Volumes

UNITÉS ET MESURES
VOLUMES
Je tiens une de ces
FORMES, ma FIGURE
est tout en VOLUMES
Dossier n°7
Juin 2005
Conçu et réalisé par :
Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA
Marie-Christine LIEFOOGHE
Bruno VANBAELINGHEM
Annie VANDERSTRAELE
C. D. R.
UNITES ET MESURES
Apprentissage
AGRIMEDIA
Volumes
Objectifs :
- Calculer les volumes des solides usuels à l’aide des formules
Contenu :
- Calculs de volumes
- Exercices d’application et problèmes avec réponses
Matériel nécessaire :
- Calculatrice
Pré-requis :
- Maîtriser les calculs d’aires (cf. dossier n°4)
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
1
CALCUL DES VOLUMES LES PLUS
UTILISÉS
Calculer le volume d’un objet, c’est calculer la place qu’occupe cet objet dans l’espace.
Formules de calcul
CUBE
Exemples
Le côté d’un cube
s’appelle l’arête de ce cube
Volume = arête x arête x arête
Volume
=
arête x arête x arête
Volume = 3 x 3 x 3 = 27
Le volume de ce cube
est : 27 unités
ou
côté ou arête
arête
3
3
hauteur
h=4
PARALLÉLÉPIPÈDE
ou PAVÉ
Volume
=
Volume = L x l x h
Volume = 6 x 3 x 4
Longueur x largeur x hauteur
L =6
Volume = 72
Le volume de ce pavé est : 72 unités
Longueur
hauteur
CYLINDRE
Volume =
Volume
=
Volume =
π x rayon x rayon x hauteur
ou
BOULE ou SPHÈRE
4x
rayon
Volume de ce cylindre :
12,56 unités
(R = rayon)
Volume
=
4xπxRxRxR
3
ou
1
4x πxRxRxR
3
4 x π x 1,5 x 1,5 x 1,5
=
3
42,4
3 14,1
Le volume de cette
boule est 14,1 unités
Volume =
π x rayon 3
3
π x1x1x4
Volume 12,56
4
π x rayon2 x hauteur
rayon
π x R x R x hauteur
1,5
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
2
Maintenant à vous !
Exercices
Exercice 1 :
Une salle de classe mesure 8 mètres de longueur, 6 mètres de largeur et 3 mètres de
hauteur. Calculez le volume de cette classe.
Exercice 2 :
Calculez le volume d’une boîte de conserve cylindrique de 5 cm de rayon
et de 15 cm de hauteur.
Exercice 3 :
Un ballon de football a un diamètre de 24 cm.
Calculez son volume.
Exercice 4 :
L’arête d’un cube mesure 2 décimètres. Calculez le volume de ce cube.
Voir réponses page suivante
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
3
RÉPONSES
Les résultats indiqués dans les réponses suivantes ont été
calculés avec la touche π (pi) de la machine à calculer.
Exercice 1 :
Une salle de classe mesure 8 mètres de longueur, 6 mètres de largeur et 3 mètres de
hauteur. Calculez le volume de cette classe.
largeur
Le volume de cette classe est : Longueur x
soit :
8
x
6
x hauteur
x
3
=
144
Le volume de cette classe est donc : 144 m3
Exercice 2 :
Calculez le volume d’une boîte de conserve cylindrique de 5 cm de rayon
et de 15 cm de hauteur.
Le volume de cette boîte de conserve est :
soit :
π
π
x rayon x rayon x hauteur
x
5
x
5
x
15
1 178,1
Le volume de cette boîte est environ : 1 178,1 cm3
Exercice 3 :
Un ballon de football a un diamètre de 24 cm.
Calculez son volume.
4x πxRxRxR
3
4 x π x 12 x 12 x 12
7 238,229
V=
3
Le volume V du ballon de football est :
Le rayon est
24
= 12 soit 12 cm, d’où :
2
Le volume de ce ballon est environ : 7 238,2 cm3
Exercice 4 :
L’arête d’un cube mesure 2 décimètres. Calculez le volume de ce cube.
Le volume du cube est : arête x arête x arête
soit :
2
x
2
x
2
= 8
Le volume de ce cube est : 8 dm3
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
4
Parfois, connaissant le volume d’un objet, il peut être utile de calculer l’une de ses
dimensions.
C’est ce que nous allons voir.
Exemple :
Sur un massif rectangulaire de 7 mètres de longueur et 5,2 mètres
de largeur, on étale régulièrement 5,1 m3 de terreau.
Quelle est l’épaisseur de la couche de terreau ?
Le volume de terreau est V
=
5,1
=
5,1
=
D’où :
hauteur =
5,1
= 0,14
36,4
Longueur x largeur x
7
x
5,2
36,4
soit 0,14 m
ou
hauteur
x
hauteur
x
hauteur
14 cm
L’épaisseur de la couche de terreau est donc : 14 cm
Maintenant à vous !
Exercice 5 :
Un silo à grains cylindrique de 2 mètres de diamètre contient 12 m3 de blé.
Quelle est la hauteur de blé dans ce silo ?
Voir réponse page 7
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
5
Exercice 6 :
Lors de la construction d’une route de 4 m de large, on étale du
remblai (des pierres) sur une épaisseur de 15 cm. Quelle
longueur de route peut-on recouvrir avec 300 m3 de remblai ?
Exercice 7 :
Un bassin cylindrique mesure 5,6 mètres de diamètre et a une profondeur de 1,4 mètre.
Quel est le volume de ce bassin ?
Quelle est la hauteur atteinte lorsqu’on y verse 23,4 m3 d’eau ?
Exercice 8 :
Dans une station service, une cuve à essence a la forme d’un
parallélépipède de 7,8 mètres de longueur et de 2,5 mètres de
largeur.
1) Le matin, le pompiste constate que la hauteur d’essence dans
la cuve est de 1,3 mètre.
Quel est le volume d’essence contenu dans cette cuve ?
2) Dans la journée, il vend 9,75 m3 d’essence.
Quelle est la hauteur de l’essence qui reste dans la cuve ?
Litres
€
Pompe
à
essence
Voir réponses pages 7 et 8
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
6
RÉPONSES
Exercice 5 :
Un silo à grains cylindrique de 2 mètres de diamètre contient 12 m3 de blé.
Quelle est la hauteur de blé dans ce silo ?
Le volume qu’occupe le blé est : V =
d’où :
12 =
π
π
x rayon x rayon x
hauteur
x
x
hauteur
x
hauteur
1
x
12 =
d’où : hauteur =
1
π
12
≈ 3,82
π
La hauteur de blé dans ce silo est environ 3,82 m
Exercice 6 :
Lors de la construction d’une route de 4 m de large, on étale du remblai (des pierres) sur une
épaisseur de 15 cm. Quelle longueur de route peut-on recouvrir avec 300 m3 de remblai ?
Le volume du remblai est : V = Longueur x largeur x
300 = Longueur x
4
x
300 = Longueur x
d’où : Longueur =
hauteur
0,15
0,6
300
= 500
0,6
La longueur de route que l’on peut recouvrir est : 500 m
Exercice 7 :
Un bassin cylindrique mesure 5,6 mètres de diamètre et a une profondeur de 1,4 mètre.
Quel est le volume de ce bassin ?
Quelle est la hauteur atteinte lorsqu’on y verse 23,4 m3 d’eau ?
Le volume du bassin est :
soit :
π
π
x rayon x rayon x
x
2,8
x
2,8
hauteur
x
1,4
34,48
Le volume de ce bassin est environ 34,48 m3
Le volume qu’occupe l’eau est : V =
d’où :
23,4 =
23,4 d’où : hauteur =
π
π
x rayon x rayon x
hauteur
x
x
hauteur
x
hauteur
2,8
x
2,8
24,63
23,4
≈ 0,95
24,63
La hauteur d’eau dans ce bassin est environ 0,95 m
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
7
Exercice 8 :
Dans une station service, une cuve à essence a la forme d’un
parallélépipède de 7,8 mètres de longueur et de 2,5 mètres de
largeur.
1) Le matin, le pompiste constate que la hauteur d’essence dans
la cuve est de 1,3 mètre.
Quel est le volume d’essence contenu dans cette cuve ?
2) Dans la journée, il vend 9,75 m3 d’essence.
Quelle est la hauteur de l’essence qui reste dans la cuve ?
Litres
€
Pompe
à
essence
1) Le volume d’essence contenu dans la cuve est :
V = Longueur x largeur x
V =
7,8
x
V =
25,35
2,5
hauteur
x
1,3
Le volume d’essence contenu dans la cuve est : 25,35 m3
2) Le volume de l’essence qui reste dans la cuve est : 25,35 - 9,75 soit 15,6 m3
Le volume de l’essence qui reste est :
V = Longueur x largeur x
15,6 =
15,6 =
d’où : hauteur =
7,8
x
19,5
2,5
hauteur
x
hauteur
x
hauteur
15,6
= 0,8
19,5
La hauteur de l’essence qui reste dans la cuve est : 0,8 m
Très bien !
Passons à la suite !!
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
8
Chapitre 2
AUTRES CALCULS DE VOLUMES
Formules de calcul
Rappels
hauteur
Volume du prisme =
PRISMES
HAUTEUR
aire de la base x HAUTEUR
base
V = aire du triangle x HAUTEUR
Aire du triangle =
base x hauteur
2
B
HAUTEUR
hauteur
V = aire du trapèze x HAUTEUR
b
B = GRANDE BASE
b = petite base
Aire du trapèze =
B+b
x hauteur
2
Il ne faut pas confondre la HAUTEUR du prisme et la hauteur de la figure qui
forme la base du prisme.
PYRAMIDE
HAUTEUR
Le volume V de la
pyramide et celui du cône
se calculent de la même
façon :
Aire de la base x HAUTEUR
et
V=
3
HAUTEUR
CÔNE
La base d’un cône est toujours
un disque dont l’aire est :
Aire de la base = π x rayon 2
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
9
Maintenant à vous !
Exercice 1 :
En Egypte, la pyramide de KHÉOPS est la plus haute des trois
pyramides du site de Gizeh. C’est une pyramide à base carrée.
Ses dimensions sont les suivantes :
côté du carré
HAUTEUR
: 230 m
: 146 m
Quel est le volume de cette pyramide ?
Exercice 2 :
Une tente pour campeur de type
canadienne a pour dimensions :
Longueur
largeur
hauteur
:
:
:
197 cm
98 cm
112 cm
Calculez le volume de cette tente.
Remarque : cette tente a la forme d’un prisme à base
triangulaire, comme le montre le schéma ci-contre.
Commencez par placer sur ce schéma les
dimensions indiquées dans l’énoncé.
Voir réponses page 12
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
10
Exercice 3 :
Une bougie a la forme d’un cône de hauteur 12 cm.
Sa base est un cercle de diamètre 10 cm.
Quel est le volume de cette bougie ?
Exercice 4 :
16 dm
Un réservoir d’eau est composé
d’une partie cylindrique et d’une
partie conique, comme le montre le
schéma ci-contre.
12 dm
Calculez son volume.
22 dm
Voir réponses page 13
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
11
RÉPONSES
Exercice 1 :
En Egypte, la pyramide de KHÉOPS est la plus haute des trois pyramides du site de
Gizeh. C’est une pyramide à base carrée. Ses dimensions sont les suivantes :
côté du carré
HAUTEUR
: 230 m
: 146 m
Quel est le volume de cette pyramide ?
Aire de la base de la pyramide
Volume de cette pyramide :
soit 52 900 m2
= 230 x 230 = 52 900
V = ( Aire de la base
x HAUTEUR ) / 3
V= (
x
52 900
V= (
7 723 400
V
2 574 467
146
) / 3
) / 3
Le volume de la pyramide de KHÉOPS est environ 2 574 467 m3
Exercice 2 :
Une tente pour campeur de type canadienne a pour dimensions :
Longueur
largeur
hauteur
:
:
:
197 cm
98 cm
112 cm
Calculez le volume de cette tente.
Les dimensions de ce prisme sont :
base du triangle
: 98 cm
hauteur du triangle : 112 cm
HAUTEUR du prisme : 197 cm
Aire du triangle de base :
98 x 112
= 5 488
2
soit 5 488 cm2
Le volume du prisme est : V = Aire de base
V=
V=
5 488
x
HAUTEUR
x
197
1 081 136
Le volume de cette tente est : 1 081 136 cm3 ou encore environ 1,08 m3
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
12
Exercice 3 :
Une bougie a la forme d’un cône de hauteur 12 cm.
Sa base est un cercle de diamètre 10 cm.
Quel est le volume de cette bougie ?
Le rayon du disque de base est
10
= 5 soit 5 cm
2
L’aire de la base de la bougie est : π x 5 2 ≈ 78,54
soit 78,54 cm2
Aire de la base x HAUTEUR
Le volume de cette bougie est : V =
3
78,54 x 12
V=
3
V ≈ 314,16
Le volume de cette bougie est environ : 314,16 cm3
Exercice 4 :
16 dm
Un réservoir d’eau est composé
d’une partie cylindrique et d’une
partie conique.
12 dm
Calculez son volume.
22 dm
Le volume du cylindre est : V = π x 8 x 8 x 12
soit environ : 2 412,74 dm3
La hauteur du cône est : 22 - 12 = 10
soit 10 dm
( π x 8 x 8 ) x 10
soit 670,2 dm3 environ
Le volume du cône est :
V=
Le volume total est :
2 412,74 + 670,2 = 3 082,94
3
Le volume du réservoir est environ : 3 083 dm3
Fin
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7
13