TP 07 — Chute libre, mécanique du point - PCSI

PCSI du lycée de l’Essouriau
Université Paris-Sud
Centre d’Orsay
Mathématiques et Informatiques
TP 07
2011–2012
TP 07 — Chute libre, mécanique du point
Exercice 1 : (chute verticale)
Un point matériel M de masse m = 3 kg est lancé verticalement avec une vitesse initiale v0 depuis un
point de hauteur z0 = 20 m. On prendra g = 9.8 m.s−2 pour l’accélération de pesanteur. Durant le
→
−
−
−
mouvement, le point M est soumis à son poids et à une force de frottement fluide f = −µ→
v où →
v est
−1
la vitesse du point M à l’instant t considéré et µ = 0.7 kg.s . On s’intéressera à différentes valeurs de la
vitesse initiale v0 ∈ {13, 16, −2}m.s−1 .
Question 1 –
Donnez l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v. La résoudre sur le papier et en utilisant la commande dsolve de Maple.
Question 2 –
Définissez deux fonctions v et z qui prennent en argument v0 et t et qui retourne la vitesse et la position
du point M à l’instant t lorsque la vitesse initiale est v0 .
Question 3 –
Tracez sur un même graphique les fonctions v(t) pour les trois vitesses initiales proposées, puis sur un
autre graphique, les fonctions z(t). Vérifiez graphiquement que v converge vers une valeur limite (toujours
la même) et que z s’annule une seule fois.
Question 4 –
En utilisant la commande fsolve, déterminez une valeur approchée de l’instant où z s’annule, c’est-à-dire
de l’instant où le point touche le sol.
Question 5 –
Tracez les différents plans de phase, c’est-à-dire le graphique donné par l’arc paramétré (z(t), v(t)) pour t
allant de 0 à 20.
Exercice 2 : (chute non rectiligne)
A l’instant t = 0, un point matériel M de masse m = 3 kg est lancé du haut d’une falaise avec une vitesse
−
initiale →
v0 d’angle par rapport à l’horizontale de α = π/3. On suppose que le point M n’est soumis qu’à
−
son poids (pas de force de frottement). On prendra g = 9.8 m.s−2 , H = 30 m et ||→
v0 || = 22 m.s−1 .
Question 1 –
Donnez l’expression littérale de x(t) et de y(t). Tracez la trajectoire sur un graphique.
Question 2 –
A l’aide de la commande solve, donnez l’expression de la trajectoire sous la forme y(x).
Question 3 –
Estimez en utilisant fsolve l’instant où le point M touche le sol ainsi que l’abscisse où cela se produit.
Question 4 –
Déterminez la hauteur maximale atteinte par le point M .
Question 5 – (Parabole de sûreté)
Tracez y(x) pour différentes valeurs de α compris entre 0 et π/2 afin de visualiser la parabole de sûreté.
Vous pourrez utiliser la commande seq pour générer la liste des graphiques que vous voulez tracer.
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