ACTUALISATION I. Actualiser un effet de commerce (intérêts

ACTUALISATION
I.
Actualiser un effet de commerce (intérêts simples) :
• Exemple : Une traite de valeur nominale 500 à échéance du 16 avril est négociée le 2
mars. Calculer sa valeur actuelle (taux annuel 12 %).
• Méthode : on utilise la formule e = N t n avec :
e : escompte
N : valeur nominale
t : taux périodique
n : nombre de périodes
taux annuel
Remarque : n en jours ⇒ t =
360
Enfin :
Valeur actuelle = valeur nominale - escompte
• Solution : durée :
( 31 − 2) + 16
= 45 j
mars
avril
0,12
× 45 = 7,5 360
500 – 7,5 = 492,5 e = 5 00 ×
Escompte :
Valeur actuelle :
II. Réaliser une équivalence d’effets (intérêts simples) :
• Exemple : Un effet de commerce de 600 échéant dans 18 jours est remplacé par un effet
échéant dans 90 jours.
Calculer la valeur nominale du deuxième effet (taux annuel 15 %).
• Méthode : on exprime l’égalité des valeurs actuelles le jour de la négociation.
• Solution : soit x la valeur nominale cherchée
l’équivalence des valeurs actuelles permet d’écrire :
0,15
0,15
x − x×
× 90 = 6 00 − 6 00 ×
× 18
360
360
V.A.du 1er effet
V.A. du 2e effet
x − 0,0375 x = 600 − 4,5
0,9625 x = 5 95,5 ⇒ x =
5 95,5
⇒ x = 618,70 0,9625
III. Calculer le montant d’une mensualité (intérêts simples) :
• Exemple : Pour payer du mobilier valant 7 000 , on propose à un client de régler 1 000 au comptant, le reste en 6 mensualités, la première un mois après le jour de l’achat.
Calculer le montant de la mensualité (taux annuel 12 %). Combien va-t-il payer d’intérêts ?
• Méthode : on assimile les 6 mensualités à 6 effets à payer.
• Solution : soit x la mensualité cherchée
l’équivalence des valeurs actuelles permet d’écrire :
0,12
0,12
0,12
6000 = x − x ×
×1 + x − x ×
× 2 + + x − x ×
×6
12
12
12
V.A.de la 1ère mensualité
V.A. de la 2 ème mensualité
V.A. de la 6 ème mensualité
60 00 = 6 x − 0,01x × (1 + 2 + + 6 ) = 6 x − 0,21x ⇒ 6000 = 5,79 x
mensualité :
intérêts :
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60 00
⇒ x = 10 36,27 5,79
(6 × 10 36,27 )− 60 00 = 217,62 x=
IV. Actualiser une dette (intérêts composés) :
• Exemple : On doit régler une dette de 15 000 dans 30 mois. Calculer la valeur actualisée
de cette dette aujourd’hui (taux d’actualisation annuelle : 6 %, capitalisation mensuelle, taux
mensuel proportionnel).
−n
• Méthode : on utilise la formule C0 = Cn (1 + i ) avec :
Cn : valeur à l’époque n
C0 : valeur à l’époque 0
i : taux périodique
n : nombre de périodes
0,06
taux mensuel proportionnel :
• Solution :
= 0,005
12
−30
C0 = 15 000(1 + 0,005)
C0 = 15 000× 0,861029730174
C0 ≈ 12915,45
V.
Équivalence de capitaux (intérêts composés) :
• Exemple : On remplace un versement de 6 000 payable dans 6 mois par un versement que
l’on effectuera dans 18 mois.
Calculer le montant de ce deuxième versement (taux annuel 9,6 %, capitalisation mensuelle,
taux mensuel proportionnel).
• Méthode : on exprime l’égalité des valeurs actuelles le jour de la négociation.
0,096
taux mensuel proportionnel :
• Solution :
= 0,008
12
Soit x le deuxième versement.
−18
−6
On a l’équation
x(1 + 0,008) = 6000 × (1 + 0,008)
−6
1,008)
(
x = 6 000 ×
(1,008)−18
D' où
Et x ≈ 66 02,03
= 6 000 × (1,008)
12
VI. Comparer différents modes de paiement (intérêts composés) :
• Exemple : Pour régler une dette de 10 000 , on propose trois modes de paiement:
1. soit on paie comptant avec une remise de 4 % du montant de la dette
2. soit on paie 2 500 comptant, 2 500 dans un an, 3 000 dans deux ans et 3 000 dans
trois ans
3. soit on ne paie rien au comptant et on effectue quatre versements de 3 000 chacun,
dans un an, deux ans, trois ans et quatre ans.
Quel est le mode de paiement le plus avantageux ? (taux annuel d’actualisation : 10 %)
• Méthode : il faut choisir la plus faible valeur actualisée
• Solution : on calcule les valeurs actualisées dans chaque cas.
1. 10 000 − (10 000 × 0,04 ) = 96 00
2. 25 00 + 25 00 × 1,10 −1 + 30 00 × 1,10 −2 + 30 00 × 1,10−3 ≈ 95 06
−1
−2
−3
−4
3. 30 00 × 1,10 + 30 00 × 1,10 + 30 00 × 1,10 + 30 00 × 1,10 ≈ 9510
Conclusion : le deuxième mode de paiement est le plus intéressant.
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