One pager Laréq, 2013, vol. 8, no. 18, p. 200 – 218

Transcription

Théorème de représentation de Granger
Réplication de la preuve d’Engle – Granger (1987)
Jean – Paul K. Tsasa Vangu
Yves Togba Boboy
Laboratoire d’analyse – recherche en économie quantitative
The Granger representation theorem states that an error correction model
can represent any cointegrated series. In this paper, we are interested
in the proof of this result.
Keywords: Co–integration, error correction model, multivariate time series.
Code JEL: C01, C32
Introduction
Nombre de publications Laréq antérieures (One pager) ont porté sur la notion de
corrélation, insistant notamment sur : (i) la distinction entre coefficient de Bravais–
Galton–Pearson et coefficient de corrélation de Spearman (Tsasa, 2012a) ; (ii) la
dérivation du domaine de définition du coefficient BGP (Makambo – Tsasa, 2012) ;
(iii) la perception du coefficient de détermination (Tombola, 2012b & 2012c) ; (iv) le
calcul du coefficient BGP à l’aide du logiciel Eviews (Tombola, 2012a) ; (v) la
corrélation linéaire partielle (Mayemba – Tombola, 2012), (vi) le rapport de
corrélation (Tombola, 2013), (vii) le calcul des coefficients BGP et de Spearman à
l’aide du logiciel R (Lokota – Tsasa, 2012) ou (viii) la dérivation et l’interprétation
géométrique du coefficient de corrélation (Tsasa, 2013a).
Et plus récemment, l’analyse proposée Togba – Tsasa (2013, oct.) s’est intéressé au
traitement de la problématique de la connexion existant entre les modèles de
cointégration et les modèles à correction d’erreur, tout en considérant le théorème de
Granger comme une donnée. S’inscrivant dans la continuation de ces publications,
nous nous proposons dans ce papier de présenter la preuve du théorème en cause.
Cependant, avant d’énoncer et de démontrer ce théorème (section 2), nous
rappelons
préalablement
quelques
concepts
fondamentaux
pour
appréhension de sa dérivation (section 1).
[One pager Laréq, 2013, vol. 8, no. 18, p. 200 – 218]
© 2013 par Laréq. Tous droits réservés. Décembre 2013. Courriel : [email protected]
une
bonne
Jean – Paul K. Tsasa & Yves Togba
Le théorème de Granger (1987) a été prouvé, à l’origine, par Granger (1981) et
repris plus tard et plus explicitement dans un article publié par Granger et Engel en
1987
1
. D’après ce théorème, toutes les séries cointégrées peuvent être
représentées par un modèle à correction d’erreur. A ce titre, comme le note
Charpentier (2011b), il permet de fournir la synthèse entre deux approches
largement utilisées dans la littérature économétrique récente : d’une part, l’approche
issue de l’idée de concilier des préoccupations de la théorie économique avec
une écriture rigoureuse des équations économétriques ; et d’autre part, l’approche
issue d’une approche purement statistique (boîte noire, black box).
Par ailleurs, il convient de noter que parallèlement à la preuve originale, proposée
notamment par Granger et Engel (1987), on rencontre également d’autres preuves
plus élaborées dans la littérature, comme celles proposées respectivement par
Johansen (1991) et Boswijk (1992).
I. Causalité, Cointégration, Approches VAR et ECM
A l’effet d’introduire les concepts de causalité et de cointégration, intéressons – nous
au graphique ci – dessous. En effet, en observation l’évolution des deux agrégats
d’intérêts, il ressort que ces derniers semblent covarier au passage du temps.
Graphique 1 : Evolution de l’inflation et de l’indice d’activité en RDC
Source : Sur base des données de la Banque Centrale du Congo
[Base des données du Secteur réel, 2013]
1
Sir Clive William John Granger (1934 – 2009), économiste britannique, est co – lauréat, avec
Robert F. Engle (1942 – *), du Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en
mémoire d’Alfred Nobel en 2003. On note que R. F. Engle est initiateur des méthodes d'analyse
des séries temporelles économiques avec volatilité saisonnière (méthodes ARCH).
201
202
Théorème de représentation de Granger – Engle
Ainsi, pour extraire les interdépendances qui existeraient dans les mouvements de
ces
deux
chroniques,
nous
introduisons
dans
l’analyse
quelques
concepts
économétriques caractéristiques, notamment ceux de causalité et de cointégration.
I.1. Causalité
A l’origine, on retrouve la formalisation de la notion de causalité en physique,
notamment dans les travaux d’Isaac Newton sur la force motrice (cause) et le
changement de mouvement (effet). Dans cette optique, la notion de causalité traduit
un principe d’après lequel, si un phénomène est la cause d’un autre phénomène,
nommé "effet", alors ce dernier ne peut pas précéder la cause. Cependant, sa
définition conceptuelle remonte aux discours d’Aristote le stagirite ou de David Hume
(Tsasa, 2013c, p.7).
Transposé en économie, cette notion revêt une connotation technique spécifique. En
effet, si une variable causait une autre variable, alors nécessairement les deux
variables doivent être corrélées :
A l’inverse, il ne suffit pas que deux variables soient corrélées, pour qu’il ait causalité
(corrélation n’est pas causalité).
Ainsi, la notion de causalité introduite par Wiener (1956) et Granger (1969) apparait
comme le soubassement de l’analyse de relations dynamiques entre les séries
chronologiques (Tsasa, 2013c, p.7). Bien que formellement définie, elle demeure un
sujet à plusieurs controverses parmi les économistes [Sargent (1977) ; Zellner
(1978, 1988)]. Et de ce fait, son étude doit être abordée avec précaution.
Comme dans Charpentier (2011b), considérons un couple
des processus
aléatoires, et notons par :
la loi de
au temps
conditionnellement aux observations passées. Alors, si
l’on se proposait d’interroger la relation pouvant exister entre les chroniques
il y a lieu de distinguer deux cas possibles : (i) l’un où les processus
indépendantes ;
(ii)
l’autre
où
ils
seraient
indépendants l’un à l’autre, il vient que :
dépendants.
Si
et
et
et
seraient
étaient
En conséquence :
En prenant la log – espérance de la relation
on obtient :
Dès lors, on peut introduire la notion de dépendance, en se servant de la définition
de l’information de Kullback – Leibler (1951) :
L’information de Kullback – Leibler est généralement utilisée pour mesurer un écart
entre deux fonctions de densité. Cependant, elle n’est pas une distance au sens
topologique car ne vérifiant pas les propriétés de symétrie et d’inégalité triangulaire.
Par ailleurs, elle est définie positive, et donc :
avec égalité si et seulement si
presque partout.
Aussi, il sied de noter que :
On peut à présent, établir une équivalence entre indépendance et covariance dans le
cas d’une distribution gaussienne (Cf. Tsasa, 2012b). Ainsi, en considérant que :
il y a lieu d’écrire :
où
et
avec
et
203
204
En prenant le logarithme de la relation
on définit après réaménagement des
termes, la loi du rapport contenu dans la loi de Kullback – Leibler :
In fine, en multipliant la relation
par deux, on obtient quatre composantes
principales telles que :

;

;

;

Plus formellement, on a :
Considérons à présent, deux suite
et
et
correspondant au passé des processus
respectifs telles que :
et
En effet, au sens de Granger1 (1969) :

cause
au temps
si et seulement si :
Et en parallèle,

1
cause instantanément
au temps
si et seulement si :
Notons au passage que l’économiste américain Christopher Sims (co – lauréat du prix Nobel
d’économie en 2011, avec Thomas Sargent) avait également proposé une approche alternative
de détection de causalité. Voir Tsasa (2013b).
I.2. Cointégration
Au – delà du concept de causalité tel qu’introduit par Granger (1969), Engle et
Newbold (1974) se sont intéressé à la notion de cointégration. En effet, la
cointégration permet de détecter la relation de long terme entre plusieurs variables.
Sa formalisation est notamment due à Engle et Granger (1987), puis plus tard par
Johansen (1991, 1995).
Notons que la notion de cointégration implique implicitement celle d’intégration, qu’il
convient de rappeler très brièvement. Soit
que
est une chronique intégrée d’ordre
tel
alors :
serait une série non stationnaire et
où
et
stationnaire,
est un opérateur de retard tel que
Ainsi, pour :
on dira que
et
est stationnaire ou intégrée d’ordre 0 et on note :
intégré d’ordre
:
Admettons, à présent, un vecteur des chroniques
est différenciée
tel que chacune de composantes
fois avant de devenir stationnaire. La combinaison
peut être :
(i) soit stationnaire (dans ce cas, leurs tendances se neutralisent), soit intégrée
d’ordre
avec
et
Ainsi, les composantes du vecteur
seront cointégrées Granger (1981), Granger –
Weiss (1983), Engle – Granger (1987) si : (i) toutes les composantes de
intégrées d’ordre
; (ii) il existe un vecteur
est intégrée d’ordre
sont
tel que
On note ainsi :
ou encore
avec
le vecteur de cointégration. Au – delà de la restriction de linéarité, il sied de
noter qu’à ce jour, certaines études s’intéressent à la cointégration non linéaire.
Cette extension fera l’objet de nos publications ultérieures.
La littérature économétrique distingue différentes techniques permettant de tester la
cointégration parmi lesquelles, on note l’algorithme de Granger – Engel (1987) et les
approches de Johansen (1988, 1991), le test de Stock – Watson (1988) ou encore le
test de Phillips – Ouliaris (1990).
205
206
I.3. Approches VAR et ECM
Alors que le modèle VAR a été proposé par Christopher Sims, celui à correction
d’erreur fut introduit en économie par David Hendry notamment. La différence entre
les deux approches réside foncièrement au niveau du caractère stationnaire ou non
des chroniques considérées.
L’approche
de
modélisation
basée
sur
la
représentation
du
processus
correspond à une description de l’évolution de l’économie
à partir de la dynamique comportementale d’un ensemble de variables linéairement
dépendantes des observations passées.
Réaménageons les notations et considérons deux processus stationnaires
et
dépendant de leurs valeurs passées et de leurs valeurs présentes et passées croisées
respectives.
Soit
le nombre de retards caractérisant un processus
forme structurelle la représentation
avec
tel qu’on a sous la
suivante :
des bruits blancs non corrélés.
Sous une forme matricielle, les relations
et
s’écrivent comme suit :
où
A partir de la relation
d’un processus
il y a lieu de dériver la forme réduite de la représentation
généralement utilisée pour les analyses empiriques. Ainsi, en
pré – multipliant la relation
et donc :
avec
par
on obtient :
Contrairement aux relations
et
plus directement lié à celui de
dans la relation
le niveau de
n’est
sauf pour ses valeurs passées. De
l’expression matricielle de la représentation du processus
pour un vecteur de
variables peut s’écrire comme :
où
En se servant de l’opérateur et le polynôme de retard, la relation
devient :
et finalement :
où
est une matrice unité ;
un opérateur de retard ;
le polynôme de retard et
un bruit blanc.
Une fois que le problème lié à la détermination du nombre optimal de lag est bien
traité, il est possible d’estimer le modèle
dérivé précédemment, soit par la
méthode des moindres carrés ordinaires, soit par la méthode du maximum de
vraisemblance.
Considérons à présent, deux processus non stationnaires
et
Si ces derniers
est le vecteur de cointégration, alors l’approche
va consister à
sont cointégrés d’ordre 1, soit :
tels que
une décomposition telle que :
où
et
sont deux composantes stationnaires ;
avec :
En généralisant l’expression
on obtient ainsi :
Comme explicité dans Greene (2001, p. 968), le modèle à correction d’erreur permet
de décrire la variation de
autour de sa tendance de long terme en fonction d’un
ensemble de facteurs exogènes stationnaires
de la variation de
et de
207
208
autour de leur tendance de long terme, et de la correction d’erreur
qui est l’erreur d’équilibre dans le modèle de cointégration.
Il suit donc qu’il existe un lien entre les modèles de cointégration et les modèles à
correction d’erreur. Les résultats qui seront établis dans la section deuxième
permettront de mettre en toute rigueur, cette connexion en évidence.
II. Théorème de représentation de Granger
Le théorème de représentation de Granger (1987) établit un lien entre la
cointégration et le modèle à correction d’erreur. L’intérêt de ce théorème réside en
ce qu’il fournit des conditions testables sur les propriétés statistiques et dynamiques
des variables susceptibles de justifier la formalisation typique des modèles à
correction d'erreur initiée par David Hendry. Nous répliquons dans cette section,
l’énoncé originel de ce théorème, ainsi que sa démonstration.
Considérons pour ce faire, une représentation (décomposition) multivariée de Wold1
telle que :
où
désigne l’opérateur de retard ; et
un bruit blanc.
Théorème de représentation (Engel – Granger, 1987). Si
cointégrant de dimension
rang cointégrant
(i)
(ii)
donné par l’expression
est un vecteur
avec
de
alors :
est de rang
il existe une représentation ARMA vectorielle :
avec
de rang 1,
matrice log polynomiale telle que
est
fini et
Quand
il
vient
que
l’expression
autorégressive.
(iii)
3
il existe
Voir Tsasa (2013d).
matrices
de rang
tel que :
(25)
est
(iv)
il existe une représentation à correction d’erreur avec
vecteurs des variables aléatoires stationnaires :
avec
(v)
le vecteur
où
est donné par :
désigne une matrice log polynomiale de dimension
donnée par
rang
(vi)
si
avec tous les éléments de
,
finis tel que
et
une
représentation
autorégressive
vectorielle
possible, alors il existe une forme donnée par
et,
et
finie
et
est
avec
correspondant à deux matrices polynomiales
finies.
La démonstration de ce théorème requiert préalablement la preuve du lemme sur le
déterminant et l’adjoint d’une matrice polynomiale singulière.
Lemme. Soit
une matrice polynomiale à valeurs finies de dimension
telle que
avec
pour tout
Alors, la matrice
peut être décomposée suivant le principe de calcul défini dans la
décomposition de Beveridge et Nelson :
avec :
et
.
Si
, alors :
(i)
avec
d’ordre fini ;
(ii)
où
désigne une matrice unité de dimension
et
est
fini.
Dans ce cadre, il sied de noter que l’expression d’ordre fini de
comme :
peut s’écrire
209
210
Et que par ailleurs, l’approche de décomposition de Beveridge – Nelson est
considérée comme acquise1.
Preuve. Afin de prouver ce lemme, considérons une représentation
d’ordre fini
écrit comme suit :
tel que le déterminant de
Le terme
représente la somme de produits de nombres finis de
en vient que
de
peut s’écrire sous une puissance polynomiale en
est à valeurs finies. Et donc, chaque
:
De ce fait, il
comprend au moins un terme
et de
Dès lors, tout produit avec un nombre de termes
de
supérieur ne peut
qu’être nul, car il s’agira d’un déterminant d'une sous – matrice d'ordre plus grand
que le rang de
Par conséquent, les seuls termes non nuls possibles auront
plus de termes de
et seront ainsi associés aux puissances
le premier cas possible où le terme
Modifions l’équation
ou plus de
ou
Ainsi,
est non nul est bien
en ajoutant des termes
et
dans le membre à droite.
Après manipulation, et connaissant que la première possibilité de
non nul est
on
obtient :
où :
avec :
On établit ainsi le premier résultat du lemme. Dérivons à présent le deuxième
résultat. Considérons pour ce faire, l’adjointe de
puissance en
L’adjointe
:
est une matrice comprenant des éléments ayant de déterminants d’ordre
Par transposition du résultat obtenu dans
arguments de
1
exprimée en fonction de la série
Cf. Tsasa (2013e).
sont identiquement nuls.
il vient que le
premiers
Ainsi :
En pré – multipliant les membres de l’équation
après manipulation la relation
Puisque
et
donc
par
et
on obtient
telle que :
sont finis, et que :
sera également fini.
Ainsi, l’expression
peut donc s’écrire :
Etant donné que le produit d’une matrice par ses adjoints donne un déterminant :
par
et
et par
on a:
on obtient :
En substituant l’expression
dérive ainsi l’expression
dans
et en considérant la relation
on
:
En vertu du résultat obtenu dans la première partie de la preuve du lemme, on
établit ainsi :
avec :
et donc :
211
212
Et par ailleurs :
avec :
En considérant à présent
et connaissant
l’expression dérivée dans
peut dès lors s’écrire :
Par
Par
on a :
on sait que :
d’où :
Par
on sait que :
d’où :
et donc :
En égalisant les puissances, on a :
Il ressort que
entièrement dans l’espace de colonne nulle de la matrice
se trouve
qui est de rang
Ainsi, on a que :
Si
alors :
avec
comme premier terme dans l’expression de
tel que :
Prouvons à présent le théorème de représentation d’Engle – Granger. Comme dans
l’expression
supposons l’existence d’une représentation de Granger pour un
vecteur de variables aléatoires
cointégrées. Et soit
le vecteur cointégrant tel
que :
est une chronique purement non déterministe, stationnaire et de
dimension
En multipliant
Pour
il vient que
fois la représentation
cointégrant. Par conséquent,
dans
il suit que :
Un vecteur avec cette propriété ne peut qu’être
doit être de rang
avec un espace nulle
contenant tous les vecteurs cointégrants. Aussi, il vient que
une représentation
La proposition
Puisque
inversible, et en particulier :
est établie en utilisant le lemme 1. Considérons :
est de plein rang et égale à
pour
La proposition 3 du théorème découle du fait que
trouve dans l’espace nul de
que
ne peut qu’être
Puisque
son inverse est
est de plein entre
tel que :
et
et se
engendre cet espace nulle, alors il vient
peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs cointégrants :
Proposition 4. En réaménageant la structure autorégressive de l’assertion
il vient
que :
Puisque :
on a que :
La proposition 5 résulte directement de la représentation de Wold. En effet, la
définition de la cointégration implique que le processus
soit stationnaire et
inversible. Ainsi, en réécrivant la représentation à correction d’erreur avec :
où
et en la pré – multipliant par
on établit que :
213
214
Pour que ce résultat soit équivalent à une représentation
stationnaire, la
représentation autorégressive doit être inversible. Cela implique donc que :
Par ailleurs, sil venait que le déterminant soit nul, alors il doit avoir au moins une
racine unité, et si le déterminant était négatif, alors pour une valeur de
comprise
entre 1 et 0, on aura que :
ce qui implique l’existence d’une racine à l’intérieur du cercle unité.
En reprenant le même développement, cependant avec
on établit ainsi la
proposition 6 du théorème.
En effet, de manière intuitive, si l’on considérait une version simplifiée de la
représentation
il suit que le passage de la forme autorégressive :
à la forme moyenne mobile :
se fait par inversion du polynôme
:
Cependant, puisque par cette opération, la cointégration entraîne la perte de rang
des matrices
et
il vient que l’inversion directe de
n’est plus possible.
Ainsi, le théorème de Granger (1987) offre une possibilité d’effectuer ce passage :
passage entre la représentation
et la représentation
d’un modèle.
In fine, dans une publication ultérieure, notre attention sera portée sur une
formulation alternative du théorème de Granger (1987) proposée par l’économètre
danois Johansen en 1991.
Bibliographie

BESSLER David A. et John L. KLING, 1984, “A Note on Test of Granger
Causality”, Applied Economics, 16 (3): 335 – 342.

BEVERIDGE Stephen et Charles R. NELSON, 1981, “A New Approach to
Decomposition of Economic Time Series into Permanent and Transitory
Components with Particular Attention to Measurement of the ‘Business Cycle’”,
Journal of Monetary Economics, 2 (7): 151 – 174.

BOSWIJK Peter, 1992, “Co-integration, identification, and exogeneity: Inference
in Structural Error Correction Models”, Tinbergen Institute research Series Book,
37 (University of Amsterdam, Amsterdam).

CHARPENTIER Arthur, 2011a, Introduction à la théorie des processus en temps
discret Modèles ARIMA et méthode Box & Jenkins, Séries Temporelles : Théorie
et Applications, Volume 1, Université Paris Dauphine (DESS Actuariat & DESS
Mathématiques de la Décision), 177p.

CHARPENTIER
Arthur,
2011b,
Modèles
linéaires
multivariés
:
VAR
et
cointégration. Introduction aux modèles ARCH et GARCH. Introduction à la
notion de mémoire longue Exercices corrigés et Compléments informatiques,
Séries Temporelles : Théorie et Applications, Volume 2, Université Paris
Dauphine (DESS Actuariat & DESS Mathématiques de la Décision), 140p.

CURRIE David, 1981, “Some Long Run Features of Dynamic Time Series
Models”, The Economic Journal (septembre), 91 (363): 704-715.

DAVIDSON James E.H., David F. HENDRY, Frank SRBA et Stephen YEO, 1978,
“Econometric Modeling of the Aggregate Time-Series Relationship Between
Consumers' Expenditure and Income in the United Kingdom”, The Economic
Journal (décembre), 88 (352): 661 – 692.

DAVIDSON Russell et James G. MACKINNON, 2003, Econometric Theory and
Methods, Oxford University Press, Oxford, 768p.

DICKEY David A. et Wayne A. FULLER, 1981, “Likelihood Ratio Statistics for
Autoregressive Time Series with a Unit Root”, Econometrica (juillet), 49 (4):
1057 – 1072.

DUFOUR Jean – Marie et David TESSIER, 1997, « La Causalité entre la Monnaie
et le Revenu : Une Analyse Fondée sur un Modèle VARMA – Echelon »,
L’Actualité économique, 73 (1–2–3): 351 – 366.

ENGLE Robert F. et Clive W. J. Granger , 1987, “Co-integration and Error
Correction: Representation, Estimation, and Testing”, Econometrica (mars), 55
(2): 251 – 276.

ENGLE Robert F., David F. HENDRY et Jean – Francois RICHARD, 1983,
“Exogeneity”, Econometrica (mars), 51 (2): 277-304.

EVANS G. B. A. and N. E. SAVIN, 1981, “Testing For Unit Roots: 1”,
Econometrica (mai), 49 (3) 753 – 779.

FRIEDMAN Milton, 1968, “The Role of Monetary Policy”, American Economic
Review, 58 (1): 1 – 17.

GEWEKE John, 1978, “Testing the Exogeneity Specification in the Complete
Dynamic Simultaneous Equation Model”, Journal of Econometrics, Elsevier, 7
(2): 163 – 185.

GOURIEROUX Christian S., Alain MONFORT, and Eric M. RENAULT, 1987,
“Kullback causality measures”, Annales d'Economie et de Statistique, 6/7, 369 –
410.

GRANGER Clive W. J. et Paul NEWBOLD, 1977, Forecasting Economic Time
Series, Academic Press, New York, 333p.
215
216

GRANGER Clive W. J., 1969, “Investigating causal relations by econometric
models and cross spectral methods”, Econometrica, 37 (3): 424 – 438.

GRANGER Clive W. J., 1980, “Testing for causality: A Personal Viewpoint”,
Journal of Economic Dynamics and Control, 2 (4): 329 – 352.

GRANGER Clive W.S. et Andrew WEISS, 1983, “Time Series Analysis of Error
Correcting Models”, in Studies in Econometrics, Time Series and Multivariate
Statistics, Academic Press, 225 – 278.

GRANGER Clive W.S., 1981, “Some Properties of Time Series Data and their use
in Econometric Model Specification”, Journal of Econometrics, 16, 121 – 130.

GREENE William, 2001, Econométrie, 7è éd. Pearson Education, edition
francophone dirigée par Didier Schlacther, Traduction par Theophile Azomahou,
Phu Nguyen Van & Wladimir Raymond, Paris, 988p.

HAMILTON James D., 1994, Time Series Analysis, Princeton University Press,
Princeton, New Jersey, 799p.

HANNAN Edward J., 1970, Multiple Time Series, John Wiley and Sons, INC., New
York, 536p.

HAUGH Larry D., 1977, “Relationships –and the Lack Thereof – between
Economic Time Series, with Special Reference to Money and Interest Rates”,
Journal of the American Statistical Association, 72 (357): 11 – 22. Comments
and Rejoinder, 22 – 26.

HAYASHI Fumio, 2000, Econometrics, Princeton University Press, Princeton, New
Jersey, 690p.

JOHANSEN Søren, 1991, “Estimation and Hypothesis Testing of Co-integration
Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models”, Econometrica, 59, 1551 –
1580.

JOHANSEN Søren, 1992a, “Co-integration in Partial Systems and the Efficiency
of Single – Equation Analysis”, Journal of Econometrics, 52, 389 – 402.

JOHANSEN Søren, 1992b, “Testing Weak Exogeneity and the Order of Cointegration in U.K. Money Demand Data”, Journal of Policy Modeling, 14, 313 –
334.

JOHANSEN
Søren,
2003,
“Representation
of
cointegrated
autoregressive
processes with application to fractional processes”, Institute of Mathematical
Sciences and Department of Economics, University of Copenhagen, JEL
Classification: C32, 40p.

JOHNSTON Jack et John DINARDO, 1997, Econometric Methods, 4th ed.,
McGraw Hill Higher Education, New York, 531p.

KULLBACK Solomon et Richard A. LEIBLER, 1951, “On information and
sufficiency”, The Annals of Mathematical Statistics, 22 (1): 79 – 86.

LOKOTA Michel – Ange et Jean – Paul TSASA, 2012, « Arbitrage Qualité de la
gouvernance et Taille du Gouvernement en RDC : Application du test de Shapiro
– Wilk et Calcul Conjoint de Coefficients de Bravais–Galton–Pearson et de
Spearman », One Pager Laréq (août), 3 (8): 89 – 97.

LUCAS Robert E., 1976, “Econometric Policy Evaluation: A Critique”, in K.
Brunner & A. Meltzer (Eds), The Phillips Curve and Labor Markets, North –
Holland.

MAKAMBO Israël et Jean – Paul TSASA, 2012, « Dérivation du Domaine de
Définition du Coefficient de Corrélation de Bravais – Galton – Pearson :
Application de l’Inégalité de Cauchy (1921), Bunyakovski (1859) et Schwart
(1885) », One Pager Laréq (août), 3 (8): 97 – 101.

MAYEMBA Foura et Cédrick TOMBOLA, 2012, « Corrélation Linéaire Partielle:
Comment Prévenir la Dépendance Linéaire des Régresseurs », One Pager Laréq
(septembre), 3 (9): 102 – 109.

MBIKAYI Moïse, Cédrick TOMBOLA et Jean – Paul TSASA, 2013, « Espaces
topologiques (Présentation des Notions Préliminaires). Série Topologie pour
Économistes (2P –1) », One Pager Laréq (mars), 5 (16): 100 – 111.

PHILLIPS Peter C.B. et Sam OULIARIS, 1990, “Asymptotic Properties of Residual
Based Tests for Co-integration”, Econometrica, Econometric Society, 58(1): 165
– 193.

PIERCE David A. et Larry D. HAUGH, 1977, “Causality in Temporal Systems:
Characterizations and Survey”, Journal of Econometrics, 5 (3): 265 – 293.

PIERCE
David A.
et Larry D.
HAUGH,
1979,
“The Characterization of
Instantaneous Causality, a Comment”, Journal of Econometrics, 10 (2): 257 –
259.

PIERCE David A., 1976,
“Checking the independence of two covariance-
stationary time series: A univariate residual cross-correlation approach”, Journal
of the American Statistical Association, 71 (354): 378 – 385.

SALMON Mark, 1982, “Error Correction Mechanisms”, The Economic Journal
(septembre), 92 (367), 615 – 629.

SARGENT Thomas J., 1976, “A classical Macroeconometric Model of the United
States”, Journal of Political Economy, 84 (2): 207–237.

SIMS Christopher A., 1972, “Money, Income and Causality”, American Economic
Review, 62 (4): 540 - 552.

SIMS Christopher A., 1980, “Macroeconomics and Reality”, Econometrica, 48
(1): 1 – 48.

SIMS Christopher A., 1996, “Macroeconomics and Methodology”, The journal of
Economic Perspectives, 10 (1): 105 – 120.

SIMS Christopher A., Stephen M. GOLDFELD et Jeffrey D. SACHS, 1982, “Policy
Analysis with Econometric Model”, Brooking Papers on Economic Activity, 1982
(1): 107 – 164.

STOCK James H. et WATSON Mark W., 1988, “Testing for Common Trends”,
Journal of The American Statistical Association, 83 (404): 1097 – 1107.

TOGBA Yves et Jean – Paul TSASA, (octobre) 2013, « Cointégration et Modèle à
Correction d'Erreur », One Pager Laréq (octobre), 8 (1): 31 – 41.

TOMBOLA Cédrick et Jean – Paul TSASA, 2013, « Analyse de la Structure
d’Espaces Vectoriels », One Pager Laréq (février), 5 (15): 93 – 99.
217
218

TOMBOLA Cédrick, 2012a, « Premier pas avec Eviews : Estimation du Coefficient
de Corrélation de Bravais – Pearson », One Pager Laréq (avril), 1 (7): 41 – 47.

TOMBOLA Cédrick, 2012b, « Réflexions sur le Coefficient de Détermination :
Comment Éviter les Pièges d’une Interprétation à Problèmes », One Pager Laréq
(août), 3 (8): 83 – 88.

TOMBOLA Cédrick, (juin) 2012, Économétrie 1 : Théories et Recueils d’Exercices
résolus, Guide Laréq pour étudiants, GLEN 010, 109 p.

TOMBOLA Cédrick, 2013, « Au–delà de la Corrélation Linéaire : Métrique du khi
– Deux et Rapport de Corrélation », One Pager Laréq (février), 5 (9): 54 – 59.

TSASA Jean – Paul, 2012a, Économétrie (Module 1), Guide Laréq pour étudiants
(mars), GLEN 002, 70p.

TSASA Jean – Paul, 2012b, « Indépendance et Covariance Dans le Cas
Gaussien », One Pager Laréq (décembre), 4 (15): 98 – 103.

TSASA Jean – Paul, 2013a, « Produit Scalaire, Métrique et Orthogonalité :
Préalables à la Résolution du Problème des Moindres Carrés », One Pager Laréq
(mars), 5 (17): 112 – 117.

TSASA Jean – Paul, 2013b, « Critique de C.A. Sims », One Pager Laréq (avril), 6
(1): 1 – 6.

TSASA Jean – Paul, 2013c, « Causalité au Sens de Wiener – Granger : Test,
Théorèmes et Précautions face aux Fausses Relations Causales », One Pager
Laréq (avril), 6 (2): 7 – 18.

TSASA Jean – Paul, 2013d, « Théorème de Décomposition de Wold », One Pager
Laréq (avril), 6 (4): 28 – 34.

TSASA Jean – Paul, 2013e, « Décomposition de Beveridge – Nelson », One
Pager Laréq (avril), 6 (6): 44 – 48.

WIENER Norbert, 1956, « The Theory of Prediction », dans Edwin F.
BECKENBACK (éd.), Modem Mathematics for Engineers (Series 1), Time Series,
Ergodic Theorem, Prediction, Chapitre 8 McGraw – Hill, New York, 165 – 190.

WOLD Herman O. A., 1954, “Causality and Econometrics”, Econometrica, 62
(2): 162 – 177.

WOOLDRIDGE Jeffrey M., 2008, Introductory Econometrics. A Modern Approach,
4th ed., Cengage Learning, Mason, 888p.

ZELLNER Arnold, 1978, “Causality and econometrics”, in K. Brunner - A.H.
Meltzer (a cura di), Three Aspects of Policy Making: Knowledge, Data and
Institutions, Carnegie – Rochester Conference Series on Public Policy, 10,
Amsterdam: North-Holland, 9 – 54.

ZELLNER Arnold, 1988, “Causality and Causal Laws in Economics”, Journal of
Econometrics, 39 (1 – 2): 7 – 22.

One pager Laréq, 2013, vol. 8, no. 18, p. 200 – 218

Transcription

Documents pareils

Café stéréo - Stéréoscopie

Les racines de la crise universitaire

ANT3875 - Langues et cultures de l`Asie du Sud

Consulter le plan de cours de Langues et cultures de l`Asie du Sud

Θέμα 2β: Λεξικογραμματική

marguerite - Neauphle-le

Dépliant synthèse enseignant ressource - ADEL

G Data présent au Salon des Maires et des Collectivités Locales.