Recherche des z eros d`une fonction

Universite Pierre et Marie Curie, Paris VI
Licence de physique
ENS Cachan
Physique fondamentale, PHYTEM
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PHYSIQUE NUMERIQUE
TD no 2
Recherche des zeros d'une fonction
Introduction
Les transitions de phase (c'est a dire des changements d'etat : fusion, changement de
structure de la matiere) seront etudiees en detail en thermodynamique. L'un des modeles
les plus importants de transitions de phase est celui de Landau dans lequel l'energie d'un
systeme est exprimee comme un polyn^ome : E = A(T 0 Tc )X 2 + BX 4
A et B sont des coecients positifs, Tc la
temperature de transition et X le parametre
pertinent pour cette transition, par exemple
l'aimantation d'un systeme magnetique. Il est
aise de voir que si T > Tc , on obtient pour
l'equilibre une solution unique X = 0, mais
si T s< Tc , on a deuxssolutions stables X =
1
X/X0
0.5
0
−0.5
−1
ATc
T
0
0.5
1
1.5
2
ou X0 =
.
T/Tc
Tc
2B
Ainsi, a Tc , l'on obtient une transition, en-dessous de laquelle X est non nul (Si X
6X
0
10
est l'aimantation, cela signie que le materiau a une aimantation permanente : c'est un
aimant) et au-dessus de laquelle X est nul (ainsi, un aimant peut perdre son aimantation
au-dessus d'une certaine temperature). C'est un comportement tres general et le modele
mecanique propose ci-dessous vise a produire un comportement similaire dans un systeme
simple.
Un modele mecanique de transition de phase
Le modele mecanique propose consiste en une bille de masse m astreinte a se deplacer
dans un tube en verre recourbe vers le bas et de rayon de courbure `. La bille separe de
facon etanche le tube en deux parties qui contiennent chacune x moles d'un gaz parfait. La
section du tube est S , la temperature T est consideree comme uniforme et constante. Le
segment qui lie le centre du cercle a la bille fait un angle avec la verticale ce qui permet
de reperer la position de la bille. L'ouverture totale du tube est 20 (00 < < 0 ).
V2
V1
S
l
θ0
1
θ
1) Montrer que l'equation du mouvement de ce systeme s'ecrit :
m` = mg sin +
xRT
`
1
0 + 0 10 0
ou R est la constante des gaz parfaits.
2) Montrer que la condition d'equilibre peut s'ecrire :
2xRT
sin =
mg` 2
0
0
2
3) Etudier
graphiquement l'equation ci-dessus ; expliquer qualitativement ce qui se passe
lorsque la temperature augmente. Determiner la temperature Tc en dessous de laquelle il
existe des positions d'equilibre pour 6= 0.
4) Peut-on resoudre analytiquement ce probleme dans le cas general an d'obtenir une
solution du type eq (T ) = une expression ? Determiner eq lorsque T ! 0. Montrer que
lorsque T est inferieur mais proche de Tc alors :
v
u0
u
u
eq 0 t@
1s
T
1 A 10
2
Tc
1 + 60
5) Dans ce qui suit, on se propose de resoudre numeriquement ce probleme dans le cas
general a l'aide d'une methode recherche de zero. On posera :
2xR
g
et =
`
m`2
!02 =
Pourquoi est-il preferable de chercher les zeros de la fonction :
f ( ) =
sin 02 0 2
0 T
!
2
0
(1)
6) Methode de Newton : mise au point.
-a-Ecrire
une fonction
real function newton(f,x0,eps)
ou f(x,y,dy) est un sous-programme qui calcule y, la valeur au point x de la fonction
dont on cherche le zero, et dy, la valeur de sa derivee au m^eme point. La variable x0 est
le point de depart de la recherche et eps la precision souhaitee.
On se contentera d'une version simple de newton ou l'on calcule dx = -y/dy, apres un
call f(x,y,dy). On pourra prevoir une variable, transmise par un module qui indique
si la convergence est atteinte ou non. Il est conseille d'utiliser une structure du type :
do i = 1, imax
..
..
if ( convergence ) exit
enddo
quoi sert la variable imax ? Quel est le type de la variable convergence ?
Expliquer pourquoi. A
-b- Tester la methode en recherchant un zero de la fonction y = sin(x). Pour le calcul
de la derivee, essayer d'une part le calcul analytique, sin0 (x) = cos(x), et de l'autre
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l'approximation f 0 (x) ' f (x+x =2)0xf (x0x=2) , ou x est une petite variation de x. Comment
choisir x ? On prendra comme point de depart, x0 = 0.1.
-c- Prendre ensuite x0 = 1.55. Que se passe-t-il, et pourquoi ?
-d- Chercher ensuite la solution de l'equation ex = 0 en fonction de eps. Que pensezvous du resultat ?
-e- Essayer de m^eme de chercher 1=2 0 tanh(x 0 1) = 0. Que se passe-t-il ? (on rappelle
que la derivee de tanh x est : 1= cosh2 x)
7) Adapter le programme pour resoudre l'equation (1) a une temperature donnee, par
exemple, T = Tc =2. Enn, modier le programme an de tracer la courbe eq (T ). Comparer ces resultats avec ceux du 4).
Valeurs numeriques : g = 9;81m=s2 , ` = 0;1m, m = 6 1003 kg, R = 8;32J=K, 0 = 1rd,
S = 1cm2 . Le nombre de moles x est donne par le fait que le tube est rempli a une pression
de 200Pa et a une temperature de 300K.
8) Il est aise de partir de l'equation du mouvement et de chercher des solutions periodiques
de pulsation ! pour des mouvements de petite amplitude :
= eq + = eq + 0 ei!t
ou eq depend de la temperature et non du temps. On obtient apres quelques calculs un
peu laborieux mais sans diculte :
T
!2 = 2
2
0 0 eq
!
2
2eq
2
0
0 eq
2
+1
c
0 T
cos eq
2
0
(2)
ou ! la pulsation de resonnance depend de la temperature T . Montrer que si T > Tc ,
alors :
! 2 (T ) = 2 (T 0 T c )
0
et que si T < Tc en restant proche de Tc , alors :
! (T ) 2
02
(Tc 0 T ) 2 +
02
2
!
Que se passe-t-il quand T = Tc ? Comparer les valeurs donnees par les expressions analytiques ci-dessus avec le resultat du calcul numerique obtenu a partir de l'equation (2) en
prenant les valeurs de eq donnees par le calcul numerique.
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