
Que se passerait-t-il pour ∆, si c’ et c n’avaient pas de point commun ?
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