les fonctions logiques de base

Article 6 : La partie commande ---------------------------------------------------------- les fonctions logiques de base
I- ALGEBRE DE BOOLE
1- Mise en situation:
a- Câbler le montage de la fig1:
+
a
L
-
Fig1
b- Quelles sont les états que peut prendre la lampe ?
Lampe allumée
Lampe éteinte
Il n’y a pas un troisième état possible
c- Quelles sont les états que peut prendre l’interrupteur?
Interrupteur actionnée
Il n’y a pas un état intermédiaire
Interrupteur non actionnée
Conclusion:
Dans un système technique beaucoup de composants ne peut avoir que
deux états possible
2- Algèbre de Boole :
Pour simplifier l’étude de ces composants on utilise une logique
mathématique à deux états appelée logique binaire gérée par une
théorie dite «algèbre de Boole ».
L’algèbre de Boole a été mise au point vers 1850 par un philosophe
mathématicien anglais Georges BOOLE. Cette logique est utiliser dans le
domaine de télécommunication; automatisation; informatique …
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Article 6 : La partie commande ---------------------------------------------------------- les fonctions logiques de base
II- VARIABLE BOOLEENNE OU VARIABLE LOGIQUE :
La description des deux états d’une variable est toujours nécessaire,
mais il est possible conventionnellement d’associer à chacun de ces
états les chiffres 0 ou 1.
* Pour l’interrupteur
Etat actionnée on associe état logique 1
Etat non actionnée on associe état logique 0
Variable Booleenne d’entrée
* Pour la lampe
Etat allumée. on associe état logique 1
Variable Booleenne de sortie
Etat éteinte on associe état logique 0
Donc on peut classer les variables booliennes en deux classes
- Variable d’entrée : qui conditionne le fonctionnement du système (bouton
poussoir, interrupteur, capteur… )
- Variable de sortie: qui représente l’état du système (lampe, moteur,
sonnerie…)
III- OPERATIONS BOOLEENNE DE BASE.
Exercice :
a1
L1
a2
L2
a3
a4
a5
+
L3
Fig2
En se réfèrent au schéma de montage fig2 compléter les phrases suivantes:
- L1 est allumée si a1 et actionnée
égalité
- L2 est allumée si a2 ou a3 est actionnée
somme
- L3 est allumée si a4 et a5 sont actionnées
produit
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1- Egalité:
L=a
(Lire L egale a.)
Donc si L=1 alors a=1
si L=0 alors a=0
2- Somme:
L=a+b
(Lire L egale a ou b.)
Donc L=1 si a=1 ou b=1
a-Compléter le tableau suivant:
a
0
1
0
1
b
0
0
1
1
L
0
1
1
1
b- déduction:
- a+0 = 0, 1+0 = 1, 0+1 = 1, 1+1 = 1
- La somme est commutative donc a+b=b+a
- La somme est associative donc a+(b+c)=(a+b)+c
3- Produit
L=a.b
(Lire L egale a et b)
Donc L=1 si a=1 et b=1
a-Compléter le tableau suivant:
a
0
1
0
1
b
0
0
1
1
L
0
0
0
1
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b- Déduction:
- 0.0 = 0, 1.0 = 0, 0.1 = 0, 1.1 = 1
- Le produit est commutative a.b=b.a
- Le produit est associative a.(b.c)= (a.b).c
- Le produit est distributive a.(b+c)= a.b+a.c
4- Complémentation :
Les deux valeurs d’une variable binaire « a » sont complémentaire c’est
à dire si «a» ne prend pas la valeur 0, elle prend nécessairement la valeur 1
est inversement; donc le complément de «a» est «a» (lire a barre)
Si a=0 alors a = 1
Si a=1 alors a = 0. Donc a.a = 0 et
a+a =1
Application1 : Compléter les tableaux suivants :
a
0
1
0
1
a
0
1
0
1
0
1
0
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
a+(b+c)
0
1
1
1
1
1
1
1
a
1
0
1
0
a.b
0
0
1
0
(a+b)+c
0
1
1
1
1
1
1
1
a+(a.b)
0
1
1
1
a.(b.c)
0
0
0
0
0
0
0
1
a+b
1
0
1
1
(a.b).c
0
0
0
0
0
0
0
1
a.(a+b)
0
0
0
1
a.(b+c)
0
0
0
1
0
1
0
1
a.b+a.c
0
0
0
1
0
1
0
1
Application2 : montrer les relations suivante à l’aide des table de vérité
a + ab = a+b
a + ab = a
ab + ac = ab + ac + bc
a + bc = (a + b)( a+c)
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IV- LES FONCTIONS LOGIQUES DE BASE
1- Mise en situation
a
L
b
Fig3 : Lampe commandée de deux endroits différents
Constatation :
A durée du fonctionnement de la lampe est égale à la durée de l’appui
sur l’un ou l’autre des boutons poussoirs
- cette constatation met en évidence relation fonctionnelle entre les
variables d’entrée (Bouton poussoir) et les variables de sortie ( lampe).
- la relation entre état logique des variable d’entrée et de sortie se traduit par
une fonction, cette fonction et dite Fonction logique .
2- Définition:
Une fonction logique traduit la relation qui existe entre les états logique
d’un ou plusieurs variables d’entrée et une seul variable de sortie.
e1
e2
.
en
Remarque:
FONCTION
LOGIQUE
S
S= f(e1,e2,e3,…en)
-Tout opérateur technique capable d’effectuer une opération logique est un
opérateur logique.
- Il existe dans les différentes technologies de nombreux opérateurs.
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3- Opérateur logique «OUI » ou opérateur logique « égalité »
Schéma de montage :
a
+
S
Commande d’une sonnerie a partir d’un bouton
- En appuyant sur le bouton « a » la sonnerie fonctionne.
- En relâchant le bouton, la sonnerie s‘arrête.
* Analyse des fonctions :
Etat de « a »
Non actionnée
actionnée
Etat de « s »
Non alimentée
alimentée
* Remarque :la sonnerie est alimentée si a est actionnée .
* Table de vérité :
a
0
1
s
0
1
* Désignation :
La sortie est à l’état 1 si et seulement si l’entrée est à l’état 1
* Equation logique :
S= a
lire S égale a
* Chronogramme : (la description de fonctionnement dans le temps)
a
t
s
t
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* Symbole :
a
S=a
1
ou
a
S=a
* Exemples d’application :
* Actionner un bouton poussoir pour
-
Manœuvrer une vitre d’une voiture
-
Faire fonctionner une chignole
* Pour avertir les piétons le chauffeur klaxonne en actionnant un bouton.
4–Opérateur « non » ou « négation» ou « complémentation »
Schéma de montage
a
H
+
Eclairage intérieure d’un réfrigérateur :
-
- La porte de réfrigérateur est fermer la bouton poussoir est actionné,
la
lampe est éteinte
- Des que la porte s’ouvre le bouton poussoir cesse d’être actionné donc la
lampe s’allume.
* Analyse des fonctions :
Etat de a
Actionnée
Non actionnée
Etat de H
éteinte
Allumée
On remarque qu’il y a une opposition de fonctionnement, la lampe est
allumée si « a » et actionnée .
* Table de vérité :
Etat de a
0
1
Etat de H
1
0
* Désignation logique :
La sortie est à l’état 1 si et seulement si l’entrée est à 0
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Article 6 : La partie commande ---------------------------------------------------------- les fonctions logiques de base
* Equation logique :
S= a
lire s égale a barre
* Chronogramme :
a
t
s
t
* Symbole :
a
S=a
1
ou
a
S=a
* Exemple d’application :
La lampe d’éclairage de la malle arrière d’une voiture.
* S’éteint lorsque la malle est fermée
* S’allume lorsque la malle est ouverte.
5 – Opération logique « ET » ou « produit » :
Schéma de montage :
a
b
M
+
-
Mise en marche d’un aspirateur
Le moteur de l’aspirateur est en marche si le bouton de mise en marche
« a » est actionnée et le sac à poussières soit en place détecter par un
capteur « b » .
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*Analyse des fonction :
Bouton a
Non actionnée
actionnée
Non actionnée
actionnée
Capteur b
Pas de sac
Pas de sac
Présence de sac
Présence de sac
Moteur
Ne tourne pas
Ne tourne pas
Ne tourne pas
tourne
On remarque que le moteur tourne si et seulement si le bouton « a » est
actionnée et le capteur « b » détecte le sac à poussière.
*Table de vérité :
a
0
1
0
1
b
0
0
1
1
M
0
0
0
1
* Equation logique :
S=a.b
lire s égale a et b
* Chronogramme :
a
t
b
t
S
t
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* Symbol :
a
b
&
S= a.b
a
ou
&
b
S= a.b
*Schéma de contacte
a
b
H
+
-
* Exemple d’application :
Les trains sont équipés d’un dispositif de sécurité qui a pour rôle de ne
fermer le circuit électrique des wagons que si toutes les portes sont fermées.
6 – Opérateur logique « ou » ou « somme » :
Schéma de montage:
a
+
b
S
-
Contrôle de l’accès a la salle des coffres d’une banque
La salle est équipée de deux portes, le passage d’un agent par l’une des
deux portes est signalé par une sonnerie.
*Analyse des fonctions :
Capteur a
Passage d‘ un agent
Personne ne passe
Passage d‘ un agent
Personne ne passe
Capteur b
Passage d‘ un agent
Passage d‘ un agent
Personne ne passe
Personne ne passe
Sonnerie
Alimentée
Alimentée
Alimentée
non alimentée
On remarque que la sonnerie est alimenté si et seulement si le capteur
« a » détecte le passage d’un agent ou le capteur « b » détecte le passage
d’un agent à la salle.
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Article 6 : La partie commande ---------------------------------------------------------- les fonctions logiques de base
* Table de vérité :
a
0
1
0
1
b
0
0
1
1
S
0
1
1
1
* Equation logique :
S= a+b lire s égale a ou b
* Schéma de contacte :
a
+
H
-
b
* Chronogramme :
a
t
b
t
S
t
* Symbole :
a
>1
S=a+b
b
a
S=a+b
b
* Exemple d’application :
Maison ayant deux portes d’entrée et une seule sonnerie la sonnerie
peut être actionnée par l’un ou l’autre
Remarque :
L’association
organisée
d’opérateurs
logique
et
appelée
logogramme. Il traduit le fonctionnement logique d’un objet technique
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Article 6 : La partie commande ---------------------------------------------------------- les fonctions logiques de base
APPLICATION:
Exercice N° 1 :
Comment prendre la décision d’aller au lycée (D) a partir de quatre
propositions
P1 : être malade
P2 : avoir cours
P3 : prendre le car
P4 : être accompagné par ses parents
Exercice N° 2:
Soit le logigramme suivant : Trouver l’équation de la sortie S
a
b
c
d
&
&
>1
1
&
Solution :
Exercice1
* La décision (D) est vrai si
- P1 est fausse
P1
et
- P2 est vraie
et
P3 est vraie ou P4 vraie
P2
P3
P4
1
&
>1
* l’équation de D
D = P1 et P2 et( P3puP4)
Exercice 2
S= a(c.d+c.b)
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