DM : Puissance d`un point par rapport à un cercle

DM : Puissance d’un point par rapport à un cercle
Partie A
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2
2
1. Pour tout diamètre [I J ] du cercle, O est le milieu
³ OI + O´J = 0 et OI • O J = −OI = −R
³ de [I J ]´, ainsi
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Alors, pour tout point M du plan, M I • M J = MO + OI • MO + O J
# » # » # » # » # » ³ # » # »´ # » # »
M I • M J = MO • MO + MO • OI + O J + OI • O J
# » # »
# » #»
M I • M J = MO 2 + MO • 0 − R 2
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M I • M J = MO 2 − R 2
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Pour tout point M du plan, M I • M J = MO 2 − R 2
C est le cercle de centre O et de rayon R
b
C
bb
M
F
B
A
b
−3R 2 f(M)=0
4
f (M) =
b
I
b
O
b
b
J
A0
b
2.
a. Pour tout point M du plan,
f (M) = 0 ⇐⇒ MO 2 − R 2 = 0
f (M) = 0 ⇐⇒ MO 2 = R 2
On en déduit, une distance étant un réel positif, f (M) = 0 ⇐⇒ M0 = R
D’où f (M) = 0 ⇐⇒ M ∈ C
L’ensemble des points M du plan tels que f (M) = 0 est le cercle C
b. Pour tout point M du plan,
f (M) = −R 2 ⇐⇒ MO 2 − R 2 = −R 2
f (M) = −R 2 ⇐⇒ MO 2 = 0
f (M) = −R 2 ⇐⇒ MO = 0
f (M) = −R 2 ⇐⇒ M = O
D’où
L’ensemble des points M du plan tels que f (M) = −R 2 est constitué du seul point O
c. Pour tout point M du plan,
3R 2
3R 2
⇐⇒ MO 2 − R 2 = −
4
4
3R 2
R2
2
f (M) = −
⇐⇒ MO =
4
4
f (M) = −
On en déduit, une distance étant un réel positif, f (M) = −
D’où :
L’ensemble des points M du plan tels que f (M) = −
R
3R 2
⇐⇒ M0 =
4
2
3R 2
R
est le cercle de centre O et de rayon
4
2
3. Soit A 0 le symétrique du point A par rapport à O , ainsi [A A 0 ] est un diamètre de C et les droites (A A 0 ) et (M A) sont
perpendiculaires en B , ou encore B est le projeté orthogonal de A 0 sur la droite (M A), et,
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M A • M A 0 = M A • MB
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Or, [A A 0 ] étant un diamètre de C , d’après la question 1, M A • M A 0 = MO 2 − R 2
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On en déduit, M A • MB = MO 2 − R 2
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D’où M A • MB = M I • M J
4. Dans le cas où l’on peut tracer par le point M une droite qui coupe le cercle C en deux points A et B , on a :
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• M A • MB > 0 ⇐⇒ MO 2 − R 2 > 0
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M A • MB > 0 ⇐⇒ MO 2 > R 2
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Et, une distance étant un réel positif, M A • MB > 0 ⇐⇒ MO > R
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D’où, M A • MB > 0 ⇐⇒ M est à l’extérieur du cercle C
(au sens strict)
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• M A • MB < 0 ⇐⇒ MO 2 − R 2 < 0
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M A • MB < 0 ⇐⇒ MO 2 < R 2
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Et, une distance étant un réel positif, M A • MB < 0 ⇐⇒ MO < R
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D’où, M A • MB < 0 ⇐⇒ M est à l’intérieur du cercle C
(au sens strict)
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• M A • MB = 0 ⇐⇒ MO 2 − R 2 = 0
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• M A • MB = 0 ⇐⇒ MO 2 = R 2
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Et, une distance étant un réel positif, M A • MB = 0 ⇐⇒ MO = R
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D’où, M A • MB = 0 ⇐⇒ M est un point du cercle C
Si M est
En résumé,
à l’intérieur de C
sur C
à l’extérieur de C
+
0
+
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Le signe de M A • MB est
Partie B
1. Pour tout réel x et tout réel y ,
x 2 + y 2 − 4x − 2y − 11 = (x 2 − 4x + 4) + (y 2 − 2y + 1) − 4 − 1 − 11
x 2 + y 2 − 4x − 2y − 11 = (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16
Ainsi x 2 + y 2 − 4x − 2y − 11 = 0 ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 16
Or, (x − 2)2 + (y − 1)2 = 16 est une équation cartésienne du cercle C de centre Ω(2 ; 1) et de rayon 4.
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2. f (M) = M I • ¡M J = MO 2 − R 2 d’après
la partie A
¢
D’où f (M) = (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16
f (M) = x 2 + y 2 − 4x − 2y − 11
3.
a. Soit E a l’ensemble des points M tels que f (M) = 16
M ∈ E a ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16 = 16
M ∈ E a ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 32
³ p ´2
M ∈ E a ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 2
p
D’où E a est le cercle de centre Ω et de rayon 4 2
b. Soit E b l’ensemble des points M tels que f (M) = −16
M ∈ E b ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16 = −16
M ∈ E b ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 0
M ∈ E b ⇐⇒ ΩM 2 = 0
M ∈ E b ⇐⇒ M = Ω
D’où E b est constitué du seul point Ω
c. Soit E c l’ensemble des points M tels que f (M) = 9
M ∈ E c ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16 = 9
M ∈ E c ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25
M ∈ E c ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 52
D’où E c est le cercle de centre Ω et de rayon 5
6
Ea
c
Ec
4
2
b
−4
2
−2
−2
−4
Ω
4
6
8